(全册)北师大版九年级数学上教学PPT课件.ppt

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1、,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 菱形的性质,最新北师大版九数学上全册优质教学课件的首先教学课件,1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）,学习目标,问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？,平行四边形的性质：,边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.角：对角相等,邻角互补.,导入新课,活动: 观察下列图片，找出你所熟悉的图形.,问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？,平行四边形,菱形,菱形：有一

2、组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,讲授新课,菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.,问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？,平行四边形,菱形集合,平行四边形集合,1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？,问题2:菱形中有哪些相等的线段？,2.发现菱形的性质：菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).菱形的对角线互相垂直(ACBD).,A,B,C,O,D,已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线

3、AC与BD相交 于点O.求证:(1）AB = BC = CD =AD； （2）ACBD.,3.证明菱形性质:,证明：（1）四边形ABCD是菱形， AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又AB=AD; AB = BC = CD =AD.,（2）AB = AD, ABD是等腰三角形. 又四边形ABCD是菱形, OB = OD . （菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中, OB = OD, AOBD, 即ACBD.,4.归纳结论,菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.,对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直.,

4、角：对角相等，邻角互补.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.,菱形的特殊性质,平行四边形的性质,A,B,D,C,a,h,(1)菱形的面积计算公式：S = ah.(2)菱形的面积计算公式：S = SABD+SBCD = AODB + CODB = ACDB.,O,例1：如右图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.,解: (1) 四边形ABCD是菱形,AC与BD相交 于点E. AED=90(菱形的对角线互相垂直), DE= BD = 10 = 5(cm) . (菱形的对角线互相平分), AE= =12(cm

5、).AC=2AE=2 12= 24(cm)（菱形的对角 线互相平分）.(2)如图，菱形ABCD的面积 = BD AC =120(cm2).,例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形， ACBD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = 6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB = BD = 6.,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA = = =AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.,1.填一填：根据右图填空（1）

6、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_.（2）菱形ABCD中ABC120 ，则BAC_.（3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm,3cm,30,C,当堂练习,2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.,解：四边形ABCD是菱形， ACBD (菱形的两条对角线互相垂直). AOB=90. BO= =3(cm). BD=2BO=23=6(cm).,平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,1.菱形是轴对称图形.,2.菱形的四条边相等.,3.菱形的对角

7、线互相垂直平分.,菱形,定义,性质,课堂小结,见本课时练习,课后作业,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 菱形的判定,1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）,学习目标,问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？,菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形的性质：1. 轴对称图形.2. 四边相等.3. 对角线互相垂直平分.,导入新课,思考与动手:1.在一张纸上用尺规作图作出边长为10cm的菱形;2.想办法用一张长方形纸剪出一个菱形;3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？请

8、向同学们展示你的作品,全班交流.,做一做：先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.,(1),(2),(3),(4),你能说说这样做的道理吗?,问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?,1.小明的想法,平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.,讲授新课,2.小颖的想法,我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边 相等的平行四边形是菱形”一样.,你是怎么想的?

9、你认为小明的想法如何?,已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ,ACBD.求证：ABCD是菱形.,证明： 四边形ABCD是平行四边形. OA=OC. 又ACBD, BD是线段AC的垂直平分线. BA=BC. 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,试一试:对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?,定理运用格式：,四边形ABCD是平行四边形,又ACBD,四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形为菱形),小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条弧分别相较于点B , D,依次 连接A、B、C、D四点.,议一议：已

10、知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？,C,A,B,D,想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？,提示：AB = BC=CD =AD,证明：AB=BC=CD=AD; AB=CD , BC=AD. 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.又AB=BC,四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).,已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.,四边相等的四边形是菱形.,定理的运用格式,AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形).,证明：在AOB中.

