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1、群的基本概念,目录,2 群的基本概念,2.1 群的定义,2.3 同构与同态,2.2 群的乘法表,2.4 群的直积,2.6 分子点群的共轭分类,2.5 群元素的共轭分类,2.1 群的定义,元素 A、B、C、. 组成集合 G，在集合 G 中定义有称为 乘法 的某种组合运算，如果 G 对该 乘法 满足以下四个条件，则集合 G 构成群。,(1) 封闭性,A、B 为群 G 中的元素，如果：,AB = C,则 C 也是群 G 中的一个元素。,(2) 结合律,群元素相乘满足乘法结合律，如：,ABC = ( AB )C =A( BC ),(3) 恒等元素,群中有且仅有一个恒等元素 E，且有：,EX = XE
2、= X,其中 X 为群中的任何元素。,群元素的数目称为群的阶 h .,(4) 逆元素,群中任一元素 X 都有一个逆元素 X-1 ，且逆元素 X-1 也是该群中的元素，且有：,X X-1 = X-1 X = E,从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合，如果满足上述四个条件，就称为群。群的特征不在于构成群的是何种元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间的内在联系。,除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之积仍为实数，（2）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为 1，（4）逆元为其倒数。,例 1-1 实数加法群,例 1-2 实数乘法群,全体实数
3、的集合对于数的加法构成群；（1）任意两实数之和仍为实数，（2）数的加法服从结合律，（3）恒等元为 0，（4）逆元为其相反值。,例 1-3 立正操,例 1-4 全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封闭性和结合律，也有恒等元，但除 1 以外，其余元素均无逆元。,四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。,例 1-5 全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数乘法群。因为其中的 0 无逆元。,2.2 群的乘法表,群是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓的乘法。对一个有 h 个元素的有限群来
4、说，如果知道了所有可能的乘积（h2 ）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。,对于一个有限群 G 和群 G 中任意两个元素的乘积关系以表格的形式来表示，称为乘法表。利用乘法表可以方便的进行群的运算。,1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：,1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：,2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照（列）（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到的元素是 xy 的乘积。,1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边
5、，行在表的顶部。如：,2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照（列）（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到的元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。,1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：,2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照（列）（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到的元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。,重排定理,在群的乘法表中，每一个群元素在每一行
6、和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。,重排定理,重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：,在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。,重排定理,重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：,在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。,例 2-
7、1 二阶点群,抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表。这个群用符号 G2 表示。,例 2-2 三阶点群 G3 也只有一种可能：,例 2-2 三阶点群 G3 也只有一种可能：,循环群：G = |a1, a2, an = E|。上述 G3 群是循环群的一个例子。,AA = A2 = B, AB = A3 = E,1） 四阶循环群 ：,例 2-3 四阶群有两个：,1） 四阶循环群 ：,例 2-3 四阶群有两个：,AA = A2 = B, AB = A3 = C, AC = A4 = E,BA = A3 = C, BB = A4 = E, BC = A5 = A,CA = A4 = E, C
8、B = A5 = A, CC = A6 = B,2） 四阶群 ：,例 2-3 四阶群有两个：,2） 四阶群 ：,例 2-3 四阶群有两个：,这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。,2） 四阶群 ：,例 2-3 四阶群有两个：,可对易（Abel）群：任意两群元素的乘积是可对易的，aiaj =ajai。上述例子都是 Abel 群的例子。,这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。,例 2-4 C2v 群,例 2-4 C2v 群,例 2-5 S3 置换群,S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群元素：,群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。,置换群的群元素相乘彼
