人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学ppt课件.ppt

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1、,21.1 一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ） 教学课件,学习目标,1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）,导入新课,复习引入,没有未知数,代数式,一元一次方程,二元一次方程,不等式,分式方程,2.什么叫方程？我们学过哪些方程？,含有未知数的等式叫做方程.,我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.,3.什么叫一元一次方程？,含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.

2、,问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？,100cm,50cm,x,3600cm2,解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（1002x)cm,宽为(502x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得,化简，得,讲授新课,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,解：根据

3、题意，列方程：,化简，得：,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？,1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面_m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.,32x,2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？,整理以上方程可得：,思考：,220 x,3220(32x220 x)2x2=570,2x2,x2-36x35=0 ,想一想：,还有其它的列法吗？试说明原因.,

4、(20-x)(32-2x)=570,32-2x,20-x,观察与思考,方程、都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,特点:,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2.,x2-36x35=0 ,只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.,ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a0),ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项,b 称为一次项系数. c 称为常数项.,知识要点,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式

5、是,想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？,当 a = 0 时,bxc = 0,当 a 0 ， b = 0时 ，,ax2c = 0,当 a 0 ， c = 0时 ，,ax2bx = 0,当 a 0 ，b = c =0时 ，,ax2 = 0,总结：只要满足a 0 ，b ， c 可以为任意实数.,典例精析,例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）,C,不是整式方程,含两个未知数,化简整理成x2-3x+2=0,少了限制条件a0,判断下列方程是否为一元二次方程？,(2) x3+ x2=36,(3)x+3y=36,(5) x+1=0,(1) x2+ x=36

6、,例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？,(1)ax2x=2x2,(2) (a1)x |a|+1 2x7=0.,解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程； (2)由a +1 =2，且a-1 0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.,方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值,变式：方程(2a-4)x22bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？,解（1）当 2a40，即a 2 时

7、是一元二次方程,（2）当a=2 且 b 0 时是一元一次方程,思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？,ax=b (a0）,ax2+bx+c=0 (a0）,整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是1,未知数最高次数是2,例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.,解：,去括号，得,3x2-3x=5x+10.,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式,3x2-8x-10=0.,其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.,视频：一元二次方程一般式,一元二次方程的根,使一元二次方程等号两边

8、相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.,练一练：下面哪些数是方程 x2 x 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4,解：,3和-2.,你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.,例4：已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.,解：由题意得,方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值,当堂练习,1. 下列哪些是一元二次方程？,3x+2=5x-2,x2=0,(x+3)(2x-4)=x2,3y2=(3y+1)(y-2)

9、,x2=x3+x2-1,3x2=5x-1,2.填空：,-2,1,3,1,3,-5,4,0,-5,3,-2,4.已知方程5x+mx-6=0的一个根为4，则的值为_,3.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k 时，是一元二次方程当k 时，是一元一次方程,1,1,4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）.,解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.,整理，得,根据题意有，,200cm,150cm,(2) 如图，据某市交通部门统计，前年

10、该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.,解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x,整理，得,根据题意有，,5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.,解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得,32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0,有一个根为0，求m的值.,解：将x=0代入方程m2-4=0，,解得m= 2., m+2 0，, m -2，,综上所述：m =2.,拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一

11、个根为1, 求a+b+c的值.,解：由题意得,思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗?,解：由题意得,方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根是1.,2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗?,x=2,课堂小结,一元二次方程,概念,是整式方程；含一个未知数；最高次数是2.,一般形式,ax2+bx+c=0 (a 0) 其中(a0)是一元二次方程的必要条件；,根,使方程左右两边相等的未知数的值.,见学练优本课时练习,课后作业,21.2.1 配方法,第二十一章 一元二次方

12、程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ） 教学课件,第1课时 直接开平方法,学习目标,1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p0)的方程.(重点）,1.如果 x2=a,则x叫做a的 .,导入新课,复习引入,平方根,2.如果 x2=a(a 0),则x= .,3.如果 x2=64 ,则x= .,8,4.任何数都可以作为被开方数吗？,负数不可以作为被开方数.,讲授新课,问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？,解：设正方

13、体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程,106x2=1500，,由此可得,x2=25,开平方得,即x1=5，x2=5.,因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm,x=5，,试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.,(1) x2=4,(2) x2=0,(3) x2+1=0,解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.,解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.,解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.,(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；,(3)当p0 时,因为任何实数x，都有x20 ，所以方程(

