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1、1,第五章,刚体的转动定律,2,刚体的定轴转动,一、力矩：,同一刚体上有多个作用力时，合力矩是各力矩的矢量和。,二、描述转动的物理量,角速度,角加速度,法向加速度为,切向加速度为,(SI)单位：rad/s 工程单位 rev/min(转/分）,3,将刚体分为质量为mi的质元设：该质元所受的外力 Fi 该质元所受的内力 fi 该质元到转轴的位置矢量ri 将力分解为切向与法向分量，由牛顿第二定律可得,Fi+fi=miai,刚体的定轴转动定律：,定轴转动时所有的质点有同样的角速度、角加速度,2式对转动无作用，将(1)式乘以ri,Fin+fin= miain,=miri （1）,= miri2 (2),
2、4,riFi+rifi=miri2,利用 Fi=Fisini fi=fisini 并对所有的质元求和有,riFisini+ri fisini =miri2,由于任意的两个质元的内力大小相等，方向相反，作用于同一直线上，故 内力的力矩为0。而：,riFisini= Mi=M,M = Mi =(miri2),5,扩号中的项称为转动惯量，表示刚体在转动时的惯性。通常用 J 来表示。,J =(miri2),对于质量连续分布的刚体，上式的求和变成积分。,刚体的定轴转动定律为： M=J,例1、求质量为m的质点、到转轴的Y距离为r,对Y轴的转动惯量是多少？,若另有一质点，质量为M,到转轴的Y距离为R,这两个
3、质点的转动惯量是多少？,6,例2、求质量为m、半径为R的细元环绕其直径转动的转动惯量。,用 表示细元环的质量密度=m/2R,若将转轴移动到圆环的左边，由平行轴定理圆环的转动惯量是多少？,7,解：设棒的线密度为，由转动惯量的定义式,对C点：,对G点：,对H点,平行轴定理,将转轴作为坐标原点,8,上面的第3个计算结果是一个普遍的结果：称为平行轴定理。即：若质量为m的刚体绕一通过刚体质心的转轴的转动惯量为Jc,则绕一与过质心的转轴平行的另一转轴的转动惯量J为 J= Jc+mh2。（h是新转轴到过质心转轴的距离。）,9,转动定律的应用：,刚体绕定轴转动的转动定律为 M=J,例3、一均匀圆盘质量为m0，
4、半径为R,可绕其圆心转动。圆盘边缘绕有一轻绳，受到向下的张力T,求圆盘的角加速度，以及圆盘边缘的切向加速度。若轻绳下挂一质量为m的物体时情况如何？,10,将其分为两个部分,分别列出运动方程：,由（2）式解出T 得：,如果令 mg=T 则：,11,刚体绕定轴转动的动能定理：,刚体的转动动能为,由 A=Md得,在机械能守恒定律中，刚体定轴转动的动能由上式计算。,12,例4、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 在棒上取质元dm,当棒处在下摆角
5、时，质元的重力为：,dM=ldm g sin(900-) =gldlcos(),由 M=J 得：,13,接下来求，由,得,两边乘以d后积分得：,用能量守恒原理也可以解出,由于均匀细棒的质心在 l/2 处，下降时重力做的功为:,把左边的式子平方后对t求导可得,14,刚体的角动量定理、角动量守恒定律,由转动定律,两边乘以dt并积分,上式称为刚体定轴转动的角动量定理，其中,是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。,称为刚体的动量矩，或角动量。常用 L 表示。,注意：单个质点绕轴运动时，其角动量为该质点的位置矢量与动量的叉乘。,刚体做定轴转动时，P与r垂直时 L= rmv= mr2= I,15,当系统由多个
6、刚体组成时，合外力矩的冲量矩等于系统总角动量的增量。,由于 Mi 可以分解为内力与外力产生的力矩，内力矩的矢量和总是为0，可以得到系统的角动量守恒定律。若系统的合外力矩为0时，系统的总角动量守恒。,时,即：,注意：1）对于一个做定轴转动的刚体，合外力矩为0时，角动量保持不变。刚体依靠惯性做匀角速运动。 2）对于由若干个物体组成的系统，在满足角动量守恒的条件下，使系统的转动惯量减小，其角速度将增大。转动惯量增加，则角速度将减小。,16,例5、在一光滑的水平桌面上，用轻绳的一头拴着一个做匀速圆周运动的小球，小球的质量为m、速度为V0、运动半径为R。绳的另一端穿过桌面上的小孔，现向下拉绳子使其运动半径减小到r，求小球的速率和角速度。这个过程能量是否守恒？,解：由角动量守恒定律,RmV0= r mV,这个过程能量不守恒。,17,拉力F做的功为,18,例6、长为2L质量为m的匀质细棒，可在竖直平面内绕过中心的水平轴无摩擦地转动。开始时棒静止在水平位置。一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一个端点，与棒作完全弹性碰撞，如图。求碰撞后小球回跳的速度和棒的角速度。,解：分别列出动量守恒与能量守恒的式子,muL=J+mvL (1),(2),改写为,mL(u-v)=J,m(u+v)(u-v)=J2,得：,
