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1、第七章 平行线的证明,7.4 平行线的性质,第七章 平行线的证明7.4 平行线的性质,1、什么叫做平行线？2、平行线的判定方法有哪些？,复,习,回,顾,1、什么叫做平行线？复习回顾,1,知识点,平行线的性质,1.定理：两直线平行，同位角相等. （1）已知：如图1，直线AB/CD，1和2是直线AB，CD被直线 EF截出的同位角. 求证：1 = 2.,如果12，AB与CD的位置关系会怎样呢？,图1,1知识点平行线的性质1.定理：两直线平行，同位角相等.,证明：假设12，那么我们可以 过点M作直线GH，使EMH= 2，如图2所示. 根据“同位角相等，两直线平行”， 可知GH/CD. 又因为AB/ C
2、D，这样经过点M 存在两条直线AB和GH都与直线 CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有 且只有一条直线与这条直线平行” 相矛盾. 这说明12的假设不成立，所以1=2.,图2,证明：假设12，那么我们可以图2,（2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同 位角相等 简称：两直线平行，同位角相等 表达方式：如图，因为ab，(已知) 所以12.(两直线平行，同 位角相等),（2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同,例1 如图，若ABCD，且12，试判断AM与CN的位置关 系，并说明理由导引：AM与CN的位置关系很显然是平行的，要说明AMCN，可考 虑说明EAMECN.因为12，所以只需说
3、明EAB ACD即可，由于“两直线平行，同位角相等”，所以根 据ABCD即可得出EABACD. 解：AMCN. 理由：ABCD(已知)， EABACD(两直线平行，同位角相等) 又12(已知)， MAENCA(等式性质) AMCN(同位角相等，两直线平行),例1 如图，若ABCD，且12，试判断AM与C,总 结,当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是否出现了相等的角 平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及,总 结 当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是,1
4、 (中考泸州)如图，ABCD，BC平分ABD. 若C40， 则D的度数为() A90 B100 C110 D120,B,1 (中考泸州)如图，ABCD，BC平分ABD.,(中考枣庄)如图，把一块含有45角的直角三角 板的两个顶点放在直尺的对边上如果120， 那么2的度数是() A15 B20 C25 D30,C,(中考枣庄)如图，把一块含有45角的直角三角C,2.定理：两直线平行，内错角相等. （1）已知：如图，直线l1/l2，1和2是直 线l1，l2被直线l截出的内错角. 求证：1= 2. 证明：l1/l2（已知）， 1=3（两直线平行，同位角相等）. 又2=3 （对顶角相等）， l=2 (
5、等量代换）.,2.定理：两直线平行，内错角相等.,（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角 相等 简称：两直线平行，内错角相等 表达方式：如图，因为ab (已知) ， 所以12 (两直线平行，内错角相等) . 要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下 才有内错角相等,（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角,例2 如图，已知AEBC，BC， AE是DAC 的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是， 请说明理由.导引：紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系， 进而证明角相等 解： AE是DAC 的平分线 证明如下：AEBC(已知)， DAEB(两直线平行，同位角相等)， C
6、AEC(两直线平行，内错角相等)， 又BC(已知)，DAECAE (等量代换)， AE是DAC 的平分线（角平分线的定义）,例2 如图，已知AEBC，BC， AE是DA,总 结,求证两角相等，首先观察两角的位置（是否 为同位角、内错角等），然后选择合适的性质定理.若无法直接证得两角相等，则分析由已知条件可得到哪些结论，再探寻这些结论与所求角的关系，关系找到后，问题即可解答.,总 结 求证两角相等，首先观察两角的位置（是否,(中考东莞)如图，直线ab，175，2 35，则3的度数是() A75 B55 C40 D35,C,(中考东莞)如图，直线ab，175，2C,(中考宜昌)如图，ABCD，FE
7、DB，垂足为 E，150，则2的度数是() A60 B50 C40 D30,C,(中考宜昌)如图，ABCD，FEDB，垂足为C,3.定理：两直线平行，同旁内角互补. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补 简称：两直线平行，同旁内角互补 表达方式：如图，因为ab (已知) ， 所以1+2=180(两直线平行，同旁内角 互补) .,3.定理：两直线平行，同旁内角互补.,例3 如图，如果ABDF，DEBC，且165，那么你能说出 2，3，4的度数吗？为什么？导引：由DEBC，可得14，12 180；由DFAB，可得32，从 而得出2，3，4的度数解： DEBC(已知)， 4165(两
8、直线平行，内错角相等)， 21180(两直线平行，同旁内角互补) 即2180118065115. 又DFAB(已知)， 32(两直线平行，同位角相等) 3115(等量代换),例3 如图，如果ABDF，DEBC，且165，,总 结,1求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的 数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质 由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相 互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系2两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两 条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系， 由角的关系求相应角的度数,总 结1求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的,4.定理：平行
9、于同一条直线的两条直线平行. （1）已知：如图，b/a，c/a，1，2，3是直线a，b， c被直线d截出的同位角. 求证：b/c. 证明：b/a (已知）， 2=1(两直线平行，同位角 相等）. c/a（已知）, 3=1（两直线平行，同位角相等）. 2 = 3（等量代换）. b/c（同位角相等，两直线平行）.,4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行.,一般地，我们有如下的定理： 定理 平行于同一条直线的两条直线平行.,归 纳,一般地，我们有如下的定理：归 纳,1 (中考恩施州)如图，已知ABDE，ABC70， CDE140，则BCD为() A20 B30 C40 D702 (中考河北)如图，
10、ABEF，CDEF，BAC50， 则ACD() A120 B130 C140 D150,B,C,1 (中考恩施州)如图，已知ABDE，ABC70，,2,知识点,平行线的性质与判定的关系,平行线的判定与平行线的性质的区别：平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线 的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位 置关系得到两角的数量关系；平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平 行线的判定的结论是平行线的性质的条件,2知识点平行线的性质与判定的关系平行线的判定与平行线的性质的,例4 如图，已知ABC与ECB互补，12，则P与 Q一定相等吗？说说你的理由导引：如果P和Q相等，那么PBCQ，所以
11、要判断P与 Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行要说明 PBCQ，可以通过说明PBCBCQ来实现，由于 12，只需说明ABCBCD即可 解：PQ. 理由：ABC与ECB互补(已知)， ABED(同旁内角互补，两直线平行),例4 如图，已知ABC与ECB互补，12，,ABCBCD(两直线平行，内错角相等) 12(已知)， ABC1BCD2(等式的性质)， 即PBCBCQ. PBCQ(内错角相等，两直线平行) PQ(两直线平行，内错角相等),ABCBCD(两直线平行，内错角,总 结,一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知
12、道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题,总 结 一个数学问题的构成含有四个要素：题目,1 (中考河南)如图，直线a，b被直线c，d所截，若1 2，3125，则4的度数为() A55 B60 C70 D752 如图，已知ABCD，130，290，则3等 于() A60 B50 C45 D30,A,A,1 (中考河南)如图，直线a，b被直线c，d所截，若1,从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：条件,定义、判定,定义、性质,图形,结论,从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什定义、判定定,完成教材P177 习题,完成教材P177 习题,
