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1、第六章定积分的应用（1、2）陈建英王江顺主编第一节 定积分在几何上的应用（1、2）教学目的：掌握定积分应用的微元法，会求在直解坐标下的平面图形面积教学重点、难点：用“微元法”确定所求量的“微元”教学形式：多媒体教室里的讲授法教学时间：90分钟一、弓|入新课回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线火侦力河）、X轴与两条直线X x = b所围成。面积表示为定积分的步骤如下:（i）把区间叵句分成依个长度为y的小区间，相应的曲边梯形被分为依个小窄曲边梯形，第，个小窄曲边梯形的面积为叫，则计算m的近似值色丘尊.求和，得A的近似值2=1f（x）dx（4）求极限，得A的精确值妇Lt”提示 若用厦表示任一
2、小区间某二+M上的窄曲边梯形的面积，并 取厦5g,于是妇&应= hmZ/必=：了我二、新授课1. 元素法的一般步骤：(1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如工为积分变量，并确定它的变化区间插句；(2) 设想把区间相句分成科个小区间，取其中任一小区间并记为3 奸网，求出相应 于这小区间的部分量A的近似值。如果能近似地表示为【句上的一个连续函数在 工处的值-X)与必的乘积，就把洒称为量的元素且记作，即&曰=仙、(3) 以所求量的元素了办为被积表达式，在区间【句上作定积分，得，即为所求量”的积分表达式。这个方法通常叫做元素法。应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均
3、值等。2. 直角坐标系下的面积计算(1)平面图形由连续曲线J = f1( x), j = f2( x)及直线x=a,x=b所围成，并且在区间a,b上*)如图6-1或如图6-2所示.（图 6-1 ）（图 62）应用曲边梯形的面积例1计算由两条抛物线=汗和尹=盂所围成的图形(2)平面图形由连续曲线X=gQ), X = g2(y成直线y = C, y = d所围成，并且在郁c,d上有g1 g2（j）见（图6-3）面积。(1)作图.利用Mathematica,输入Plotx 八 0.5, x 八 2,x,0,1.2, AspectRatio 1输出图形解两曲线的交点(泪1)，选积分变量，冲m，面积元素
4、dA =- x2)dx,例2计算由曲线尸一&和所围成的图形的面积。解两曲线的交点丁 = / _ 6工j = b n(0,0), (-2,4), (3,9).，选应为积分变量，二2 3(1) xe-2, 0,血- 6工-，)办(2) xe0,3, dA2 = (x2-x3+6x)dx于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式。问题：积分变量只能选应吗?例2计算由曲线殳=次和直线V=i4所围成 的图形的面积。解两曲线的交点y2 =眼,选小积分变量，养或，4作图.利有Mathematica,输入Plot(2x)八0.5,一(2x)八0.5,x-4,x,0,8, AspectRatio 1输出图
5、形，如图所示；注意 对于同一问题，有时可选取不同的积分变量进行计算,计算的难易程度往往不同, 因此在实际计算时，应选取合适的积分变量,使计算简化.例4计算曲线3 + x-X2与曲线y = X3 + 3所围平面图形的面积.解 (1)求交点的横坐标.利用 Methematica解 方程 3 + x - x 2 = x 3 + 3,输入NSolve3 + x x 八 2 = x 八 3 + 3,输出 x 1.61803, x 0.618034作图.作出曲线 y = 3 + x x2与曲线y = x3 + 3所围的平面图形，输出Plot3+x-XA 2, x 八 3 + 3, x, 2,1, Plot
6、Range 1.7,1输出图形，如图6-6所示.求面积.S =j0x3 + 3 (3 + x x2)dxS2 二 j 0-6180343 + x x2 (x3 + 3)dx输入 Integrate x a 3 + 3 (3 + x 一 x a 2), x, 1.61803,0Integrate3 + x 一 x a 2 - (x a 3 + 3),x,0,0.618034输出 1.007510.0758192因此，所求面积S=j0x3 + 3 - (3 + x 一 x2 )dx + j0-618034 3 + x 一 x2 - (x3 + 3)dx-1.618030=1.00751+0.075
