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1、直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标【学习目标】1 .会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。2 .会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。【学习重难点】重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。【知识梳理】一、自主导学两条直线的交点1.己知两条直线的方程是jxBy+C=O,Ax+B2y+C2=0f设这两条直线的交点为P,则点P既在直线1上,也在直线4上。所以点P的坐标既满足直线4的方程Ax+qy+q=0,也满足直线I2的方程A+B2y+C=0,2.即点尸的坐标就是方程组Lfcx+By+C12=0的解。方程组的解一组无
2、数组无解直线h和12公共点的个数一个无数个零个直线h和12的位置关系相交重合平行点睛：如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解。二、小试牛刀1.直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是()A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)【学习过程】一、问题导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。二、典例解
3、析例1.直线/过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3-2y+4=0平行，求直线/的方程。求过两直线交点的直线方程的方法(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解。(2)过两条相交直线kix+By+C=O,/2：A2x+82y+C2=O交点的直线方程可设为4x+8iy+Cl+2(A2x+82y+C2)=O(不含直线/2)。跟踪训练1三条直线6+2y+7=0,4x+y=14和2-3y=14相交于一点，求。的值。例2.分别判断下列直线是否相交，若相交，
4、求出它们的交点。(1) :2x-y=7/9:3+2y-7=0;(2) /1:2x-6y+4=0和令4x-12y+8=0;(3) j：4x+2y+4=0和4：y=-2x+3.跟踪训练2已知直线5x4y=2fl+l与直线2x+3y=的交点位于第四象限，则a的取值范围是。例3(1)求经过点P(1,0)和两直线*x+2y-2=0,Q3x-2y+2=0交点的直线方程；(2)无论实数。取何值，方程(-l)x-y+2-l=0表示的直线恒过定点，试求该定点。利用直线系方程求直线的方程经过两直线xy+C=O,2:A/+y+q=。交点的直线方程可写为AX+4y+q+l(A1+纥y+C)=0(它不能表示直线/)。反
5、之，当直线的方程写为AX+8y+C+2(Ax+纥y+C)=0时，直线一定过直线4：4x+By+C=0与直线4：4/+约,+。2=0的交点。跟踪训练3已知直线/经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-l=O的交点，则直线I的方程为()A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0例4光线通过点A(2,3)在直线/：x+y+l=O上反射，反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程。点关于直线的对称点的求法(4+C=O,点P(X,y)关于直线Ax+3y+C=0的对称点PO(Xo,yo),满足关系Jy_y0之(x-XoA解方程组可得点尸0的坐标。跟踪训
6、练4直线y=2x是aABC的一个内角平分线所在的直线，若43两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点。的坐标。金题典例过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点，求此直线的方程。【达标检测】1 .直线2x+y+8=0和直线x+y-l=0的交点坐标是()A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10)D.(9,-10)2.直线2x+3)=0和直线xy+12=0的交点在X轴上，则&的值为()A.-24B.24C.6D.+63 .已知直线(ax+y-6=0:x+(2)y+l=0相交于点P,若/J/,则点尸的坐标为。4 .求
7、证：不论“为何值，直线(EI)x+(2w-l)尸加-5都通过一定点。5 .已知两直线:x+8y+7=0和/2：2xy-1=0.(1)求八与/2的交点坐标；(2)求过人与/2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程。课堂小结r求两条直线的交点I两条直线的交点坐标-Ll判断两条直线的位置关系I参考答案：知识梳理二、小试牛刀1.解析：解方程组x+y=5,得F=4,因此交点坐标为（4,1）。ix-y=3,Iy=L答案：B【学习过程】例L解法一:x+y2=0,y+4=0,解得即直线/过点（-1,3）o3-2交。3所以直线/的方程为），-3=1（x+l）,即3-2y+9=0.法二：因为直线x+y2=0不与