9、此不对易，作用的先后次序是重要的：先右边，再左边（action in turn !）。如,由此可得到 S3 置换群的乘法表。,S3 置换群表：,C3v 群的群元素与 S3 置换群的群元素存在一一对应关系。这个对应关系可通过右图分析得出。如：,例 2-6 C3v 群,C3v 群的群元素作用下三个数码的置换,C3v 群的群元素作用下三个数码的置换,C3v 群的群元素与 S3 置换群的群元素存在一一对应关系。这个对应关系可通过右图分析得出。如：,例 2-6 C3v 群,根据两个群的群元素的对应关系可以得到 C3v 的群表：,2.3 同构与同态,如 例 2-1 中的 C2 群、Ci 群、Cs 群三个群
10、同构。,两个群，如果其群元素数目相同（同阶群），而且乘法关系相同（有相同的乘法表），则称这两个群同构，即有相同的结构。,如 C3v 群与 S3 群同构。此外，还有 Cnv 群与 Dn 群同构，O 群与 Td 群同构。,同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。,如果两个群的群元素之间存在 1 对 m 的关系，则这两个群同态。,如 G2 群与 C3v 群同态，存在着 1 对 3 的关系。从乘法表的区域分布可以看出：,2.4 群的直积：直积群,2.4.1 子群,因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。,若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G
11、的子群。,或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h g，H G。就称群 H 是群 G 的子群。,如果一个群 G 中一部分元素的集合（子集合）对于群 G 的乘法是封闭的，即：,则称 H 为群 G 的子群。,如果一个群 G 中一部分元素的集合（子集合）对于群 G 的乘法是封闭的，即：,则称 H 为群 G 的子群。,群 G 的阶 g 必是子群 H 的阶 h 的整数倍。,2.4.2 群的直积,这个定义很容易推广到多个直因子的直积的情况。,设有 2 个群 H1 = am 、H2 = bn ，如果两个群的任意两个元素是可对易的：aibj = bjai ，则可以定义一个大群 G （直积群）是
12、H1 与 H2 的直积，表示为：,直积群 G 的元素 gk = aibj （k = 1, 2, , mn）。显然， H1 、H2 是 G 的子群，叫做直积群 G 的直因子。,例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。,例 2 C3h 群包含 C3 子群和 CS 子群。,例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。,例 3 D2h 群包含 D2 子群和 Ci 子群。,此外，还有：,例 3 D2h 群包含 D2 子群和 Ci 子群。,后面我们会看到，直积群的性质很容易由它的直因子的性质导出。因此，只要有可能，我们总是愿意把一个群分解成较简单的群的直积。,直积群有如下性质：,2）直积群的一
13、部分直因子的乘积仍是它的直因子。,1）各个直因子的交（即共同的元素）只有单位元素。,2.5 群元素的共轭分类,其中 X 为群中任意元素，则称 A 与 B 共轭。,如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系：,2.5 群元素的共轭分类,其中 X 为群中任意元素，则称 A 与 B 共轭。,如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系：,相互共轭的群元素的一个完整集合称为群的类。,群元素的共轭分类比较复杂，但有规律可循：,3）反映：sh 永远自成一类； nsv 的分类相对复杂，有时同属一类，有时则分属两类。,1）恒等操作 E 总是自成一类,2）反演 i 总是自成一类,当 nsv 分属两类时，一类称为 sv
14、，另一类可称为 sv 或 sd。,4）转动,（1）循环群中的 操作每一个自成一类。,4）转动,（2）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类，,（1）循环群中的 操作每一个自成一类。,自成一类。,4）转动,（2）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类，,（1）循环群中的 操作每一个自成一类。,自成一类。,（3）非真转动 Sn 的分类情况与 Cn 相似。,4）转动,（2）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类，,（1）循环群中的 操作每一个自成一类。,根据乘法表可以对群元素进行共轭分类。以 C3v 群为例说明。,5）如果二个对称操作可以借助另一个对称操作交换位置（或彼此到达），则这二个操作同属一类
15、。如 C3v 群中的 3 个竖直的镜面 sv。,6）同构群的群表相同，共轭分类（当然！）相同。,这是对称群的类的几何意义：相互共轭的对称操作，本质上是相同的操作。,依据 C3v 群表：,由此可见，C13 和 C23 共轭，同属一类；同理可得，3 个 sv 同属一类；E 则自成一类。 C3v 群有 3 个共轭类。,依据 C3v 群表：,2.6 分子点群的共轭分类,1）Cn、Cnh、Sn（n = 2m）群的群元素各自成一类。,Cn、Cnh、Sn（n = 2m）群均属 Abel 群（可对易群），群元素相乘彼此对易：,故每个群元素自成一类。共轭类数等于群的阶。,自成一类，,同属一类，共 类，,2）Cn
16、v 与 Dn 群的共轭类,（1）n 为奇数时,nsv 同属一类，共有：,自成一类，,同属一类，共 类，,2）Cnv 与 Dn 群的共轭类：Dn 与 Cnv 群同构，共轭分类相同，只需 将 sv 改为 C2 即可。,如上例， C3v 群共有 3 个类。,（1）n 为奇数时,nsv 同属一类，共有：,为一类，共有：,自成一类，,同属一类，共 类， 自成一类，,（2）n 为偶数时,为一类，,3）Dnh 群的共轭类,同属一类，共 类，,同属一类，共 类，,（1）n 为奇数时 自成一类，,nC2 同属一类，,nsv 同属一类， sh 自成一类，,共有：,（2）n 为偶数时 自成一类，,同属一类，共 类，
17、 自成一类，,为一类， 为一类，,为一类， 为一类，,sh 自成一类，,同属一类，共 类，,i 自成一类，共有：,4）Dnd 群的共轭类,（1）n 为奇数时 自成一类，,同属一类，共 类，,nC2 同属一类，,nsd 同属一类，,（m 为奇数）同属一类，共 类，,自成一类，共有：,（2）n 为偶数时 自成一类，,同属一类，共 类， 自成一类，,nC2 同属一类，,nsd 同属一类，,（m 为奇数）同属一类，共 类，,共有：,（2）n 为偶数时 自成一类，,同属一类，共 类， 自成一类，,nC2 同属一类，,nsd 同属一类，,（m 为奇数）同属一类，共 类，,共有：,另外，Td 群有 5 个类，Oh 群有 10 个类。,