7、8192 = 1.08333.三、本节小结：1. 微元法的实质是什么？(微元法的实质仍是“和式”的极限。)2. 求在直角坐标系下平面图形的面积。(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)。四、课外作业：P116 习题 61一、求下列各组平面图形的面积1、工与直线=工及工=2。2、与直线力及工二、 求抛物线，=一孩+4x 及其在点和(3,。)处的切线所围成的图形的面 积。三、求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及工轴上方之间的图形的面 积第六章定积分的应用（3、4）第一节 定积分在几何上的应用（3、4）教学目的：会求在参数方程、极坐标系下的平面图形面积教学重点、难点：处理和使用参数方程和
8、极坐标方程表示的平面图形面积的求法，教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、弓|入新课写出圆的方程在直角坐标系下的方程，参数方程和极坐标方程一 站由酒一、新授课如果曲边梯形的曲边为参数方程s 咬，曲边梯形的面积九1*（其中1和勺对应曲线起点与终点的参数值）,在1，勺（或卢，和）上2例幻具有连续导数,，=g 连续。例4求椭圆的面积。解椭圆的参数方程x = a cos/ y = bsintff+dffr = p伊）由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积。A = 4jo ydx =8sinfd（a cos f） = 4感sin2 tdt = 7iab设由曲线=奶及射线$2、&月围成一曲边扇形
9、，求其 面积。这里，俱例在皿顶上连续，且伊兰。dA = -q8d8面积元素 2曲边扇形的面积 “2例5求双纽线所围平面图形的面积。解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积=4甚 A = 4lo= /例6求心形线，= &（l + g C所围平面图形的面积 ）例4求两曲线r=3cos9及尸=1 + cos9所围成图形的公共部分的面积。解将极坐标方程改写成参数方程x=3 cos9 cos9Jx=(1+cos9)cos9、j=3cos9 sin9I =(1 + cos9 )sin 9作图利用Mathematica,输入ParametricPlot3CostA2,3CosSint, t,0,2 PiPa
10、rametricPolt(1+Cost) Cost,(1+Cost) Sint,t,0,2PiShow%,%,AspectRatio Automatic输出图形，如图6-8所示.1.5(2)求交点输入 Solve3 Cost=1+Cost,t(图 68)冗冗车刖出t - 3 ,t 3(3)求面积.先求第一象限的面积兀1兀1S = J 3 (1 + cos 0 )2 d0 + J 2 (3cos 0 )2 d01 0 23 2输入Integrate0.5(1+Cosx)A2,x,0, Pi/3 + Integrate0.5(3Cosx)八2,x,Pi/3,Pi/2输出 1.9635根据对称性，故
11、所求面积S=2q = 2 x 1.9635 = 3.927.例5求由曲线r=*2 sin 0, r 2 = cos20所围图形公共部分的面积解将极坐标方程改写成参数方程为 = Jcos 20 sin 0(1)作图.ParametricPlot2利用Mathematica,输入a (1/2)Sint Cost ,2 a (1/2)SintSint,t,0,2 PiParametricplotCo乩2几(1/2)Cost,Cos2tA (1/2)Sint,t,Pi/4, Pi/4P arametricplot Cos2t a (1/2) Cost , Cos2t a (1/2) Sint ,t,3
12、 Pi / 4,5 Pi / 4Show%,%,%, AspectRatio Automatic 输出图形，如图6-9所示.求交点输入 Reduce2 a(1/ 2)Sint = Cos21a(1/ 2), t输出(1eIntegers&(t=蒙 + 2兀c1 t =专+ 2兀C1)（图 69）（3）求面积.先求第一象限的面积兀1兀1S =J 6 （寸2sin0）2d9=J 4 cos20d。.i 0 2* 2输入IntegrateSinxa2,x,0, Pi/6+Integrate0.5Cos2x,x, Pi/6,Pi/4输出 0.078 786 7根据对称性，故所求面积 S=2 x 0.0
13、78 786 7=0.157 573三、本节小结：参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积四、课外作业：一、求由下列各曲线所围成的图形的面积1广=由（2 +匚。迥I、。2、摆线舔一腿），/=以1-8成）E5 及号由3、及广= i+g$的公共部分。第六章定积分的应用(5、6)第一节定积分在几何上的应用(5、6)教学目的：会用微元法求平行截面的立体体积教学重点、难点：分析使用平行截面计算的立体图形，旋转体体积的计算。教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、弓|入新课平行截面体的概念一 站由酒一、新授课1.已知平行截面的立体体积如图6-10所示，设有一立体图形，其垂直于x轴的截面面积是已知连续