14、I)无实数根.,探究归纳,一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I),(1)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ；,例1 利用直接开平方法解下列方程:,解：,（1） x2=6，,直接开平方，得,（2）移项，得,x2=900.,直接开平方，得,x=30，,x1=30, x2=30.,典例精析,在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5 ， 得,对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5,探究交流,于是，方程（x+3）2=5的两个根为,上面的解法中 ，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程

15、转化为我们会解的方程了.,解题归纳,例2 解下列方程： （x1）2= 2 ；,解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.,解：（1）x+1是2的平方根，,x+1=,解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.,例2 解下列方程：（2）（x1）24 = 0；,即x1=3，x2=-1.,解：（2）移项，得（x-1）2=4.,x-1是4的平方根，,x-1=2.,(3) 12（32x）23 = 0.,解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.,解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，,两边都除以

16、12，得（3-2x）2=0.25.,3-2x是0.25的平方根，,3-2x=0.5.,即3-2x=0.5,3-2x=-0.5,解：,方程的两根为,解：,方程的两根为,例3 解下列方程：,1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？,如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2= p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.,2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.,探讨交流,当堂练习,(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4,1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）,(A) x2=-2,解方程，得x=,(B) (x-2)2=4,

17、解方程，得x-2=2,x=4,D,(1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 .,3. 解下列方程： (1)x2-810； (2)2x250； (3)(x1)2=4 .,x1=0.5,x2=-0.5,x13,x2-3,x12,x21,2.填空:,解：x19, x29；,解：x15, x25；,解：x11, x23.,4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.,解：,解：不对，从开始错，应改为,解方程:,挑战自我,解：,方程的两根为,课堂小结,直接开平方法,

18、概念,步骤,基本思路,利用平方根的定义求方程的根的方法,关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p (p 0).,一元二次方程,两个一元一次方程,降次,直接开平方法,见学练优本课时练习,课后作业,21.2.1 配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ） 教学课件,第2课时 配方法,学习目标,1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）,导入新课,复习引入,(1) 9x2=1 ；,(2) (x-2)2=2.,2.下列方程能用直接开平方法来解吗?,1.

19、用直接开平方法解下列方程:,(1) x2+6x+9 =5；,(2)x2+6x+4=0.,把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方,讲授新课,问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.,(1) a2+2ab+b2=( )2；,(2) a2-2ab+b2=( )2.,a+b,a-b,探究交流,问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.,（1）x2+4x+ = ( x + )2,（2）x2-6x+ = ( x- )2,（3）x2+8x+ = ( x+ )2,（4）,x2- x+ = ( x- )2,你发现了什么规律？,22,2,32,3,42,4,二次项系数为1的完全平方式：常数

20、项等于一次项系数一半的平方.,归纳总结,想一想：x2+px+( )2=(x+ )2,配方的方法,合作探究,怎样解方程: x2+6x+4=0 (1),问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？,解：,x2+6x+4=0,x2+6x=-4,移项,x2+6x+9=-4+9,两边都加上9,二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.,方法归纳,在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.,问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？,不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形

21、式.,方程配方的方法：,要点归纳,像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.,配方法的定义,配方法解方程的基本思路,把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解,例1 解下列方程：,解：（1）移项，得,x28x=1,配方，得,x28x+42=1+42 ,( x4)2=15,由此可得,即,配方，得,由此可得,二次项系数化为1，得,解：移项，得,2x23x=1,即,移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?,配方，得,因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为1，得,为什么方程

22、两边都加12？,即,思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？,思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.,移项时需注意改变符号.,移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；降次；解一次方程.,一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.,当p0时,则 ,方程的两个根为当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.当p0时,则方程(x+n)2=p无实数根.,规律总结,例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k24k5 的值必定大于零.,解：k24k5=k24k41,=（k2）21,因为（k2）

23、20，所以（k2）211.,所以k24k5的值必定大于零.,例3.若a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为直角三角形.,1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-22.应用配方法求最值.(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.,练一练,C,解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3,解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4,归纳总结,配方法的应用,1.