8、3x2y+4=0平行，所以可设直线/的方程为xy+4+人（x+y-2）=0,整理得（1+2）a*+（z1）y+42A0,因为直线I与直线3-2+4=0平行，b,l+A2-1421所以一一=24，解得丸=5，所以直线I的方程为/一多+=0,即3x2y+9=0.跟踪训练1解解方程组4x+y=14,fx=4,0,1。，得(a-2 a 2.这表明直线人和/2没有公共点，故人/2.答案：(-|，2)例3思路分析：(1)设所求直线方程为x+2y-2+2(3x-2y+2)=0,再将二l,尸0代入求HA,即得所求直线方程。(2)将直线方程改写为Hy1+(+2)=0.解方程组/y=得直线所过定点。解：(1)设所
9、求直线方程为x+2y-2+7(3x-2y+2)=0.丁点P(1,0)在直线上，,：12+2(3+2)=0.：丸=，。：所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,BPx+J-1=0.(2)由(4-1)x-y+2g-l=0,得-x-y-l+。(x+2)=0.所以，已知直线恒过直线*y-l=0与直线x+2=0的交点。解方程组叼得=2(%+2=0,Iy=I.所以方程(-I)x-y+2-l=0表示的直线恒过定点(-2,l)o跟踪训练3解析：(方法1)解方程组产”+3+8=0，得交点为(/,.2)又直线/-y-l=0,经过原点，由两点式得其方程为喂=%,即2x-y=0.-2-0-1-0(方法2)设直
10、线/的方程为2x+3y+8+l(x-y-l)=0,因其过原点，所以8+()=0,=8,直线/的方程为2?)=0.答案：B例4思路分析：求点A关于直线/的对称点4求反射光线所在直线的方程T求入射光线与反射光线的交点坐标一求入射光线所在的直线方程解：设点A(2,3)关于直线/的对称点为4(次，yo),rz+xo+3+yo+1=0,u=1,U-2解之，得4(4-3)。由于反射光线经过点A(-4,3)和B(1,1),所以反射光线所在直线的方程为1=震(X-1),即4x-5y+l=0.解方程组产5y+1=，得反射点P(gU+y1=0,33所以入射光线所在直线的方程为y-3=兰(x-2),即5x4y+2=
11、0.跟踪训练4解：把A,B两点坐标代入y=2r知，A、B不在直线y=2x上，因此y=2x为角C的平分线，设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为Aymb),则kAA,=线段AV的中点坐标为(三，詈)，-2_1_一二:解得：=：.：4(4,-2),=2T,S=27y=2x是角。平分线所在直线的方程，：4在直线BC上，,：直线BC的方程为咨=M即3x+y-10=0,由P=2刈解得=1+234(3x+y-10=0,Iy=4,4)。金题典例解：分析一：设出直线的方程，求出交点的坐标，再用中点坐标公式。解法一：若直线斜率不存在，则方程为1=3.?，得A(3,4)。,2x-y-2=0,得B(3,-6)。%
12、+y+3=0,由于4+(-6)=-l0,：P不为线段AB的中点。若直线斜率存在,设为Z，则方程为y二女(x-3)oy= k (X-3), ,2x-y-2 = 0,得A(誉，普)。y= k (x-3),+ y + 3 = 0,得5(鬻，捺)。TP(3,0)为线段AB的中点,3k-2, 3k-3 z1= 6, k-2k+14k 6k n=0.k-2 k+1 ：Z=8.2k-16= 0,Ak2Sk = 0.:所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二：设出4(x, ),由尸(3, 0)为AB的中点，易求出B的坐标，而点B在另一直线上，从而求出入、片的值，再由两点式求直线的方程。解法
13、二：设A点坐标为G,yJ,则由P(3,0)为线段AB的中点，得B点坐标为(6%,)。7点A,B分别在己知两直线上，.产2=。，解得中、(6-x1)+(-y1)3=0.Iy1=0 ：A管,y)o:,点A,尸都在直线AB上， ：直线AB的方程为泮=*,V0V3BP8x-24=0.分析三：由于尸(3,0)为线段AB的中点，可对称地将A,B坐标设为(3+,b),(3-,-Z?),代入已知方程。(2(3+)-b-2=0,.j=：3-a+(-b)+3=Jb=y0 ：直线AB的斜率即直线AP的斜率，值为:二=2=8.3+-3a ：所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.点睛：解法三这种对称的
14、设法需要在平常学习中加以积累，以上三种解法各有特点，要善于总结，学习其简捷解法，以提高解题速度。解法三：.P(3,0)为线段AB的中点，,：可设A(3+a,b),B(3-小功)。7点A,3分别在已知直线上,【达标检测】1 .解析：解方程组产+、+8=0,得，=9即交点坐标是(910)。Ix+y-1=0,(y=10,答案：B2 .解析：丁直线2x+3y-Z=0和直线X-6+12=0的交点在X轴上，可设交点坐标为(。，0),2a-k.=0,.7,zn(a=-12,_：解得故选A.、a+12=0,Ik=-24,答案：A3 .解析：:,直线/0x+y6=0与夕x（-2）y+-l=O相交于点P,且J（,