11、AB= , OA=2,OB=1. AB2=AO2+OB2. AOB是直角三角形, AOB是直角. ACBD. ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).,例1：已知：如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB= ,OA=2,OB=1. 求证： ABCD是菱形.,典例精析,2,例2：已知：如图,在ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.,A,C,B,E,D,F,证明： 1= 2,又AE=AC, ACD AED (SAS). 同理ACFAEF(SAS) .CD=ED, CF=EF. 又EF=ED,四边形A

12、BCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.,1,1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A. ACBD ,AC与BD互相平分B. AB=BC=CD=DAC. AB=BC,AD=CD,AC BDD. AB=CD,AD=BC,AC BD,C,当堂练习,2.如下图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形,A,B,C,D,E,F,O,1,2,证明: 四边形ABCD是平行四边形, AEFC.1=2.EF垂直平分AC,AO = OC . EO =FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC 四边形AFCE是菱形.,有一组邻边相等的

13、平行四边形叫做菱形.,定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.,定理2：四边相等的四边形是菱形.,运用定理进行计算和证明.,菱形的判定,定义,定理,课堂小结,见本课时练习,课后作业,1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 矩形的性质,1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明矩形的性质定理.（重点）3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点）,学习目标,活动:观察下面的图形,它们都含有平行四边形,请把它们全部找出来.,问题：上面的平行四边形有什么共同的特征？,导入新课,活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四

14、边形的一个内角变化,请同学们注意观察.,矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,矩形,讲授新课,矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.,平行四边形,矩形集合,平行四边形集合,活动探究：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.,（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时, 发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？,A,B,C,D,O,物体,测量,（实物）,（形象图

15、）,填一填 根据上面探究出来结论填在下面横线上.角：.对角线：.,A,B,C,D,四个角为90,相等,O,证明：（1）四边形ABCD是矩形. ABC=CDA,BCD=DAB(矩形的对角线) ABDC(矩形的对边平行). ABC+BCD=180. 又ABC = 90, BCD = 90.,证明性质:,已知：如右图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相较于点O.求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90;（2）AC=DB.,A,B,C,D,O,ABC=BCD=CDA=DAB =90.(2)四边形ABCD是矩形,AB=DC(矩形的对边相等).在ABC和DCB中,AB=DC,A

16、BC=DCB,BC= CB,ABCDCB.AC=DB.,1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等.,A,B,C,D,O,做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,矩形的性质：对称性： .对称轴：.,轴对称图形,2条,归纳结论,矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.,对称性：是轴对称图形.角：四条角都是90.对角线：相等.,角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.,矩形的特殊性质,平行四边形

17、的性质,已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E.证明：在RtABC中,BE= AC.,A,B,C,D,E,证明：四边形ABCD是矩形.AC = BD(矩形的对角线相等).BE= DE= BD,AE=CE= AC (矩形对角线相互平分),BE= AC.,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,练一练：根据右图填空,已知ABC中,ABC = 90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC =_cm;(2)若C = 30 ,AB = 5cm,则AC =_cm, BD = _cm.,D,6,10,5,例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,AOD=120,

18、AB=2.5 ,求矩形对角线的长.,解：四边形ABCD是矩形. AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD ,(矩形对角线相互平分)OA = OD.,A,B,C,D,O,典例精析,AOD=120,ODA=OAD= (180- 120)=30.又DAB=90 ,（矩形的四个角都是直角） BD = 2AB = 2 2.5 = 5.,提示：AOD=120 AOB=60 OA=OB=AB AC=2OA=22.5=5.,你还有其他解法吗？,例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE ,垂足为F.求证：DF=DC.,A,B,C,D,E,F,

19、证明：连接DE.AD =AE,AED =ADE.四边形ABCD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC, DEC=AED.又DFAE, DFE=C=90.,又DE= DE,DFEDCE,DF=DC.,1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知AOB=60 , AC=16,则图中长度为8的线段有（ ）A.2条 B.4条 C.5条 D.6条,D,A,B,C,D,O,60,当堂练习,2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30 , BO=4 ,求四边形ABED的面积.,A,B,C,D,O

20、,E,（1）证明：四边形ABCD是矩形.AC= BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.,(2)解：在矩形ABCD中,BO=4,BD = 2BO =24=8.DBC=30,CD= BD= 8=4,AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积=(4+8)= .,A,B,C,D,O,E,平行四边形,1.矩形是轴对称图形和中心对称图形,2.矩形四个角都是直角,3.矩形的对角线相等且相互平分,矩形,性质,有一个角是直角,转换,直角三角形,等腰三角形,课堂小结,见本课时练习,课后作业,1.2 矩形的性质与判定,第一章

21、 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 矩形的判定,1理解并掌握矩形的判定方法（重点）2能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点),学习目标,问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？,A,B,C,D,O,矩形：有一个角是直角的平行四边形.矩形性质：是轴对称图形; 四个角都是直角; 对角线相等且平分.,导入新课,活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度.,问题1:我们会看到对角线会随着变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？,讲授新课,已知：如图,在ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,

