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1、,一、三重积分的计算,二、重积分的应用,重积分习题课（二）,第九章,三重积分,一、主要内容,一、三重积分的概念,1定义:,2物理意义:,二、三重积分的性质,三、三重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）“先一后二”法,则,若 为 在 面上的投影区域,（2）“先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若,2利用柱面坐标计算,若,则,3利用球面坐标计算,若,则,四、三重积分的应用,1几何应用,2物理应用,（1）质量,（2）质心,空间立体 的体积,（3）转动惯量,五、三重积分的解题方法,计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标,三种坐标计算。通常要判别
2、被积函数 和积分区域,所具有的特点。如果被积函数,积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果,被积函数 ，则可采用先重后单法计算；如果,被积函数 ，积分区域 为柱或 的投影,是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，,则采用直角坐标计算。,利用球面极坐标计算,先一后二的方法,Yes,No,No,Yes,转化为三次积分,先二后一的方法,求D1及截面面积,求,确定,上顶曲面 下顶曲面,为柱或 投影为圆域,利用柱面坐标计算,确定,上顶曲面 下顶曲面,利用直角坐标计算,Yes,No,1,2,3,11,12,解题方法流程图,六、典型例题,解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为,
3、解: （如图）在平面 上的投影域 .,的上顶曲面 为 ，,【例2】 计算三重积分 其中 为平面 ，,， ， ，所围成的四面体。,下顶曲面 为 。,1,1,x+ y=1,。,。,z=xy,【例3】,解: (1) 求 （如图）在平面 上的投影区域为,(2) 确定上顶曲面 及下顶曲面 。,(3) 转化为先对 后对 的三次积分计算：,解：积分区域 的如图所示。,在柱面坐标下,故有,解法1：利用“先二后一”方法计算。,由于 ，,其中 ，故,解法2：利用柱面坐标计算。,在柱面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但“先二后一”法相对简便。,【例6】计算三重积分 ，其中
4、是由圆锥面,与上半球面 所围成的闭区域。,.,用哪种坐标？,解法一:利用柱面坐标计算,在柱面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。,解法二:利用球面坐标计算,【例7】求 ，其中 是由球面,所限定的球域。,在球面坐标系下，,解：积分区域 的图形如图。,故有,解：积分区域 的图形如图。,在球面坐标系下,故有,解法1：利用球面坐标计算。,用圆锥面 将 分成两部分,其中,于是，得,解法2：利用柱面坐标计算。,由于 在 平面的投影区域 ；,故在柱面坐标下，,于是有,解法3：用“先二后一”法计算。,用平面 将积分区域 划分为两部分： ，其中,于是，得,注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用三种方法来求解， 但其中的“先二后一”法最为简便。,解,利用球面坐标,【例10】,【例11】设 ，计算 ，,解：,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,【例12】,
