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1、实验一 ARIMA模型建立与应用一、实验项目：ARIMA模型建立与预测。二、实验目的1、准确掌握ARIMA(p,d,q)模型各种形式和基本原理；2、熟练识别ARIMA(p,d,q)模型中的阶数p,d,q的方法；3、学会建立及检验ARIMA(p,d,q)模型的方法；4、熟练掌握运用ARIMA(p,d,q)模型对样本序列进行拟合和预测；三、预备知识（一）模型1、AR（p）(p阶自回归模型）其中ut白噪声序列，是常数（表示序列数据没有0均值化）AR（p）等价于AR（p）的特征方程是：AR（p）平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。2、MA（q）（q阶移动平均模型）其中ut是白噪声过程。MA（q）平稳
2、性MA（q）是由ut本身和q个ut的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平稳的。MA（q）可逆性（用自回归序列表示ut）可逆条件：即收敛的条件。即（L）每个特征根绝对值大于1，即全部特征根在单位圆之外。3、ARMA（p，q）（自回归移动平均过程）ARMA（p，q）平稳性的条件是方程（L）=0的根都在单位圆外；可逆性条件是方程（L）=0的根全部在单位圆外。4、ARIMA（p，d，q）（单整自回归移动平均模型）差分算子：对d阶单整序列xtI(d)则wt是平稳序列，于是可对wt建立ARMA（p，q）模型，所得到的模型称为xtARIMA（p，d，q），模型形式是由此可转化为ARMA模型。（二）模型识别要
3、建立模型ARIMA（p，d，q），首先要确定p，d，q，步骤是：一是用单位根检验法，确定xtI（d）的d；二是确定xt AR（p）中的p；三是确定xt MA（q）中的q。平稳序列自相关函数0=1，-k=k（对称）1、平稳AR(p)的自相关系数和偏自相关系数（1）平稳AR(p)的自相关系数i0，k0平稳AR(p)的自相关系数是，k0（2）k阶平稳自回归过程AR(k)的偏自相关系数两边同除以0对任意j0都成立。根据和对称性，得到Yule-Walker方程组对于给定的k，1,2,k已知，每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数：11，22的,kk。3是k=3的自相关系数，意义：度量平稳序列xt与x
4、t-3的相关系数，至于中间xt-1，xt-2起什么作用无法顾及。33的k=3的偏自相关系数。意义：剔除中间变量xt-1，xt-2的影响后，度量xt与xt-3的相关程度。2、平稳MA(q)的自相关系数和偏自相关系数（1）MA(q)自相关系数当kq时，k=0，xt与xt+k不相关，这种现象称为截尾，因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶数q。（2）MA(q)偏自相关系数MA(q)模型对应一个AR（），通过AR（）来解决3、ARMA（p，q）有拖尾特征，p和q的识别通过从低阶逐步试探直到合适的模型为止。（三）模型估计用Eviews软件进行估计（四）模型检验1、用t统计量
5、检验模型参数显著性；2、为保证ARMA（p，q）的平稳性和可逆性，模型特征根皆应在单位圆以外，或倒数在单位圆内；3、用Q统计量对残差进行白噪声检验。原假设和备择假设（序列不存在自相关，是白噪声）不全为0（序列存在自相关，不是白噪声）统计量其中上述r是样本相关系数，T是样本容量，分布是极限分布。K是自相关系数的个数，即最大滞后期。若样本较大，则K=T/10或T的平方根；若样本较小，则K=T/4。判别规则是：接受原假设，拒绝原假设。（五）模型外推预测已有ARMA（p，q）模型和观察值Xt，Xt-1，Xt-2，X1。把观察值代入，在t+1时刻有上式中，观察值已知，只有误差处理问题。下标大于t的误差项
6、，由于未来的误差未知，因此用期望值0代替未来的误差。下标从1到t的误差项，可用残差估计值（要建模时可找到）代替。于是1步预测公式：类似地，2步预测公式和l步预测公式分别是： 其中，h-p0时，四、实验内容1、ARIMA(p，d，q)模型阶数识别；2、ARIMA(p，d，q)模型估计与检验；3、ARIMA(p，d，q)模型外推预测。五、实验软件环景：Eviews软件。六、实验步骤：按、以美元对欧元汇率1993.1到2007.12的月均价数据为例进行实验。（一）创建Eviews工作文件（Workfile）从Eviews主选单中选“File/New Workfile”，选择“monthly”选项，输
7、入“Start date:1993:01End date:2007:12”。（二）录入数据，并对序列进行初步分析1、导入数据Quick/Empty Group在Ser01输入数据；改变量名：点击Ser01全选第一列，在命令栏输入EURO。将文件保存命名，注意存放地址。2、序列初步分析选定变量EURO，双击它，ViewGraphLine，输出EURO的曲线从图形看到美元对欧元汇率在2001年左右处于高位，2002年以后一直处于下跌态势。数据总体上类似于随机游走过程形式，应该是非平稳的。（三）ARIMA(p，d，q)模型阶数识别1、确定单整阶数d（1）用不含时间趋势项、解释变量中不含差分项的模型，
8、即对模型进行单位检验（Unit Root Test）。假设；备择假设。在工作文件窗口，选定变量EURO，双击它，在EURO页面上，点击ViewUnit Root TestADF，表示已经进入扩展的DF检验。选择Level(对水平变量进行单位根检验，检验系数对应的项EUROt-1)Intercept(不含时间趋势变量)Automatic selecttion（解释变量不含EUROt-1的差分），并且在maximum中选择0（表示差分滞后项数取0，即不含EUROt-1的差分）Null Hypothesis: EURO has a unit rootExogenous: ConstantLag Le
9、ngth: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-0.5839080.8699Test critical values:1% level-3.4669945% level-2.87754410% level-2.575381*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(EURO)Method: Least
10、SquaresDate: 04/11/11 Time: 08:24Sample (adjusted): 1993M02 2007M12Included observations: 179 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.EURO(-1)-0.0074960.012838-0.5839080.5600C0.0058750.0114750.5119900.6093R-squared0.001923Mean dependent var-0.000766Adjusted R-squared-0.003716S.