14、函数S (x), 且位于x = a, x = b两点处垂直于x轴的两个平面之间，求此立体的体积。用垂直于x轴的截面分割该立体，从位于x=a的 平面开始，到位于x=b的平面为止。在小区间 x,x+dx 上，将此区间相应的小立体体积用底面积为f(x)，高为dx的扁柱体的体积S(x)dx近似代替，即 体积微元于是所求立体的体积为（图 610）V=Ib S （x）dx例1一平面经过半径为R的圆柱体的底面直径AB，并与底面交成角a，求此平面（图 611）截圆柱体所得楔形的体积。解法一：如图6-11所示，取直径AB所在的直线为x轴， 底面中心为原点，这时垂直于x轴的各个截面都是直角 三角形，；它的一个锐角
15、为a。这个直角三角形的底边长度为 R2 - x2，高为x/R2 - x2 tana，这样截面面积为S（x） = 2（R2 -x2）tana,因此，所求体积为V=r pl、，1 x32V IR 2（ R 2 一 x 2） tan a dx = 2 tan a R 2 x 一 r = 3 R3 tan a解法一：垂直于y轴的各个堆面都是矩形，矩形的两边为2|X|和ytana，这样截面面积为S（x）=2顼R2 件. y tan a.因此，所求体积为V = j R 2R 2 y 2 y tan a dy = tan a (R 2 y 2)2 |r = R 3 tan a3，-0 3解 直线?方程为 肱
16、，取积分变量为气例2连接坐标原点。及点FW，广）的直线、直线工=肱及工轴围成一个直角三角形。将它 绕二轴旋转构成一个底半径为、高为/的圆锥体，计算圆锥体的体积。x e 0, h，在必&上任取小区间X +办，以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为-12dV = 7F x dx h _，圆锥体的体积2。（1）旋转体的概念：旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立 体。这直线叫做旋转轴。（2）旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线K、直线、字 及轴所围成的曲边梯 形绕二轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为八冲刻。在棚句上任取小区间其奸网，取以阪为底的窄边梯形绕二轴
17、旋转而成的薄片的体积为体积元素，皿=珈沾 旋转体的体积为类似地，如果旋转体是由连续曲线x=心、直线，*、i及轴所围成的曲边梯矿溯.形绕轴旋转一周而成的立体，体积为例3求由曲线，=4一及y=所围成的图形绕直线x=3旋转构成旋转体的体积。解取积分变量为2丘。体积元素为皿*M -花财场=tt(3 + 奸。沪tt(3 -奸5 国=1E阡5加/= 12可;奸5心二64兀三。小结平行截面体体积和旋转体体积的计算四。课外作业P116 习题 614.平面图形由y = sinx（0 x京）和y = 0围成，试求该图形（1）绕x轴旋转所成旋转体的体积；（2）绕y轴旋转所成旋转体的体积。5.平面图形由y = 2x-
18、X2和y = 0围成，试求该图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体 的体积。第六章定积分的应用（7、8）第一节 定积分在几何上的应用（7、8）教学目的：会用微元法求平行截面的立体体积教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法，教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、弓|入新课X 2 V 2例1分析求解椭圆一+ ：=1绕X轴旋转所成旋转体的体积。指出微元a 2 b 2一 迎由田一、新授课例2求摆线x*iE,yg）的一拱与,二所围成的图形分别绕工轴、轴旋转构成旋转体的体积。解 绕工轴旋转的旋转体体积* = J。丸y 成诚x - Jo 白（1 一 cos f） , 口（
19、1 一 8”）成=nc?。（l-3cosf + 3cos2f- cos3 f）dt = 5那企.绕轴旋转的旋转体体积可看作平面图0ABC与。月分别绕T轴旋转构成旋转体的体 积之差。=7?湿L (t - sin sm tdt 67T3a3.例3求圆X2 + (y-b)2 = a2(0 a b)绕x轴旋转所形成的立体体积解：如图6-13所示立体是由y1= b+a2-X2,x = a,x = -a围成的平面图形绕x轴旋转所生成的立体除由y = b-a2 -x2,x = a,x = -a围成的平面图形绕2轴旋转所生成的立体而构成的。因此，该立体体积为V=兀 ja (b + (a2 - x2 )2dx-