15、0l+1（-2）=0,解得=l,联立方程户外6=0,易得户3,y=3,.x-y=0,：点尸的坐标为（3,3）。答案：（3,3）4 .证明：将原方程按7的降幕排列，整理得（x+2y-l）m-（x+y-5）=0,此式对于加的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，加的一次项系数与常数项均等于零，故有俨+2y1=,解得=9，+y-5=0,Iy=-4.：加为任意实数时，所给直线必通过定点（9,-4）。x+8y+7=0,5.解析：（1）联立两条直线的方程：解得x=1,y=-l所以与/2的交点坐标是（1,一1）。（2）设与直线x+y+1=0平行的直线I方程为x+y+c=O,因为直线/过/】与/2的交点（1,-
16、1）,所以。=0.所以直线/的方程为x+y=O.2.3.2两点间的距离公式【学习目标】1 .掌握平面上两点间的距离公式。2 .会运用坐标法证明简单的平面几何问题。【学习重难点】重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用。难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题。知识梳理一、自主导学问题1.在数轴上已知两点A、B,如何求A、B两点间的距离？问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离求出任意两点间距离？y探究：当工产2,4约时，IPQI=?请简单说明理由。两点间距离公式的理解（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成IPlP2=d（X2-相产+一”）2。（2）当直线P1P2平行于
17、X轴时，P1P2=X2刘。当直线P1P2平行于y轴时，PP2=*-y两点间的距离公式（1）公式：点Pl（K/）;），P?（%,）;）间的距离公式|PPJ=y（/2h）2+（x2-yip。（2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根。二、小试牛刀1.已知点Pl（4,2）,P,（2,-2）,则IPlPJ=。【学习过程】一、情境导学在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行。如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？二、典例解析例1.己知AABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),
18、C(1,7),试判断ABC的形状。两点间距离公式的应用两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用。跟踪训练1已知点A(-3,4),B(2,3),在X轴上找一点尸，使=P3,并求IRll的值。例2如图，在aABC中，IABl=IAC|,D是BC边上异于B,C的任意一点，求证：AB=AD+BD-DCo坐标法及其应用1 .坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系。坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决。建系的原则主要有两点:(1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；(2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们
19、作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴。2 .利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系。222跟踪训练2已知正三角形ABC的边长为外在平面ABC上求一点P,使+P8+尸C最小，并求此最小值。【达标检测】1 .点A(1,-2)关于原点的对称点为4,则IAAI为()A.25B.5C.52D.232 .设点A在X轴上，点8在y轴上，线段AB的中点P(2,-1),则A3=()A.25B.42C.5D.21
20、03 .函数y=W+1+NfM+8的最小值是()A.0B.13C.13D.不存在4 .以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5 .已知点A(3,6),在X轴上的点尸与点A的距离等于10,则点P的坐标为。6 .已知AABC的顶点坐标为A(1,5),B(-2,-1),C(2,3),则BC边上的中线长为O7 .点A在第四象限，A点到X轴的距离为3,到原点的距离为5,求点A的坐标。8 .正方形ABC。的边长为6,若E是BC的中点，尸是。的中点，试建立直角坐标系,证明：BFLAE.课堂小结1 .两点间的距离公式可用来解决
21、一些有关距离的问题（如根据各边长度判断三角形或四边形的形状），根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分。2 .应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系。参考答案：知识梳理问题1.提示：AB=x-XoAD问题2：提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解。222探究。答案：如图，在RtZXPQP中，IPPl=IPQI+IQPI,12I212斗飞黑坦一,QSMXd、尸2%）aX所以IPI尸2=（%