24、求最值或证明代数式的值为恒正（或负）,对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.,2.完全平方式中的配方,如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.,3.利用配方构成非负数和的形式,对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.,例4.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江

25、东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？,解：设个位数字为x，十位数字为(x-3),x1=6, x2=5,x2-11x=-30,x2-11x+5.52=-30+5.52,(x-5.5)2=0.25,x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5,x2=10(x-3)+x,这个两位数为36或25，,周瑜去世的年龄为36岁.,周瑜30岁还攻打过东吴，,1.解下列方程：,（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.,解：x2+

26、2x+2=0，,(x+1)2=-1.,此方程无解；,解：x2-4x-12=0，,(x-2)2=16.,x1=6,x2=-2；,解：x2+2x-3=0，,(x+1)2=4.,x1=-3,x2=1.,当堂练习,2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.,解：x2x1=(x2+x+ )+ 1,所以x2x1的值必定小于零.,当 时，x2x1有最大值,3.若 ，求(xy)z 的值.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少

27、？,解：设道路的宽为xm, 根据题意得,（35-x)(26-x)=850，,整理得,x2-61x+60=0.,解得,x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.,答：道路的宽为1m.,5.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为等边三角形.,课堂小结,配方法,定义,通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.,步骤,一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p (p 0); 四直接开平方法解方程.,特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.,应用,求代数式的最值或证明,见学练优本课时练习,课后作

28、业,21.2 解一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ） 教学课件,21.2.2 公式法,学习目标,1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.,导入新课,复习引入,1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？,2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?,导入新课,问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？,讲授新课

29、,任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 能否也用配方法得出它的解呢？,合作探究,用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).,方程两边都除以a,解:,移项，得,配方，得,即,问题：接下来能用直接开平方解吗？,即,一元二次方程的求根公式,特别提醒,a 0,4a20，,当b2-4ac 0时，,a 0,4a20，,当b2-4ac 0时，,而x取任何实数都不能使上式成立.,因此，方程无实数根.,由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0) ，

30、当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.,视频：求根公式的趣味记忆,例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0,解：a=5,b=-4,c=-12，,b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.,典例精析,例2 解方程：,化简为一般式：,解：,即 ：,这里的a、b、c的值是什么？,例3 解方程： （精确到0.001）.,解：,用计算器求得：,例4 解方程：4x2-3x+2=0,因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.,解：,要点归纳,

31、公式法解方程的步骤,1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac0，则方程没有实数根.,两个不相等实数根,两个相等实数根,没有实数根,两个实数根,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac., 0,= 0, 0, 0,按要求完成下列表格：,练一练,0,4,有两个相等的实数根,没有实数根,有两个不相等的实数根,3.判别根的情况，得出结论.,1.化为一般式，确定a,b,c的值.,要点归纳,根的判别式使用方

32、法,2.计算 的值，确定 的符号.,例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定,解析：原方程变形为x2+x-1=0.b2-4ac=1-41（-1）=50，该方程有两个不相等的实数根，故选B.,B,b2 - 4ac 0时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac 0时,方程无实数根.,例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k-1 B.k-1且k0 C.k1 D.

33、k1且k0,解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k0.解得k-1且k0，故选B.,B,例7:不解方程，判断下列方程的根的情况（1）3x2+4x3=0；（2）4x2=12x9; (3) 7y=5(y2+1).,解：（1）3x2+4x3=0，a=3,b=4,c=3, b24ac=3243(3)=520. 方程有两个不相等的实数根 （2）方程化为：4x212x+9=0, b24ac=(12)2449=0. 方程有两个相等的实数根,例7:不解方程，判断下列方程的根的情况 (3) 7y=5(y2+1).,解：（3）方程化为：5y27y+5=0

34、, b24ac=(7)2455=510. 方程有两个相等的实数根,1.解方程：x2 +7x 18 = 0.,解：这里 a=1, b= 7, c= -18. b 2 - 4ac =7 2 4 1 (-18 ) =1210, 即 x1 = -9, x2 = 2 .,当堂练习,2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.,解：去括号 ，得 x 2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. b2 - 4ac=(-7 )2 4 3 8 = 4996 = - 47 0, 原方程没有实数根.,3. 解方程：

35、2x2 - x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . b2 - 4ac = 27 - 423 = 3 0 , 即 x1= x2=,4.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 .,注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.,解：,5.不解方程，判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.,解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, b2-4ac=32-42(-4)=410. 方程有两个不相等的实数根 （2）x2-x+ =0,a=1,b=-1

36、,c= . b2-4ac=(-1)2-41 =0. 方程有两个相等的实数根,（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. b2-4ac=(-1)2-411=-30. 方程无实数根,(3) x2-x+1=0.,6.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况.,解：,所以方程有两个实数根,能力提升： 在等腰ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求ABC 的周长.,解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实 数根，,所以=b24ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.,所以b=-10或b=2.

