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1、等差数列的初步认识,执教者:,数学是打开科学大门的钥匙。,高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？,高斯（1777-1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。,高斯“神速求和”的故事:,首项与末项的和： 1100101，,第2项与倒数第2项的和： 299 =101，,第3项与倒数第3项的和： 398 101，, ,第5
2、0项与倒数第50项的和：5051101，,于是所求的和是：,求 S=1+2+3+100=？,你知道高斯是怎么计算的吗？,高斯算法：,1 + 2 + 3 + 4 + .+ 98 + 99 + 100 = ?,等差数列,项数,和,在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：,（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）,2062,相差76,你能根据规律在（ ）内填上合适的数吗？,(3)1, 4， 9， 16,（ ），36，,(4) 1,2，3 ,5，8, 13，21 ，（ ）,（1）3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,( ) ,(2)1, 2, 4, 8, 16
3、, 32, 64,( ) ,25,34,128,10,象这样按照一定的规律排列的一组数,我们称为数列,其中每个数都叫做数列的项,排在第一列的叫第一项,(也叫首项)一般用a 1 表示,第二列的叫第二项,用a 2表示,排在第N列的数叫第N项,用a n表示.,+1 +1 +1 +1 +1 +1,2 2 2 2 2 2,11 22 33 44,等差数列,等比数列,斐波拉契数列,平方数列,数列的分类,1、按数列中项的个数来分类：有限数列：如：0，1，1，2，4，7，13，24，44无限数列：如：1，3，5，7，9，11，13，,数列的分类,2、按数列中项的变化规律来分类：递增数列：如：1，2，3，4，5
4、，6，100递减数列：如：100，99，98，97，2，1常数列：如：1，1，1，1，1，1，1,实战演练1,观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。（1）5，9，13，17， ， 。（2）1，4，9，16， ， 。（3）4，5，7，11，19， ， 。,21,25,25,36,35,67,数列的分类,3、按数列中项的性质特点来分类：等差数列：如：0，1，2，3，4，5，6，（自然数列）递推数列：如： 1，1，2，3，5，8，13，21 ，周期数列：如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，,找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。（1）5，15，45，135， ， 。（2）60，6
5、3，68，75， ， 。（3）180，155，131，108， ， 。（4）0，1，1，2，3，5， ， 。,405,1215,84,95,86,65,8,13,实战演练2,一、定义：,例 1： 观察下列数列是否是等差数列：,等差数列,一般地，如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。,1，4，7，10，（ 13 ），16，,1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10,5，5，5，5，5，5，,1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, 19,公差 = 第二项首项,评注：,1
6、、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数，也可以是。,习:按规律把下列数列补充完整,并且指出那些是等差数列.,1,3,6,8,16,18,( ),( ),76,78,81,64,49,36,( ),( ),35,28,22,17,( ),( ),1,2,4,7,11,16,( ),2,3,5,8,12,17,( ),2,3,5,8,13,( ),1,3,7,15,( ),45,55,66,78,( ),( ),认识数列,观察：1，3，5，7，9，19,第一项,第二项,第四项,第三项,第五项,第十项,首项,末项,项数,实战演练1,
7、数列：2，3，5，8，13，89首项是：末项是：项数是：55在这个数列当中是第 项,2,89,9,8,等差数列的和 = （首项末项）项数2,天才知道,例、求首项为5，末项为155，项数是51的等差数列的和。等差数列的和 = （首项末项）项数2解：（5155）512=160512=8051=4080,天才知道,例、1357959799等差数列的和 = （首项末项）项数2解：1357959799=（199）502=2500,天才知道,例、（13519971999）（24619961998）解：（13519971999）（24619961998）=（11999）10002（21998）9992=10
8、00000999000=1000,例、一个有20项的等差数列，公差为5，末项是104，这个数列的首项是几？,求首项公式： 首项=末项-公差（项数-1）,例、已知数列2、5、8、11、14，47应该是其中的第几项？,首项a1=2，公差d=5-2=3 项数 = （末项首项）公差1 则利用项数公式可得： n=（47-2）3+1=16 即47是第16项 故答案为：16,例、在等差数列5、10、15、20中，155是第几项？350是第几项？,天才知道,例、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？,求末项公式: 末项=首项+（项数-1）公差,例、有60个数，第一个数是7，从第二个数开
9、始，后一个数总比前一个数我4 。求这60个数的和。,解：（1）末项为：74（601） =7459 =7236 =243,（2）60个数的和为：（7243）602 =250602 =7500,本节课你学习了什么？ 有什么收获？ 还有什么疑问？ ,课堂小结:,第二课时,例:已知等差数列 1，4，7，10，13，16，求它的第58项是多少?,等差数列的第n项： 等差数列的第n项= 首项（n1）公差 a n = a 1 + ( n 1 ) d .,a1 、an、n、d知三求一,1. 求等差数列3，7，11，的第4，7项？,解:已知a1=3,d=4,n4=4,n7=7,n10=10,求a4,a7,a10
10、,a4=a1+(n4-1)d,a7=a1+(n7-1)d,=3+(4-1)4,=15,=3+(7-1)4,=27,天才知道,天才知道,1、求等差数列3，5，7，9.的第10项和第100项。,天才知道,例、电影院的座位排列成扇形，第一排有60个座位，以后每一排都比前一排多两个座位，共有50排，请你算出第32排和第50排各有多少个座位？ 第一排：60 第二排：60+2X(2-1)=62 第n排： 60+2X(n-1)=2n+58 第32排：60+2X(32-1)=122 最后一排即第50排：60+2X(50-1)=158,例:在等差数列5，9，13.401中,401是第几项?,解:已知a1=5,d
11、=4,an=401,求n=?,a n = a 1 + ( n 1 ) d,n = (a n - a 1 ) d +1,= (401 - 5 ) 4 +1,=396 4 +1,=100,天才知道,= (25 - 5 ) (6-1),=205,=4,a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,a5=a1+4d,=5+4,=9,=5+24,=13,=5+34,=5+44,=17,=21,这六个数为5, 9, 13, 17, 21, 25,例:在5和25之间插入4个数,使他们组成等差数列,这求这四个数?,析:要插入这四个数,首先必须要利用公式求出公差.,解:已知a1=5, n =6,an=25
12、,求a2,a3,a4, a5,例：求所有被4除余1的两位数之和。,解：被4除余1的所有的两位数有13，17，21，97它们组成了一组公差为4的等差数列.其中a1=13,d=4,an=97,求Sn=?,n = (a n - a 1 ) d +1,= (97 -13 )4 +1,= 22,Sn = (a 1 +a n)n2,= (13 +97)222,= 1210,天才知道,梯子的最高一级宽32厘米，最低一级宽110厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算中间一级的宽度。,智慧大比拼1,甲乙两人都住在同一胡同的同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数。甲住21号，乙住193号。甲、乙两人的住处相隔着多少个门？,智慧大比拼2,在12和60之间插入3个数，使之组成等差数列。,智慧大比拼3,回顾本章知识点：求等差数列和的公式： 等差数列的和 = （首项末项）项数2求第几项公式： 项数 = （末项首项）公差1求末项公式: 末项=首项+（项数-1）公差求首项公式： 首项 = 末项公差（项数1）求公差公式： 公差 = 第二项首项 公差 = (末项首项）（项数1）求等差数列第n项公式： 等差数列的第n项 = 首项（n1）公差,课堂小结:,一个等差数列的第一项是5.6,第六项是20.6,求它的第四项.,智慧大比拼4,