11、D. dependent var0.020297S.E. of regression0.020334Akaike info criterion-4.941907Sum squared resid0.073187Schwarz criterion-4.906293Log likelihood444.3006F-statistic0.340948Durbin-Watson stat1.369377Prob(F-statistic)0.560026得到结果t=（0.511990）（-0.583908）p=（0.6093） （0.5600）要确定差分方程的样本容量T，原有的样本容量是180，差分后样本
12、容量是T=179；取=5%，查附表2，得临界值=-2.88；统计量观察值为t=-0.583908=-2.88，所以接受假设(从概率值大于0.05也得到接受的结论)，即认为汇率序列（EURO）是非平稳的。（2）对模型，作假设；备择假设。在工作文件窗口，选定变量euro，双击，在euro页面上，点击ViewUnit Root TestADF，表示已经进入扩展的DF检验。选择1st different(对1阶差分进行单位根检验，检验系数对应的项是eurot-1)Intercept(不含时间趋势变量)User specifi 取0（解释变量不含eurot-1的差分）。得到结果Null Hypothes
13、is: D(EURO) has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-9.6765550.0000Test critical values:1% level-3.4672055% level-2.87763610% level-2.575430*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Te
14、st EquationDependent Variable: D(EURO,2)Method: Least SquaresDate: 04/11/11 Time: 08:36Sample (adjusted): 1993M03 2007M12Included observations: 178 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.D(EURO(-1)-0.6917210.071484-9.6765550.0000C-0.0006380.001452-0.4395530.6608R-squared0.3472
15、67Mean dependent var-8.27E-05Adjusted R-squared0.343559S.D. dependent var0.023885S.E. of regression0.019352Akaike info criterion-5.040911Sum squared resid0.065909Schwarz criterion-5.005160Log likelihood450.6411F-statistic93.63572Durbin-Watson stat1.871573Prob(F-statistic)0.000000由软件输出结果得到回归模型t=（-0.4
16、39553）（-9.676555）p=（0.6608） （0.0000）取=5%，求样本容量T，原来样本容量是180，2阶差分分后T=178，查附表2，得DF检验的临界值为=-2.88，对euro平稳性检验的统计量观察值为t=-9.6765550.05，接受序列不相关的假设，即认为残差序列是白噪声。类似地，对模型ARIMA(2，1，0)、ARIMA(0，1，1)、ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)进行估计与检验。ARIMA(1，1，0)，ARIMA(2，1，0)、ARIMA(0，1，1)三个检验都通过参数显著性检验，模型平稳性和可逆性检验，残差序列白噪声检验。但是模型ARIMA
17、(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)没有通过检验。模型评价与比较模型111R2p-QARIMA(1，1，0)0.3100.0950.340ARIMA(2，1，0)0.373-0.2020.1260.698ARIMA(0，1，1)0.3850.1220.727R2和p-Q两指标越大越好，ARIMA(1，1，0)不好，在一样好的两模型ARIMA(2，1，0)和ARIMA(0，1，1)中，ARIMA(2，1，0)用自回归信息预测，所以在预测方面ARIMA(2，1，0)明显好。最终选择ARIMA(2，1，0)：即（五）模型外推应用已知2007：12，2007：11，2007：10的汇率分别是：0.68686，0.68111，0.70249，利用ARIMA(2，1，0)模型对2008年1月美元对欧元汇率进行预测。16