22、2XD2+（一川）2。即两点PI（汨，y）,Pi（A2,”）间的距离I尸1为=。3的）?+32-y。二、小试牛刀221.解析：PP2=J（4-2）+（2+2）=25.,答案：25【学习过程】例1.思路分析：可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状。/22解：(方法1)7|48|二J(3+3)+(-3-1)=52,/22IAeI=J(1+3)+(7-1)=52,I22IBCI=J(1-3)+(7+3)=T4,ZAB=AC,且A82+AC2=8C2ABC是等腰直角三角形。(方法2)TkAc=-7=Icab=：1=1,*kACkB=.AC-AB.1-1-3)23-1-3)3J22/22(1+3
23、)+(7-1)=52,AB=(3+3)+(-3-1)=52,ACI=IA引。：/!BC是等腰直角三角形。I22跟踪训练1解：设点P(X,0),则有I%I=J(%+3)+(0-4)=x2+6x+25,1 22IPBl=Q(x-2)+(0-3)=x2-4x+7o由IaIl=IP8|,得f+6x+25=x2-4x+7,解得x=-%即所求点尸为(90),az=J(-|+3)2+(0-4)2=当变。例2思路分析：建立适当的直角坐标系，设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明。证明：如图，以BC的中点为原点O,BC所在的直线为X轴，建立直角坐标系。设A(0,a),B(-hf0),CCb,0),D(加，0
24、)C-hm-0)+(0-)-a+b,2 2222AD=(w-0)+(O-)-m+a,22BD-DC=m+bh-m=(b+m)(b-m)=b-m,222AD+BDDC=a+b,22AB=AD+BDDCo跟踪训练2解：以BC所在直线为X轴，以线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示。丁正三角形ABC的边长为mO),C(pO),A(O,争)。设P(x,y),由两点间的距离公式，得2+PB2+PC2=x2(y-)2+(x+j)2+y2+(x-)2+y2=3x2+3y2-3ay+=3x2+3ya)2+22,当且仅当x=O,y=f时，等号成立，故所求最小值为，此时点尸的坐标为(0,【达标检测】1 .
25、解析：因为A(l,2)关于原点的对称点4(1,2),所以IAAI=J(-1-1)?+(2+2)4+16=25o故选A.答案：A2 .解析：依题意设A(m0),B(0,b),VP(2,-1)为线段PB的中点,=4,b=-2.：A(4,0),B(0,-2)。/22LAB=J(4-0)+(0+2)=25,答案：A3.解析：原函数可化为y=d(-0)2+(01)2+N(2)2+(0+2)2,设尸(达0),A(0,1),B(2,-2)0贝IJy=I%+PBW是X轴上的动点，A,B是两个定点，.+P3A3=5,当尸，A,8三点共线时，i=13o答案：B4 .解析：IABl=IAc=万，=T8,故为等腰三角
26、形。答案：B5 .解析：设点P的坐标为,0）,由d（P,A）=10得-3）2+（0-6）2=10,解得X=Il或x=-5.点P的坐标为（-5,0）或（11,0）o答案：（一5,0）或（11,0）6 .解析：BC的中点坐标为（0,1）,则BC的中线长为H（10）2+（5-1）?=#?。答案：7 .解析：由题意得A点的纵坐标为一3,设A（x,-3）,则*（-O）2+（-3-0）2=5,x=4.又点A在第四象限，x=-4（舍），A（4,一3）。8 .证明：以A为原点，ABfAO所在直线分别为R轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图。则A(O,O),B(6,O),E(6,3),F(3,6)。6-0knF=
27、z 362,fc4f=0*kBFkAE= - 1，：.BFLAEo2.3.3点到直线的距离公式【学习目标】1 .会用向量工具推导点到直线的距离公式。2 .掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线距离公式解决有关距离问题。3 .通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力【学习重难点】重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用。难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析。【知识梳理】一、自主导学1点到直线的距离(1)定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度。图示:(3)公式：Axt)+ B
28、yo+CA2+B2点睛：(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式。(2)当点尸在直线/上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用。二、小试牛刀1 .判断对错：点尸(xo,yo)到直线广区+b的距离为鬻L()2 .点(1,-1)到直线x-y+l=0的距离是()A.iB.。C.也D.它22223 .你能说出代数式逅产的几何意义吗？【学习过程】一、情境导学在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路。请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?思考1：最容易想到的方法是什么？反思：这种解法的优缺点是什么？我们知道，向量
