《二次型与二次曲面解读课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次型与二次曲面解读课件.ppt（47页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、哈尔滨工业大学数学系,第 八 章,二次型 与 二次曲面,8.4 空间中的曲面和曲线,F(x,y,z)=0,两个基本问题:,(1).给出图形,建立方程 ;,(2).已知坐标满足的方程,研究其表示的曲面图形.,1.球面,已知球心M0 (x0,y0,z0),半径r , 求球面S方程.,M(x,y,z) S,|M0 M| = r ,即,(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2,展开:,x2+y2+z2 -2x0 x-2y0y-2z0z + x02+y02+z02 -r2 =0,图形,方程,球面方程特点:,(i) 三元二次方程;,(ii) 二次项x2、y2、z2系数相同;,(iii)无混合二
2、次项xy、yz、zx.,反过来,具备这三个条件的方程,其图形是球面:,A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0,(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=k,k0 球面方程,k=0 点球面,k0 虚球面,2.旋转曲面:,平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.,曲线 C,C,绕 z 轴旋转一周得旋转曲面 S,C,.,曲线 C,绕 z 轴旋转一周得旋转曲面 S,2.旋转曲面:,平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.,曲线 C,绕 z 轴旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M (x,y,z),N,P,
3、y,z,o,f (y1, z1)=0,.,2.旋转曲面:,平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.,旋转曲面特点:,母线 C,C中轴坐标(z) 不变,另一坐标(y)变为除轴坐标外两坐标的正负算术平方根.,旋转曲面名称:,与母线名称对应.,(1),-旋转椭球面,反过来,方程中若有两个变量以平方和形式出现,这个方程的图形一般是旋转曲面.,(2-1)双叶旋转双曲面,x,0,绕 x 轴一周,x,0,.,绕 x 轴一周,(2-1)双叶旋转双曲面,x,0,.,.,绕 x 轴一周,(2-1)双叶旋转双曲面,(2-2)旋转单叶双曲面,a,双曲线,绕 y 轴一周,(2-2)旋
4、转单叶双曲面,a,.,绕 y 轴一周,双曲线,(2-2)旋转单叶双曲面,a,.,.,.,双曲线,绕 y 轴一周,(3)旋转抛物面,o,抛物线,绕 z 轴一周,o,.,抛物线,绕 z 轴一周,(3)旋转抛物面,y,.,o,x,z,生活中见过这个曲面吗？,.,抛物线,绕 z 轴一周,得旋转抛物面,(3)旋转抛物面,绕y轴旋转一周又如何?,卫星接收装置,.,(4)圆锥面,直线,绕 x 轴一周,.,直线,绕 x 轴一周,(4)圆锥面,.,直线,绕 x 轴一周,得旋转锥面,.,(4)圆锥面,3.柱面:,沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线L (母线)扫过的曲面叫做柱面.,N,(x, y, 0),S,f
5、(x,y)=0,M(x,y,z) S,(母线 z轴),柱面特点:,柱面名称:,与母线名称对应.,含有两个变量的方程在空间表示柱面.,S: f (x,y)=0,(1).椭圆柱面,当 a=b 时,为圆柱面:,(2).双曲柱面,y,o,(3).抛物柱面,球面、旋转曲面、柱面,A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0,x2 + y2 = 2pz,x2 + y2 = k2 z2,y2 = 2px,二.空间曲线:,一般式方程:,参数式方程:,如:,1. 方程:,P,同时, 又在平行于 z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是 圆柱螺线。,圆柱面,a,x = y =z =,acos t,b
6、t,M(x,y,z),asin t,t,M,螺线从点P Q,当 t 从 0 2，,叫螺距,N,.,Q,（移动及转动都是 等速进行，所以 z与t成正比。),点P在圆柱面上等速地 绕z轴旋转；,螺旋线,2. 空间曲线C在平面上的投影:,以空间曲线C为准线,母线垂直于的柱面与的交线.,在xOy面上的投影:,(1). 求,f (x,y)=0 (柱面),(2).,例1:,解:,往zOx 面上投影:,x2 + y2 -x =0,z2 + x =1,1,.,解,得交线L：,由,图例,.,1,解,L,.,.,.,得交线L：,.,投影柱面,由,图例,例2:,往xOy 面上投影:,解:,往yOz 面上投影:,往z
7、Ox 面上投影:,8.5 二 次 曲 面,一.二次方程的化简和分类,Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fzx+Gx+Hy+Lz +M=0,1.化简:,(1).用正交变换去掉混合二次项,得,1 x12+2 y12+3 z12+G1x1+H1y1+L1z1 +M1=0,(2).用平移变换(配方法)尽量去掉一次项.,例3:,解:, =8 , 4 , -2 ,(1).,f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 .,(2). (配方),取平移变换,8 x22+4 y22-2 z22= 8,即,单叶双曲面.,2.简化后的三元二次方程分类,(一)、1 、2 、
8、3全不为零,1 x2+2 y2+3 z2= d,椭球面,a = b ？,a = b = c ？,单叶双曲面,a = b ？,双叶双曲面,b = c ？,二次锥面,a = b ？,(二)、1 、2 不为零,3 = 0,1 x2+2 y2= c z + d,椭圆抛物面,p = q ？,双曲抛物面,(马鞍面),(三)、1 不为零, 2 = 3 = 0,1 x2= b y + c z + d,( b 、c不全为零),柱面,椭球面,单叶双曲面,双叶双曲面,二次锥面,椭圆抛物面,双曲抛物面,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,马鞍,二. 描 图,用 z = h 截曲面:,a,b,c,特点:,关于坐标面对称;,1
9、.椭球面:,|x |a , |y |b , |z |c ;,2.单叶双曲面,用 z = h 截曲面,椭圆,用 y= h 截曲面,|h | b :,双曲线-实轴x轴,|h |=b :,-两相交直线,|h |b :,双曲线-实轴z轴,用 x= h 截曲面,3.双叶双曲面,4.二次锥面,5.椭圆抛物面,6.双曲抛物面,用 z= h 截曲面,hp 0 :,双曲线-实轴x 轴,h =0 :,-两相交直线,hp 0 :,双曲线-实轴y 轴,用 y = h 截曲面,抛物线,用 x = h 截曲面,抛物线,(马鞍面),用z = a 截曲面,用y = 0 截曲面,用x = b 截曲面,.,用z = a 截曲面,用y = 0 截曲面,用x = b 截曲面,.,用z = a 截曲面,用y = 0 截曲面,用x = b 截曲面,练习:,球面圆锥面二次锥面椭圆抛物面双叶双曲面单叶双曲面马鞍面抛物柱面,二次曲面,空间曲面,空间曲线,9种,螺旋线,投影曲线,
