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1、奥数社团：植树问题(含时钟问题、上楼梯问题、方阵问题等),奥数社团：植树问题(含时钟问题、上楼梯问题、方阵问题等),同学们在全长30米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？,同学们在全长30米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）,在路的一侧栽树，（两端都栽）,在路的一侧栽树，（两端都栽）,总长 （米）间 隔 （米） 探究方法（线段图）间隔,同学们在全长120米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？,同学们在全长120米的小路一边植树，每隔5米栽一,同学们在全长10 米的小路一边植树，每间隔5米栽一棵。（两端要栽）一共要栽多少棵？,间隔数
2、：,2,树的棵数：,线段图,3,同学们在全长10 米的小路一边植树，每间隔5米栽一,同学们在全长12米的小路一边植树，每间隔3米栽一棵。（两端要栽）一共要栽多少棵？,间隔数：,4,树的棵数：,线段图,3米,开端,终端,5,3米,3米,3米,同学们在全长12米的小路一边植树，每间隔3米栽一棵,同学们在全长20 米的小路一边植树，每间隔4米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵？,间隔数：,5,树的棵数：,线段图,6,同学们在全长20 米的小路一边植树，每间隔4米栽一棵（,（两端要栽）,99,小结：,5,6,13,100,N+1,间隔数植树棵数 23 4 512N（两端要,同学们在全长400米的小路一
3、边植树，每间隔 5 米栽一棵。,一共要栽多少棵？,（两端要栽）,两端要栽,4005+1=,81,(棵),答：一共要栽81棵树。,同学们在全长400米的小路一边植树，每间隔 5,为了美化环境，学校准备在操场边上的一条120米长的小路一边植树，每间隔5米栽一棵（两端不栽） ，需要准备多少棵树苗呢？,为了美化环境，学校准备在操场边上的一条120米长,同学们在全长10 米的小路一边植树，每间隔5米栽一棵。（两端不栽）一共要栽多少棵？,间隔数：,2,树的棵数：,线段图,1,同学们在全长10 米的小路一边植树，每间隔5米栽一,同学们在全长10 米的小路一边植树，每间隔2米栽一棵。（两端不栽）一共要栽多少棵
4、？,间隔数：,5,树的棵数：,线段图,4,同学们在全长10 米的小路一边植树，每间隔2米栽一棵。,小结,两端要栽,两端不栽,小结两端要栽两端不栽树的棵数 = 间隔数,奥数社团,（二）上楼梯问题有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。,奥数12345678（二）上楼梯问题,白汀水,白汀水,分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第
5、一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1.因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了。,例1 裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？,解：16米中包含2米的个数：162=8（个）剪去最后一段所用的天数：8-1=7（天）答：第七天就可以剪去最后一段。,1,2,3,4,5,6,7,8,白汀水白汀水分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4,白汀水,白汀水,例2 一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？,分析：把一根木料切成2段，切1
6、次；,把一根木料切成3段，切2次；,把一根木料切成4段，切3次；,可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少1.因此，在24秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切了4次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了。,解：切一次所用的时间：24（4-1）=8（秒）切5段所用的时间：8（5-1）=32（秒）答：用同样的速度切成5段，要用32秒。,白汀水白汀水例2 一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速,白汀水,白汀水,例3 三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？
7、,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29,30排29米,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30,30排中间共有29个间隔，所以队伍长：129=29（米）,解：因为每4人一排，所以共有：1204=30（排）,答：这支队伍长29米。,白汀水白汀水例3 三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个,白汀水,白汀水,解：每次间隔时间为：12（4-1）=4（秒）敲 6下共
8、用的时间为：4（6-1）20（秒）答：时钟敲6下共用20秒。,！ ！ ！ ！ ！ ！1 2 3 4 5 6,5个间隔20秒,例4 时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？,分析 如果盲目地计算：124=3（秒）， 36=18（秒），认为敲6下，需要18秒钟就错了.请看下图：,时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：123=4（秒）；,时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：45=20（秒）。,白汀水白汀水解：每次间隔时间为：12（4-1）=4（秒）！,白汀水,白汀水,例5.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走
9、到八层，还需要多少秒？,解：上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒）从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯还需要的时间：164=64（秒）答：还需要64秒才能到达8层。,分析 要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒），从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。,上3层楼梯48秒,上4层楼梯64秒,白汀水白汀水例5.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，,白汀水,白汀水,例6 晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需
10、要走多少级台阶？,注：例1例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数=每层楼梯的台阶数（所到达的层数减起点的层数）。,解：每一层楼梯有：36（3-1）18（级台阶）晶晶从1层走到6层需要走：18（6-1）=90（级）台阶。答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。,分析 要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯。从1楼到3楼有3-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有362=18（级）台阶，而从1层走到6层需要走6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解
11、了。,18 2=36级,18 5=90级,白汀水白汀水注：例1例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它,白汀水,白汀水,（二）植树与方阵问题一、植树问题要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长.间距（棵距）长.棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。 关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。,白汀水白汀水（二）植树与方阵问题,白汀水,白汀水,如上图树把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。全长、棵数、株距三者之间的关系是：,例：如图, 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.,棵数=段数+1=全长株距+1全长=株距（棵数-1）株距=全长（
12、棵数-1）,1.非封闭的植树路线,白汀水白汀水 如上图树把总长平均分成5段，但植树棵数是6,白汀水,白汀水, 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长棵数、株距之间的关系就为全长=株距棵数；棵数=全长株距；株距=全长棵数。 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中还少1棵。棵数=段数-1=全长株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵。株距=全长（棵数+1）。,白汀水白汀水 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在,白汀水,白汀水,棵数=段数=周长株距.,三.封闭的植树路线,例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重
13、合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。如右图所示。,白汀水白汀水 三.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形,白汀水,白汀水,方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=每边人（或物）数-14；每边人（或物）数=四周人（或物）数41。 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数。,二、方阵问题,学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。,白汀水白汀水方阵的基本特点是
14、：二、方阵问题学生排队，士兵列队,例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？,解：以10米为一段，公路全长可以分成9001090（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）答：可栽电线杆91根。,分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。,例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽,白汀水,白汀水,例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？,解：5分钟汽车共走了：9（501-1）=4500（米
15、），汽车每分钟走：45005=900（米），汽车每小时走：90060=54000（米）=54（千米）列综合式：9（501-1）5601000=54（千米）答：汽车每小时行54千米。,分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.,白汀水白汀水例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽,白汀水,白汀水,分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。,例3 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多
16、少人？,解：方阵最外层每边人数：6041=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。,16 16=256人。,白汀水白汀水分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：例,白汀水,白汀水,例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。,解：（14-3）34=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。,解：最外边一层棋子个数：（14-1）
17、4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个）第三层棋子个数：（14-22-1）4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）层数4进行计算。,白汀水白汀水例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层,白汀水,白汀水,例5 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？,相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2
18、米或4米。,解：共可栽芍药花：180630（棵）共种月季花：23060（棵）两种花共：30+60=90（棵）两棵花之间距离：18090=2（米）,分析 在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数. 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。,白汀水白汀水例5 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一,白汀水,白汀水,解：大三角形三条边上共栽花：（92-1-1）3=48（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（9-2）3=21（棵）整个花坛共栽花：48+21=69（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。,例6 一个街心花园
19、如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？,分析 从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株， 则大三角形边上栽的棵数为92-1=17（棵）。 又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花（17-1）3=48（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵）,或：6个交点上栽6朵花，小三角形的9条边（不计重复）上看成两端不栽，每边栽7棵，共79=63条。合计6+63=69朵。,白汀水白汀水例6 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的,感谢聆听,感谢聆听,
