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1、应用随机过程,清华大学数学科学系林元烈 主讲,教材：应用随机过程（第三次印刷）林元烈，清华大学出版社,2023/1/19,应用随机过程讲义 第一讲,1,2023/1/19,2,学习要求,不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想学会把抽象的概率和实际模型结合起来,2023/1/19,3,学习重点,用随机变量表示事件及其分解基本理论全概率公式基本技巧数学期望和条件数学期望基本概念,2023/1/19,4,第一讲,2023/1/19,5,随机事件与概率,随机试验,2023/1/19,6,要点：在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。,202
2、3/1/19,7,样本点 对于随机试验E，以表示它的一个可能出现的试验结果，称为E的一个样本点。样本空间 样本点的全体称为样本空间，用表示。,2023/1/19,8,随机事件 粗略地说，样本空间的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。事件的关系与运算,2023/1/19,9,2023/1/19,10,2023/1/19,11,示性函数,是最简单的随机变量用随机变量来表示事件,2023/1/19,12,用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算,2023/1/19,13,公理化定义,集类,2023/1/19,14,2023/1/19,15,概率,2023/1/19,16,20
3、23/1/19,17,2023/1/19,18,概率是满足非负性；归一性；可列可加性；的集函数。可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。,2023/1/19,19,概率的性质1.2.3.有限可加性,2023/1/19,20,4.5.6.,2023/1/19,21,7.8.可列次可加性9.概率连续性,2023/1/19,22,这部分的详细讨论可以参见 随机数学引论 林元烈，清华大学出版社,2023/1/19,23,Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。测度：满足非负性、可列可加性的集函数。,2023/1/19,24,2023/1/19,25
4、,实际上，设集类以上集类和A生成相同的-代数,都是上面提到的一维Borel-代数，即,2023/1/19,26,直观地说，中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。,2023/1/19,27,2023/1/19,28,2023/1/19,29,2023/1/19,30,2023/1/19,31,事件的独立性,2023/1/19,32,几个事件的独立性,2023/1/19,33,2023/1/19,34,2023/1/19,35,2023/1/19,36,比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论,？,2023/1/19,37,机
5、遇偏爱有心人！,2023/1/19,38,一次成功的概率只有2，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！,2023/1/19,39,只要功夫深，铁杵磨成针！,2023/1/19,40,随机变量定义解释,2023/1/19,41,离散型随机变量的示性函数表示法 这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。,2023/1/19,42,随机变量等价定义,分布函数,2023/1/19,43,连续型随机变量的概率密度函数,微元法求概率密度函数,2023/1/19,44,二维随机变量的分布函数二维Borel-代数 由平面上矩形的全体生成的代
6、数,2023/1/19,45,联合密度函数,亦可用微元法求,2023/1/19,46,常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布 正态分布二项分布 指数分布 Poisson分布 均匀分布 几何分布二维正态分布,2023/1/19,47,两点分布若r.v.X只取1和0两个值，且则称r.v.X服从参数为p的两点分布。简记为：XB(1,p).即,EX=p,DX=p(1-p),2023/1/19,48,EX=np,DX=np(1-p),EX=1/p,DX=(1-p)/p2,2023/1/19,49,EX=,DX=,EX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12,2023/1/19,50,EX=1/,
7、DX=1/2,EX=,DX=2,2023/1/19,51,二维正态分布的优良性质 X,Y相互独立 X,Y不相关,随机变量的数字特征及条件数学期望,2023/1/19,应用随机过程讲义 第一讲,52,2023/1/19,53,数学期望（复习）“加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。,2023/1/19,54,黎曼斯蒂尔吉斯积分,2023/1/19,55,任分任取,求和,取极限,2023/1/19,56,2023/1/19,57,在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。,2023/1/19,58,2023/1/19,59,数学期望的性质（E
8、|Xi|）,2023/1/19,60,交换求和顺序,2023/1/19,61,同理，对连续型随机变量有相似的结论成立,2023/1/19,62,2023/1/19,63,2023/1/19,64,2023/1/19,65,2023/1/19,66,Chebyshev不等式,2023/1/19,67,条件数学期望,2023/1/19,68,2023/1/19,69,2023/1/19,70,用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）,2023/1/19,71,例：,将概率运算纳入求期望运算的范畴,2023/1/19,72,理解E(X|Y)是的函数，也是Y()的函数，即Y()
9、取值不同，E(X|Y)也取相应的值；当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。,2023/1/19,73,2023/1/19,74,推广至一般随机变量,2023/1/19,75,将x替换成X,2023/1/19,76,求条件数学期望的一般步骤,先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数；根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望；将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y),2023/1/19,77,条件数学期望的性质设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y),Eg(X)h(Y)存在，则,(重要!)全期望公式,2023/1/19,78,2
10、023/1/19,79,将全概率公式纳入全期望公式的范畴,2023/1/19,80,重要结论：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=EE(X|Y)|Y,Z以示性函数为例，验证上面的结论,2023/1/19,81,同理可验证另一个等号,2023/1/19,82,例：,2023/1/19,83,由 X2和Y3独立,用示性函数表示X2,2023/1/19,84,2023/1/19,85,推广：条件为两个随机变量E(X|Y,Z)如：男 南 女 北仍然以离散情况下的情形为例：先求出E(X|Y=yj,Z=zk)g(yj,zk)，依次可写出E(X|Y,Z)的分布律。,g(yj,zk)是关于yj,zk的二元函数,