20、兀(b -、；a2 - x2)2dxa a=K Ia 4b工1,二0所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积。叮= 交点（叫|严16立体体积2。P117第六题6.圆x2 + * = R2的参数方程为f x = R cos0,八八 0 0 2兀,j = R sin 0,试用定积分证明圆周长为2兀R。第六章 定积分的应用(9、10)第一节 定积分在几何上的应用(9、10)教学目的：会用微元法求平面曲线的弧长教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的曲线弧长的求法，教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课：设月、月是曲线弧上的两个端点在弧上插入分点A = Mg,f 乱-i，= B
21、并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无 限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长力甄一的极限存在，则称此极限为曲线弧日的弧长。一 迎由田一、新授课1.直角坐标情形设函数y=f(x)具有一阶连续导数，计算曲线y=f(x)上相应于x从a到b的一段弧长。取X为积分变量，它的变化区间为a,b，在a,b上任取一个小区间x,x+dx，与该区 间相应的小段弧的长度可以用该曲线在点(x,f(x)处的切线上相应的一小段长度来近似代替，从而得到弧长元素dS=：(dx)2 + (dy)2 =(1+ y2dx,于是所求弧长S= j b .J1+y 2 dxa例1求正弦曲线y=sinx在点(0,0)到点(兀，
22、0)之间的一段弧长.解：所求弧长S= jyi+y2 dx =卜顼1 + cos2 xdx.利用Mathematica,输入NIntegrate(1+Cosx八2)八(1/2),x,0, R输出3.820 2因此，正弦曲线每一拱的弧长为3.82022.参数方程情形设曲线的参数方程为I x (t)(a t p).y 河(t)计算这段曲线的弧长。取参数t为积分变量，糨的变化区间为a, P，弧长微元dS = y!(dx)2 + (dy)2 二拇(t)dt2 + 甲而)环 二艘2(t) +w 2(t) dt于是所求弧长为S=j P 甲2(t) +W 2(t)dt.a例2求长半轴为4,短半轴为3的椭圆周长
23、.x=4 cos t.0 t 2 兀y = 3sin t因此，椭圆的周长8=12； (4 sin t )2 + (3cos t )2 dt .0利用Mathematics,输入NIntegrate(4 Sint)A2+(3 Costb2(1/2),t,0,2 Pi输出18.719 7因此，长半轴为4,短半轴为3的椭圆周长为18.719 7.3极坐标方程情形设曲线的极坐标方程为:r=r(0), a 0 p,计算这段曲线的弧长.将极坐标方程改为参数方程：x=r(0)cos0y = r (0 )sin 0故dx=(r，(0 )cos0 - r(0 )sin 0 )d0dy = (r (0 )sin
24、0 + r (0 )cos 0) d0于是，弧长微元dS= 、(dx) 2 + (dy )2 = -Jr 2 (0 ) + r 2 (0 )d0因此，所求弧长为S = j p r2(0) + r 2(0)d0 a例3求心形线r = a( 1+cos0 )的全长(a0)解作心形线的图形，输入ParanetrucPlot2 (1+Cost) Cost,2(1+Cost) Sint,t,0,2 Pi输出心形线r=2(1+cos9尚图形，如图6 -15所示.因为r(0 )=-a sin 0,故所求弧长为S = j 2-a(1+ cos0)2 + (asin0)2d0 0=a j 2气2 + 2cos
25、0 0利用Mathematica,输入Integrate(2+2 Cosx)八0.5,x,0,2 Pi输出8(图 6-15) 故所求孤长为8a.三、小结用微元法求孤线长四、作业：P1177 .求星形线 x = a cos31, j = a sin31(0 t 2兀)的全长。39.求曲线J = X2在0 x 4一段的弧长。11.求曲线x = 1J2-；ln j在1 j 依题意知，每次锤击所作的功相等。村次击入的总深度为卜灰第次击入的深度为占一三、小结利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题.（注意熟悉相关的物理知识）四、作业P1214. 由胡克定律知道，弹簧的伸长与拉力成正比。已知一弹簧伸长1cm时拉力为1N， 求把弹簧拉长10 cm所做的功。5. 设有一质量为M，长为/的匀质细棒，和一个位于细棒延长线上相距为。的质点， 质点质量为m，求细棒对该质点的引力。（距离为,、质量分别为m1和m2的两个质点之间 的引力为F = kmm，其中k为引力常数）。r 2