37、,将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；,将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；,所以ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.,课堂小结,公式法,求根公式,步骤,一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（ 值）； 四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.,根的判别式b2-4ac,务必将方程化为一般形式,见学练优本课时练习,课后作业,21.2 解一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ） 教学课件,21.2.3 因式分解法,学习目标,1.理解用因式分解法解方程的依据.2

38、.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）,导入新课,情境引入,我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x5)=0的解吗？,讲授新课,引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?,分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即,10 x-4.9x2 =0 ,解

39、：,解：, a=4.9,b=-10,c=0., b24ac = (10)244.90 =100.,公式法解方程10 x-4.9x2=0.,配方法解方程10 x-4.9x2=0.,10 x-4.9x2=0.,因式分解,两个因式乘积为 0，说明什么？,或,降次，化为两个一次方程,解两个一次方程，得出原方程的根,这种解法是不是很简单？,10 x-4.9x2 =0 ,x(10-4.9x) =0 ,x =0,10-4.9x=0,这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.,要点归纳,因式分解法的概念,因式分解法的基本步骤,一移-方程的右边=0;,二分-方程的左边

40、因式分解;,三化-方程化为两个一元一次方程;,四解-写出方程两个解;,简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解,试一试：下列各方程的根分别是多少？,(1) x(x-2)=0；,(1) x1=0,x2=2；,(2) (y+2)(y-3)=0；,(2) y1=-2,y2=3 ；,(3) (3x+6)(2x-4)=0；,(3) x1=-2,x2=2；,(4) x2=x.,(4) x1=0,x2=1.,例1 解下列方程：,解：(1)因式分解，得,于是得,x20或x1=0,x1=2，x2=1.,(2)移项、合并同类项，得,因式分解，得 ( 2x1)( 2x1 )=0.,于是得,2x1=0或2x1=0,(x

41、2)(x1)=0.,典例精析,例2 用适当的方法解方程：(1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1；,分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.,分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.解：开平方,得 5x + 1 = 1. 解得, x 1= 0 , x2=,（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1；,分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.解：配方,得 x2 - 12x + 62 =

42、4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2=,分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0. =b2 - 4ac = 28 0,填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.,拓展提升,x2 + px + q = 0 （p2 - 4q 0）,(x+m)2n（n 0）,ax2 + bx +c = 0(a0 , b2 - 4ac0),(x + m) （x + n）0,1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ ax2+

43、bx=0），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.,要点归纳,解法选择基本思路, x2-3x+1=0 ； 3x2-1=0 ； -3t2+t=0 ； x2-4x=2 ； 2x2-x=0； 5(m+2)2=8； 3y2-y-1=0； 2x2+4x-1=0； (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 .,当堂练习,1.填空,2.下面的解法

44、正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.,解方程 (x-5)(x+2)=18.,解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ,由x-5=3, 得x=8; ,由x+2=6, 得x=4; ,所以原方程的解为x1=8或x2=4.,解: 原方程化为： x2 3x 28= 0， (x7)(x+4)=0， x1=7，x2=4.,3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= .,x2+x2=0,2,1,解：化为一般式为,因式分解，得,x22x+1 = 0.,( x1 )( x1 ) = 0.,有 x 1 = 0 或 x 1 = 0，,x1

45、=x2=1.,解：因式分解，得,( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0.,有 2x + 11 = 0 或 2x 11= 0，,4.解方程：,5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径,解：设小圆形场地的半径为r，,根据题意 ( r + 5 )2=2r2.,因式分解，得,于是得,答：小圆形场地的半径是,课堂小结,因式分解法,概念,步骤,简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解,如果a b=0，那么a=0或b=0.,原理,将方程左边因式分解，右边=0.,因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2 -b

46、2=(a +b)(a -b).,见学练优本课时练习,课后作业,21.2 解一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ） 教学课件,21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,学习目标,1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）,导入新课,复习引入,1.一元二次方程的求根公式是什么？,想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？,2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？,对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 -

47、 4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac 0 时,方程无实数根.,讲授新课,算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.,-4,1,2,3,-1,x1+x2=-3,x1 x2=-4,x1+x2=5,x1 x2=6,猜一猜,（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？,重要发现如

48、果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2= -p , x1 x2=q.,猜一猜,（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？,证一证：,一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）,如果 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、 x2，那么,满足上述关系的前提条件,b2-4ac0.,归纳总结,例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 +

49、 7x + 6 = 0;,解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. = b2 - 4ac = 72 4 1 6 = 25 0. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.,（2）2x2 - 3x - 2 = 0.,解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. = b2 - 4ac = （- 3）2 4 2 (-2) = 25 0, 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它

50、的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=7.答：方程的另一个根是 ，k=7.,变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：根据根与系数的关系可知：,设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）