29、是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？如图，点P到直线/的距离，就是向量所的模，设M(x,y)是直线，上的任意一点，71是与直线，的方向向量垂直的单位向量，则的是由在上n的投影向量，I所卜M0n思考2：如何利用直线/的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n?图2.3-6思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？二、典例解析例1求点P(3,-2)到下列直线的距离:31(1)y=7x+75y=6；(3)x=4.应
30、用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式。(2)点尸在直线/上时，点到直线的距离为0,公式仍然适用。(3)直线方程4v+冷+C=O中，A=O或3=0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解。跟踪训练1已知直线/经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线/的距离相等，求直线/的方程。点睛：用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意。延伸探究若将本题改为“已知直线/经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在/的同侧且到该直线/的距离相等“，则所求/的方程为。易错点因对斜率的情
31、况考虑不全面而致错案例求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线/的方程。点睛：在根据距离确定直线方程时，易忽略直线斜率不存在的情况，避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时，应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件，然后再求解。【达标检测】1 .点(1,-1)到直线y=l的距离是()A.2B.C.3D.222.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线/：Or+y+l=O的距离相等，则实数。的值等于()A.C.W或4D.W或;93933 .直线3x4y27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是Q4 .已知AABC三个顶点坐标A(1,3),B(-3,0),C(1,2),
32、求aABC的面积S。5 .已知直线/经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线/的距离相等，求直线/的方程。课堂小结1 .点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式。2 .利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰。参考答案:知识梳理1 .答案：2 .答案：C解析：由点到直线的距离公式可得上(曹+=当。223 .提示：该代数式可表示平面内点(小b)到直线Ir+y+l=O的距离。【学习过程】思考1：思路。定义法，其步骤为：求/的垂线/的方程解方程组，得交点QPQ的坐标求IPQl的长
33、PaojO)hAx+ByC=C思考2：设Pla%),P2G2,为直线。4%+By+C=O上的任意两点，则哂=(x2-X1/乃一为)是直线，的方向向量。把AXl+C=0,力2+C=0两式相减，得力(x2-x1)+B(y2-y1)=0,由平面向量的数量积运算可知，向量(/,B)与向量a2-2，力一月)垂直，向量;(4,B)就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取n=t；(A,B),VA2+B2从而丽n=Cx-x0,y-yQ)-=(AfB)=fCAx+By-Axq-ByQ)因为点M(fy)在直线，上所以Ax+By+C=0代入上式，得丽F=f(-Ax0-By0-O因此网=|丽二、典例解
34、析31例1解(1)直线)，=*+：化为一般式为3x4y+1=0,由点到直线的距离公式可得33-4(-2)+l18*32(-4)25(2因为直线y=6与)，轴垂直，所以点P到它的距离=|一2一6|=8.(3)因为直线x=4与X轴垂直，所以点尸到它的距离d=3-4=l.跟踪训练1解：(方法一)当过点M(l,2)的直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=-l,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线/的距离相等，故X=-I满足题意；当过点M(l,2)的直线/的斜率存在时，设I的方程为y-2=k(x+l),即kx-y+k+2=0f由A(2,3)与8(-4,5)两点到直线/的距离相等，得即x+3y-5
35、=0.综上所述，直线/的方程为X=-I或x+3y-5=02k-3+k+2_-4fc-5fc+2k2+l-k2+l此时I的方程为-2=-i(x+l),(方法二)由题意得/45或/过48的中点。当/AB时，设直线AB的斜率为ZAB即x+3y-5=0.当/过AB的中点(-1,4)时，直线/的方程为x=l.综上所述，直线/的方程为X=-I或x+3y-5=0直线I的斜率为kb贝IJkAB=k尸三=1,此时直线/的方程为y-2=T(x+l),延伸探究解析：将本例(2)中的x=-l这一情况舍去即可，也就是要舍去两点在直线/异侧的情况。答案：x+3y-5=0案例所以原点到该直线的距离d=篇=3.所以15R+8