22、AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB = DC,BC = CB,AC = DB, ABCDCB , ABC = DCB. ABCD, ABC + DCB = 180, ABC = 90, ABCD是矩形（矩形的定义）.,猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形.,对角线相等的平行四边形是矩形.,活动2: 李芳同学通过画“边直角、边直角、边直角、边”这样四步画出一个四边形.,问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？,已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.,猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩

23、形.,证明: A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.ADBC,ABCD.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是矩形.,有三个角是直角的四边形是矩形.,例1：如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , ABO是等边三角形, AB=4,求ABCD的面积.解：四边形ABCD是平行四边形,OA= OC,OB = OD.又ABO是等边三角形,OA= OB=AB= 4,BAC=60.AC= BD= 2OA = 24 = 8.,典例精析,ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.ABC=90（矩形的四个角都是直角） . 在RtABC中,由勾股定理,得AB2 + BC2 =A

24、C2 , BC= .SABCD=ABBC=4 =,例2：如图，在ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.,证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.,(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,四边形ADCE是平行四边形.而ADC=90,四边形ADCE是矩形.,1.如图,直线EFMN,PQ交EF、M

25、N于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、 MCA、 ACN、CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ） A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定,C,当堂练习,2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BEAC，CEBD，DE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.,D,A,B,C,E,O,解：四边形CEDO是矩形.理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ACBD. BOC=90. DEAC,CEBD， 四边形CEDO是平行四边形. 四边形CEBO是矩形（矩形的定义）.,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.,定理2：有三个角

26、是直角的四边形是矩形.,运用定理进行计算和证明.,矩形的判定,定义,定理,课堂小结,见本课时练习,课后作业,1.3 正方形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 正方形的性质,1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系.2.探索并证明正方形的性质定理.（重点）3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点）,学习目标,活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？,导入新课,活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.,问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？,正方形,讲授新课,活动2：把可以活动的菱

27、形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.,问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？,有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.,正方形,A,B,C,D,填一填：角： 边：对角线： 对称性：,四个角都是直角.,四条边相等.,对角线相等且互相垂直平分.,a,a,a,a,轴对称图形（4条对称轴）.,1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,已知：如右图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.,A,B,C,D,证明：四边形ABCD是正方形.A=90, AB=AC . （正方形的定义）又正方形是平行四边形.

28、正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义)A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.,定理证明,已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,请同学们动手完成以上证明？,提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.,想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？,矩形,菱形,正方形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.,归纳结论,正方形,对角线,边,边,对角线,对角线,角

29、,对边平行且相等,相互平分,相等,四个角相等都是90,相互垂直且平分对角,四边相等,对称性,轴对称图形（4条对称轴）,例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,典例精析,解：BE=DF,且BEDF.理由如下：（1）四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90 .（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90.,A,B,D,C,F,E,A,B,D,F,E,BCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.(2)延长BE交DE于点M,BCEDCF ,CBE =CDF

30、.DCF =90 ,CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90.BEDF.,C,M,例2：如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O , MNAB ,且分别于OA , OB相交于点M , N.求证：（1）BM = CN;（2）BMCN.,证明：（1）MNAB. 1 =2 =3 =4 = 45. OM = ON. OA= OB, OA- OM = OB - ON,AM=BN. 又2=NBC,AB=BC. ABM BCN(SAS) BM=CN.,1,2,3,4,(2)延长CN交线段MB于点Q.ABMBCN.6=8.OCB =ABO =45.5=7.又ONC=QNB.

31、180-5 -ONC = 180-7 -QNB,CON =NQB = 90.BMCN.,Q,5,7,6,8,1在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BOC= .2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .,45,90,22.5,第1题,第2题,45,当堂练习,3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边ABE,连结DE 、 CE ,求DEC的度数.,D,A,E,B,C,解：ABE是等边三角形. AB =AE=BE, ABE=BEA=EAB =60. 又四边形ABCD是正方形. AD=BC=AE=BE, DAB=ABC=90. DAE=CB

32、E=150. AED=EDA=CEB=BCE=15. DEC=AEB-AED-CEB=30.,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形,性质,定义,有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,课堂小结,见本课时练习,课后作业,1.3 正方形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 正方形的判定,1掌握正方形的判定方法（重点）2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .(难点),学习目标,问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？,A,B,C,D,正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.

