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1、1,用定积分解决实际问题，应先明确 两个问题：,第一，定积分能解决哪类问题？(共性)第二，用定积分解决这类问题方法的关,键是什么？,1 用定积分解决实际问题，应先明确第一，定积分能解决哪类问题,2,一、微元法,第一个问题：用定积分所解决问题的共性：,2. 这个在a,b上分布的整体量等于其所有,1. 都是求在a,b非均匀分布的一个整体量， 如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等；,2一、微元法第一个问题：用定积分所解决问题的共性：2. 这个,3,子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：,设F(x)可微,3子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：设F(x)可微,4,第二个问题：用定
2、积分解决问题的关键 在找出整体量的微元：,微元法解决问题的步骤,1. 写出实际问题整体改变量的微元表达式：,2. 用定积分求出整体改变量：,4第二个问题：用定积分解决问题的关键微元法解决问题的步骤1.,5,二、定积分的几何应用,1. 平面图形的面积（Area）,用微元法求面积,5二、定积分的几何应用1. 平面图形的面积（Area）用微元,6,例 1 求由,所围图形的面积.(如图),思考:求面积前需要做那些准备工作?,6例 1 求由所围图形的思考:求面积前需要做那些准备工作,7,解,从图中可以明显看出所求面积分为两部,两块面积的微元分别为：,分:,7解从图中可以明显看出所求面积分为两部两块面积的
3、微元分别为：,8,8,9,用微元法求面积,求面积前需要做的准备工作有:,9 用微元法求面积 求面积前需要做的准备工作有:,10,(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程;,(2) 根据所选方法确定积分变量及总量微元;,(3) 确定积分区间,为此常需要求出边界曲线 交点的坐标. (如图),10(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程; (2) 根,11,例 2 再求由,所围图形的面积.(如图),11例 2 再求由所围图形的,12,解,12,13,例3 求星形线所围面积， 它的参数方程为：,直角坐标方程,13例3 求星形线所围面积，直角坐标方程,解 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。,解
4、由对称性只需求出(1/4 )面积即可。,例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C：,用微元法先推导 极坐标系下求面积 的表达式,所围的面积,并求心脏,所围图形的面积.,例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C：用微元法先推导o,16,解 心脏线的对称 性是明显的，因 此,16解 心脏线的对称,17,例5,求双纽线：,所围封闭,图形的面积。,17例5求双纽线：所围封闭图形的面积。,18,解,(当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过 分析求出面积？),分析,使用公式：,解这个问题的难点在确定积分限。,注意到, 每两个零点曲线封闭一次., 变化过程中，,18解(当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过 分析求出面积,19,由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重,复出现在第一、三象限,且图形关于原点对,称，,故有,进而得,19由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重复出现在第一、三象,20,见图,20见图,21,作业,P.216-习题3.4(A)-N.1( 单数除去 (7) ),21作业 P.216-习题3.4,
