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1、工程数学,数学物理方程与特殊函数,第一章 典型方程与定解条件, 引言,如：位移、时间、温度、密度、场强，等等., 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 拉普拉斯, 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿,从数量形式上刻画了由相应的物理定律所确立的某些物理量之间的相互制约关系,+,=, 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。,求解,概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：, 一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移，这种现象叫扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。,参考书目:,数学物理方程学习指导与习题解答 陈才生 科学出版社
2、 2010年,数学物理方程与特殊函数学习指南 王元明 高等教育出版社 2004年,数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解 赵振海 大连理工大学出版社 2003年,数学物理方法学习指导 姚端正 科学出版社 2001年,数学物理方程与特殊函数 导教导学导考 张慧清 西北工业大学出版社 2005年,超星数字图书馆（注: 网络图书馆）, 数学物理方程：, 方程的几个基本概念, 定义：,主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。,例如：,双曲型,抛物型,椭圆型,典型方程, 数学物理方程的发展历史简述,偏微分方程理论的起源
3、可追溯到十八世纪（微积分产生之后），,人们将力,学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。,例如：1715年，泰勒（17,46年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。,这一,讨论吸引了众多数学家的注意。,例如：欧拉（1759年）和丹贝努利（1762年,）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。,这样就由对弦振动的研究开创,了数学物理方程这门学科。,随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。,例如：1780,年，Laplace在研究引力势
4、的工作中提出了Laplace方程。,Euler与 Lagrange,在流体力学的工作中，Legendre和Laplace在天体力学的工作中都研究了调,和方程。,所有这些都丰富了这门学科的内容。,数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。,从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也有
5、了新的面貌。不断涌现新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。例如：,爱因斯坦方程（引力场），,Yang-Mills方程（规范场）, 偏微分方程,方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数的偏导数(也可仅含偏导数)的方程称为偏微分方程。, 定义,一般形式：, 方程的阶,方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。, 方程的分类,线性偏微分方程,如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次的），且其系数仅依赖于自变量，就称之为线性偏微分方程。,非线性偏微分方程,如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），则称其为拟线性偏微
6、分方程。,若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），而其系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为半线性偏微分方程。,对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。,线性偏微分方程可分为,当自由项为零时,齐次方程,当自由项为非零时,非齐次方程,2阶,2阶,2阶,4阶,2阶,1阶,1阶,3阶,线性,线性,线性,线性,非线性,非线性,线性,非线性,非齐次,齐次,齐次,非齐次,齐次,半线性,拟线性,拟线性,2阶,2阶,2阶,非线性,半线性,非线性,拟线性,非线性,完全非线性, 偏微分方程具有3个特点,特点1：解的自由度比常微分方程大。这是因为n阶常微分方程的解
7、通常依赖于n个任意常数；而对n阶偏微分方程，其解通常依赖于n个任意函数.,注：一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等.,特点2：偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。,注：常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也 有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。,特点2：解具有叠加性,注：解的叠加原理对任何阶的线性方程都适用，而对非线性方程不成立., 定解条件与定解问题, 定解条件的定义,定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。, 定解条件的种类,个数：,关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确
8、定一个特解,定义：体现物理过程边界状况的数学表达式,种类,第一类边值条件,第二类边值条件,第三类边值条件,个数：类似于初始条件的情况,由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交界处需给定两个衔接条件,由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函数附加以单值、有限、周期性等限制，这类附加条件称为自然边界条件.,定解问题,初值问题：,由泛定方程和初始条件构成的定解问题，也称为柯西（Cauchy）问题.,边值问题：,由泛定方程和边值条件构成的定解问题.,混合问题：,由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题.,注意：,泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同规律，即共性. 定解条件描述物理问题的特性，即个性
9、。二者构成了描述具体物理问题的定解问题（数学模型）., 定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性,微分方程的解,假设方程的阶数为n，若函数u在所考虑的区域内具有n阶的连,续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，,则称u为方程的,解（或古典解）.,若方程解u的表达式中含有n个任意常数（或函数），则称u是方程的通解（或一般解）.,通过定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的解，称之为定解问题的解。,未经过验证的解，称之为形式解。,注：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们按较弱的意义满足方程，这种解称为广义解。,定解问题的适定性,定解问题是否能够反映实际，,或者