33、正方形性质：四个角都是直角; 四条边都相等; 对角线相等且互相垂直平分.,O,导入新课,问题2：你是如何判断是矩形、菱形？,平行四边形,矩形,菱形,四边形,三个角是直角,四条边相等,定义,三个判定定理,定义,对角线相等,定义,对角线垂直,动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DCAB , BCAD ,得四边形ABCD.,A,M,N,B,D,C,问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？,讲授新课,想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？,（1）,（2）,（3）,（4）,菱形,问题2：满足怎样条件的矩

34、形是正方形？,矩形,正方形,一组邻边相等,对角线互相垂直,问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？,正方形,一个角是直角,对角线相等,1.对角线相等的菱形是正方形.2.对角线垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.,正方形判定的两条途径：,正方形,正方形,+,+,先判定菱形,先判定矩形,矩形条件,菱形条件,(1),(2),一个直角,对角线相等,一组邻边相等,对角线垂直,例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分ABC , CE平分DCB , BFCE , CFBE.求证：四边形BECF是正方形.,典例精析,F,A,B,E,C,D,解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一

35、个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；,45,45,F,A,B,E,C,D,证明: BFCE,CFBE， 四边形BECF是平行四边形. 四边形ABCD是矩形, ABC = 90, DCB = 90, BE平分ABC, CE平分 DCB, EBC = 45, ECB = 45, EBC = ECB . EB=EC, BECF是菱形 . 在EBC中 EBC = 45,ECB = 45, BEC = 90, 菱形BECF是正方形.,例2：已知：如图所示,在RtABC中, C=90 , BAC , ABC的平分线于点D , DEBC于点E , DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.

36、,证明: 如图所示,过点D作DGAB于点G.DFAC , DEBC ,DFC=DEC=90.又C=90,四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.AD平分BAC , DFAC , DGAB.DF=DG. 同理可得 DE=DG , DE=DF.四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.,C,E,B,A,F,D,G,例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EGFH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：四边形ABCD为正方形,OB=OC,ABO=BCO =45,BOC=90=COH+BOH.EGFH,BOE+BOH=90,COH=BOE,CHO BEO,

37、OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,OE=OF=OG=OH.又EGFH,四边形EFGH为菱形.EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,四边形EFGH为正方形.,做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？,矩形,正方形,任意四边形,平行四边形,菱形,正方形,E,F,G,H,E,F,G,H,E,F,G,H,1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.

38、菱形 C.矩形 D.平行四边形,D,C,当堂练习,3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.,证明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (AAS). ADB=CDB.,1,2,（2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是矩形（有

39、一组邻边相等的矩形是正方形）.,有一个角是90（或对角线互相垂直）,有一对邻边相等（或对角线相等）,平行四边形,矩形,菱形,正方形,一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）,有一个角是90（或对角线互相垂直）,有一对邻边相等（或对角线相等）,课堂小结,见本课时练习,课后作业,复习与小结,第一章 特殊平行四边形,知识网络,要点归纳,典例精析,课后作业,有一个角是90（或对角线互相垂直）,有一对邻边相等（或对角线相等）,平行四边形,矩形,菱形,正方形,一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直且相等）,有一个角是90（或对角线互相垂直）,有一对邻边相等（或对角线相等）,知识网

40、络,平行且相等,平行且相等,平行且四边相等,平行且四边相等,对角相等邻角互补,四个角都是直角,对角相等邻角互补,四个角都是直角,互相平分,互相平分且相等,互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角,中心对称图形,中心对称图形轴对称图形,中心对称图形轴对称图形,中心对称图形轴对称图形,互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角,要点归纳,定义：两组对边分别平行 两组对边分别相等一组对边平行且相等 对角线互相平分,定义：有一外角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形,定义：一组邻边相等的平行四边形 四条边都相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形,定义：一组邻边相等且有一个角

41、是直角的平行四边形有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形,例1：如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.,A,B,C,D,E,F,解：四边形ABCD是菱形.过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F.S 四边形ABCD=AD CF =AB CE .由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形.AD = AB . 四边形ABCD是菱形.,典例精析,例2：如图所示，下面有一张菱形纸片ABCD中，两条对角线AC= ，BD= 4 .,（1）菱形ABCD的面积 ；（2）菱形ABCD的周长 ；（3）ADC的度数 .,D,A,C,B