36、=0.所以仁故直线I的方程为-1x-y+3xd)+5=O,错解：设所求直线方程为y-5=%(x+3),整理，得依-y+3Z+5=O.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密，求直线的方程时直接设为点斜式，没有考虑斜率不存在的情况。正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y-5=A(x+3),整理，得区-y+3A+5=O.即8x+15y-51=O.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-3也满足题意。故满足题意的直线I的方程为8x+15y-51=0或x=-3.所以原点到该直线的距离心警=3.54,即AABC的面积为4.5.解：(方法一)Y点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等，直线/的
37、斜率存在，设为屋又直线/在)，轴上的截距为2,则直线/的方程为产丘+2,即京y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线/的距离相等，直线I的方程是y=2或x-+2=0.得瑞=塔詈,解得人或Z=L(方法二)当直线/过线段AB的中点时，A,8两点到直线/的距离相等。 SB的中点是(-1,1),又直线/过点P(0,2),J直线/的方程是x-y+2=0.当直线/AB时，A,8两点到直线/的距离相等。 ,直线48的斜率为0,直线/的斜率为0, 直线/的方程为)，=2.综上所述，满足条件的直线/的方程是x-y+2=0或y=2.2.3.4两条平行线间的距离【学习目标】1 .理解两条平行线间的距离公式
38、的推导2 .会求两条平行直线间的距离。3 .通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力。【学习重难点】重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式。难点：应用距离公式解决综合问题。【知识梳理】一、自主导学问题：已知两条平行直线，2的方程，如何求Ll与2间的距离？根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点Pa,如），点Pa0,火）到直线0的距离就是直线。与直线。间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。两条平行直线间的距离1 .定义：夹在两平行线间的公垂线段的长。2 .图示：I43 .求法：转化为点到直线的距离。二、小试牛刀
39、1 .原点到直线x+2y5=0的距离是（）A. 2B. 3C. 2D. 5【学习过程】一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式,关于平面上的距离问题,两条直线间的距离也是值得研究的。思考：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离二、典例解析例L求证两条平行直线而FyC1=与祗+By+C?=间的距离为占霜思考:两条平行直线间的距离公式写成d=IC-c2yA2+B2时对两条直线应有什么要求?跟踪训练1两直线3x+y-3=O与6x+my+l=0平行，则它们之间的距离为（）A.4B马叵C%叵D.场132620例2,已知直线加3-2y1=0和
40、途3-2y-13=0,直线/与,/2的距离分别是小,立,若di：dz=2：1,求直线/的方程。求两平行直线间距离的两种思路1 .利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离。2 .接利直用两平行线间的距离公式，当直线小y=kx+b,/2：y=kx+b2f且6历时,一力2当直线: Ax+By+C=O, /2： At+By+C2=0 且 C1C2时，d=C1-C2声+/必须注意两直线方程中X,y的系数对应相等。跟踪训练2.直线/i过点A(0,1),12过点B(5,0),如果/i/2,且/1与/2间的距离为5,求,/2的方程。例3.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和8(-3,-1),并且各自绕着A,5旋转，如果两条平行直线间的距离为。.你能求出d的取值范围吗？变式1.上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程。距离公式综合应用的三种常用类型1最值问题。利用对称转化为两点之间的距离问题。利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离。利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值。2求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值。3求方程的问题：立足确定直线的几何要素一点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解
