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1、第三章 多维随机变量及其分布,习题课,例 1,为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中.,X=1 若被调查者不吸烟,X=0 若被调查者吸烟,Y=1 若被调查者未患肺癌,Y=0 若被调查者患肺癌.,令:从表中的每一种情况出现的次数计算出它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布: PX=0,Y=03/23000=0.00013, PX=1,Y=01/23000=0.00004, PX=0,Y=14597/23000=0.19987, PX=1,Y=118399/23000=0.79996.,例2 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2,
2、2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.,( X, Y ) 的可能取值为,解,故 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,所以( X ,Y ) 的分布函数为,例3 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1),(1)由pij=1得: a=0.1,(2)由P(X,Y)D =,得 P(X0,Y1),=P(X=0,Y=0)+,P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P
3、(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,X,Y,-1,0,1,2,1,PX0,Y1,P(X1,Y1,例4,解,(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,例 5 若(X,Y),试求:(1)常数 A ;,(3) P（Xx,Yy）；,(4)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,(2)P X2, Y1;,所以, A=6,=A/6,=1,P X2, Y1,2,1,X2, Y1,(3),x
4、,y,所以, 当x0,y0时,(4)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,解: (1),例 6,设(X,Y)的概率密度函数为,其中A是常数.(1)求常数A.(2)求(X,Y)的分布函数；(3)计算P0X4,0Y5.,(3) P0X4,0Y5,解:,例 7,设(X,Y)的分布律为,求:分量X和Y的边缘分布.,把这些数据补充到前面表上:,例 8 已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,解,例9,例10 设( X ,Y ) 的联合密度为,其中k 为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5); 联合分布函数 F (x,y);
5、 边缘密度与边缘分布函数,解 令,(1),(2),0.5,的分段区域,当0 x 1, 0 y x 时，,(3),当x0 或 y0 时, F(x,y) = 0,当0 x1, x y1时，,当0 x 1, y 1时，,当x 1, 0 y 1时，,当 x 1, y 1 时，,(4),当然也可直接由联合密度求边缘密度，例如,解:,例 11,设随机变量(X,Y)的分布律为:,PX=0PY=0=0.20.00017 0.00013=PX=0,Y=0 X和Y不相互独立.,讨论随机变量X与Y的独立性.,解,例12,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,例13,设二维
6、随机变量(X，Y)具有密度函数,试求（1）常数C；（2）(X，Y) 落在如下图所示的三角区域内D 的概率；（3）关于X, Y 的边缘分布并判断 X, Y 是否相互独立,解,(1)由分布函数的性质，可得,故,(2),(3)关于X 的边缘密度函数为,当 时，,当 时，,故有,同理可求得关于Y 的边缘密度函数为,因为对任意的实数 x, y ，都有,所以X, Y 相互独立.,解,由均匀分布的定义， (X，Y)的联合密度函数,则关于X 的边缘密度函数为,关于Y 的边缘密度函数为,所以X, Y 不相互独立.,例15 已知( X ,Y ) ,Z = X + Y ,求 f Z (z),解法一 分布函数法,解法
7、二 图形定限法,解法三 不等式组法,解法一（分布函数法）,当z 0 时，,当0 z 1 时，,当1 z 2 时，,z-1,当2 z 时，,解法二（图形定限法）,显然X ,Y 相互独立,且,解法三（不等式组法）,显然X ,Y 相互独立,且,例16 已知 ( X ,Y ) 的联合密度为,Z = X + Y ,求 f Z (z),解法一 （图形定限法）,当 z 0 或 z 2 ,当 0 z 1,当 1 z 2,f Z (z) = 0,解法二 （不等式组法）,考虑被积函数取非零值的区域,令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0,1,2,当 或 时不等式组 无解,当 时不等式组 解为,当 时不等式组 解为,解法三（积分换元法）,令,2,1,1,例17 设二维随机变量(X ，Y )的密度函数为,试求随机变量 Z=X /Y 的密度函数.,例 18,解,解,