42、,O,16,120,例3：工人师傅做铝合金窗框分三个步骤进行下面:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，使AB=CD，EF=GH.,A,B,D,C,E,F,H,G,（2）摆成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理：.,平行四边形,两组对边相等的四,边形是平行四边形,（3）将直角尺靠紧窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是 .形，根据的数学道理是 .,矩,有一个角是直角的平行四边形是矩形,若这个铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角AOB为60 , AOB的周长为3 m.（1）求窗框对角线AC长；,A,B,C,D,60,解：（1）四

43、边形ABCD是矩形. AC = BD = 2OA = 2OB. 又AOB = 60. AOB是等边三角形. OA = OB = AB =1(m). AC = 2OA = 2(m).,O,（2）求窗框ABCD的面积.解：（2）已知AC= 2 m , AB = DC = 1m.又四边形ABCD是矩形. S 四边形ABCD=AD DC , ADC 是直角三角形. S 四边形ABCD=,A,B,C,D,60,O,例4： （1）如果想得到一个正方形，该怎么剪？,（1）,（2）,（3）,（4）,(2)若E为对角线上一点，连接EA、EC.EA=EC 吗？说说你的理由,A,B,C,D,E,解：已知四边形ABC

44、D是正方形.ABE = CBE = 45, AB = CB .ABE CBE ( SAS ). EA = EC.,1.检查一个门框是矩形的方法是（ ） A.测量两条对角线是否相等.B.测量有三个角是直角. C.测量两条对角线是否互相平分. D.测量两条对角线是否互相垂直.2.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形,B,B,3.菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于（ ） A.60 B.90 C.120 D.150 4.矩形ABCD中,AB=8, BC=6 , E、F是AC的三等分点,则BEF的面积是（ ） A.8 B.12 C.16 D.24,D,

45、A,C,第5题,第6题,5.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长 ,面积是. 6.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60 ,则矩形的两邻边 分别长和.,5,24,4,A,B,C,D,O,A,B,C,D,O,第3题,第4题,7.已知：ABCD,添加适当的条件（1）使它成为菱形.条件： .（2）使它成为矩形.条件： .（3）使它成为正方形.条件： .,A,B,C,D,O,AB=AD (ACBD),AC=BD(BAD=90),AC=BD且ACBD,2.1 认识一元二次方程,第二章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 一元二次方程,1.了解一元二次方程的概念;（重点）2.

46、掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a0）. （重点）3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型.（难点）,学习目标,根据下面的问题,设一个未知数,列出方程,不需解方程.问题1：若一个正方形花坛的面积为64m2,则正方形的边长为多少m？ 问题2：某小区计划在楼间空地建造一个面积为120m2的长方形绿地,且长比宽多10m,那么这个长方形绿地的宽为多少m？,64m2,120m2,解：设正方形的边长为 x m.x2 = 64.,解：设长方形绿地的宽为 x m,则长为（x+10）m.x（x+10） = 120.,导入新课,问题1：请通过类比一元一次方程一般形

47、式（ax + b = 0）,对下面所得方程进行整理. （1） x2 = 64; （2）x（x + 10） = 1200.,（1） x2 64 = 0 ;（2） x2 + 10 x 1200 = 0.,问题2：上述两个方程有什么共同特点？1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2;3.整式方程,讲授新课,只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.,一元二次方程的一般形式：,ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a0),ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项,b 称为

48、一次项系数. c 称为常数项.,若a0,那么最好在方程的左右两边同乘以-1,使二次项系数变为正整数；指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.,练一练,1.关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 时,是一元二次方程2.关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 时,是一元二次方程.当k 时,是一元一次方程,ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数,a0)称为一元二次方程的一般形式；当a=0,b0时称为一元一次方程的一般形式,3,1,=-1,例1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面

49、积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗（列出方程即可）？,解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：,(8 - 2x),(5 - 2x),x,x,(8 2x),x,x,(5 2x),( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.2x2 - 13x + 11 = 0（一般式） .,例2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？,解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , ,

50、 , .根据题意，可得方程：,x+1,x+2,x+3,x+4,x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.x2 - 8x - 200（一般式）.,解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙m.如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙 m ,根据题意，可得方程：,例3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？,6,x+6,72 + (x + 6)2 = 102.x2 + 12 x - 15 = 0(一般式).,10m,8m,1m,xm,1.下列方程哪些是一元二