10、，定解问题的提法是否适合？,从数学的,角度看主要从下面三个方面来验证：,解的存在性：,即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在?,解的唯一性：,即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。,解的稳定性：,当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。,如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.,注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！,例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题
11、中.,例如：,对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始时刻物体应具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？, 这是个不适定的问题，它是所谓的数学物理问题的反问题。,注：对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。,1923年，阿达马（J.S. Hadamard，法国）提出,基本步骤, 数学物理方程的导出,1、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐标系，从所研究的系统中,2、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用；,3、化简、整理即得所研究问题的偏微分方程（泛定方程）。,划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用；, 弦振动方程和定解条件,物理模型（弦的
12、微小横振动问题）,公式被称为弦的强迫横振动方程（又称一维非齐次波动方程）.,讨论,若考虑弦的重量，则,推广,（如薄膜振动等）,二维,（如弹性体振动、电磁波或声波传播等）,三维,上述公式虽然为弦振动方程，但在力学上弹性杆的纵振动，建筑物的剪振动，潮汐波，地震波，管道中气体小扰动的传播以及电报方程等问题，都,说明：,只是其,可以用这个方程描述。,这些物理现象的共性是振动产生波的传播。,中的未知函数表示的物理意义不同。,定解条件的提法,初始条件,（初始状态）,注：未知函数关于时间为二阶导数，需要两个初始条件！,边值条件,（边界上的约束）,注：,如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件，但有时
13、需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实际上也是边值条件,（Dirichlet边界条件）,（Neumann边界条件）,（Robin边界条件）,两端弦的张力对外界沿着垂直方向的作用力分别是, 两端受垂直方向的（已知）外力的作用。, 两端不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑动）。,由于,它们的负值应分别等于沿着垂直方向所受外力，即,此时边界条件为,称为自由边界条件, 热传导方程（也统称为输运方程）和定解条件,物理模型（热传导问题）,物理定律：,特例,说明,方程虽通常被称为热传导方程，但绝不只用于表述热传导现象.,例如：,考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程，
14、都可用这个方程来刻画. 故该方程也被称为扩散方程.,定解条件的提法,初始条件,（初始状态）,注：未知函数关于时间为一阶导数，故只需一个初始条件！,边值条件,牛顿冷却定律：,在单位时间内，从物体表面单位面积中流向外界的热量q，与物体外表面的温度和外界在表面处的温度差成正比., 薄膜平衡方程和定解条件,物理模型（薄膜平衡问题）,假设：,物理原理：,沿位移u方向的张力和重力的合力等于0 平衡状态；,这就是微翘的薄膜平衡方程.,的方程为二维泊松方程.,一般地，称形如,若薄膜的重力可忽略，即f = 0，则方程被称为二维拉普拉斯方程（或调和方程）.,Poisson方程和Laplace方程还可描述许多物理现
15、象，如静电场的电势分布、热传导问题中定常温度分布、引力势、流体力学中的势和弹性力学中的调和势，概括地说，它所描写的自然现象是稳恒的、定常的，即与时间无关的反映物理量在稳恒状态下的变化规律.,说明：,例如：,稳定温度分布, 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化.,故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.,薄膜振动方程,（二维波动方程）,（薄膜平衡方程）,定解条件的提法,初始条件,（初始状态）,注：由于它们都是描述稳定状态的，与时间无关，故不提初始条件！,边值条件,注意：边界条件并不只限于以上三类，还有其他边界条件（热传导中有辐射条件），有时甚至
16、还有非线性边界条件。, 几个重要的基本原理,叠加原理,在物理学中经常出现这样的现象：一些不同的单个原因的综合所产生的综合效果等于这些不同的单个原因各自产生的单个效果的累加，这就是叠加原理.,适用条件：,例如：,1. 物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度,于 各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的矢量和,这叫做力的叠加原理（或力的独立作用原理）.,2. 如果几个电荷同时存在,它们电场就互相叠加,形成合电 场.这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产 生的场强的矢量和,这叫做电场的叠加原理.,3. 点电荷系产生的电场中某点的电势等于各个点电荷单独 存在时,在该点产生的电势的代数和,
17、称为电势叠加原理.,泛定方程、定解条件都是线性的线性定解问题.,数学表述：,可将复杂的定解问题看作是若个相对简单部分的线性叠加而成，那么这几个部分所得出的解的线性叠加给出的形式解，即为原定解问题的解体现了“化归”思想.,利用叠加原理，可以分解成如下两个问题,定解问题的分解,叠加原理 I.,注.,上面列出的两端边界条件都是第一类的. 实际上，对于第二类边界条件以及两端不同类型的边界条件，也成立叠加原理.,利用叠加原理，可以分解成如下三个问题,定解问题的分解,叠加原理II.,非齐次方程,（积分形式的）叠加原理III.,非齐次方程,叠加原理IV.,带齐次边界条件的初边值问题,例如. 考虑弦振动的初值
18、问题,利用叠加原理IV，可以分解成如下两个问题,和,说明：,利用Duhamel原理求解,由物理意义知，这种振动可看成是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.,于是，原问题可分解为如下三个问题,利用叠加原理IV，问题（1）又可分解成如下两个问题,和,齐次化（ Duhamel ）原理,（杜阿梅尔，法国，1797-1872）, 非定常、非齐次线性偏微分方程、齐次条件 的定解问题（柯西问题、初边值问题）.,例如：双曲型及抛物型,叠加原理的一个重要应用就是它可以把非齐次的线性偏微分方程的求解化为齐次线性偏微分方程的求解，即所谓的齐次化原理，又叫杜阿梅尔（Duhamel）原理., Duhamel原理（齐次初始条件的非齐次方程的初值问题）,该方法可以看作是求解非齐次线性常微分方程时使用的常数变易法的推广.,换句话说，我们先考察时间微元d内弦的位移量，然后再进行0t段的积分，就是t时刻x处弦的位移量u(t,x).,注：通常在求解（2）时，作变换 则问题（2）,可转化为, Duhamel原理（齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题）,注: 上面对第一边值问题的求解方法，同样适用于第二边值问题及其它类型 的混合问题（比如半无界弦的振动问题等）.,
