实变函数(全)总结ppt课件.ppt

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1、第一节 集合的概念第二节 集合的运算,第一章 集合,1. 集合的基本概念及运算,注：书中用 表示包含或真包含关系,（其中S为全集）,简记为Ac,2.集簇的交和并,集簇的并,集簇：,特别当 时，称集簇为集列，记为,集簇的交,例,注：在本书中我们未把0包含在N内,+不在中,例,例,笛卡尔乘积,3.集合的运算性质,De Morgan公式,注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换,4.上、下极限集,上极限集,例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集,例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为1,上极限集,极限集,如果集列 的上极限集与下极限集相等，

2、即,则称集列 收敛，称其共同的极限为集列 的极限集，记为：,单调增集列极限,定理 9 ：单调集列是收敛的,单调增集列极限分析,当An为单调增加集列时,单调减集列极限分析,当An为单调减小集列时,例,例,（补充）例1,例 2,第三节 对等与基数,第一章 集合,定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射，记作 f: XY,或：设X,Y是两个非空集合，f是XY的子集，且对任意xX，存在唯一的y Y使(x,y) f，则f 是从 X 到 Y的一个映射,注：集合，元素，映射是一相对概念,略：像，原像，像

3、集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）, 映射的定义,例,注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh,2、 实数的加法运算+: RRR (群,环,域),1、 定积分运算 为从a,b上的可积函数集到实数集的映射 (函数,泛函,算子, 变换),3、 集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定） 称 为集A的特征函数，,证明的过程略,2 集合运算关于映射的性质（像集）,集合运算关于映射的性质（原像集）,注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射， 7）等号成立当且仅当f为满射,证明的过程略,3 对等与基数,1）设A,B是两非空集合，若存在着A到

4、B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广,记作约定,例,有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。,例,Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.,基数的大小比较,4 Bernstein定理,Bernstein定理的证明,Bernstein定理的证明,证明:,Bernstein定理的证明,Bernstein定理的证明,Bernstein定理的证明,此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.

5、(举例),第二章 点集,1. 开集、闭集,P0为 E的接触点：P0为 E的聚点：P0为 E的内点：,说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证,若E = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）,例：开区间(a,b)为开集,说明：要证E是开集，只要证,证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。,例：闭区间a,b为闭集,说明： 要证E是闭集，只要证,证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x不是a,b的接触点，,从而a,b的接触点都在a,b内，从

6、而a,b是闭集。,注：闭集为对极限运算封闭的点集,即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点,利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得,若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）,E为开集,注： E为含于E内的最大开集,E,从而y为E的内点，从而所以x为E的内点，即,证明：只要证,E为闭集,E为闭集,注： 为包含E的最小闭集,E,从而即x为E的聚点，从而,2 开集与闭集的对偶性,P0为 E的接触点：P0为 E的聚点：P0为 E的内点：P0为 E的外点：,b.若E为开集，则Ec为闭集;

7、若E为闭集，则Ec为开集。,a.,开集的余集是闭集,从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。,证明：设E为开集，即,从而,闭集的余集是开集,证明：设E为闭集，即,任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，,从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，,所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。,3 开集的性质,a. 空集，Rn为开集;b. 任意多个开集之并仍为开集；c. 有限个开集之交仍为开集。,注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集

8、合，如：E=0,1),闭集的性质,a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。,注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n,若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集,5 .隔离性定理及点集间的距离,隔离性定理设 是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个互不相交的开集 ，使得,注：隔离性定理中“闭集”的条件不能少， 如2，3）和（3，5,点集间的距离,c. 若 ,则 d(A,B)=0; 反之?,b.d(x,B)=0当且仅当,注：a. 若x B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1),思 考,问题2：两个闭集 不

9、相交，下面的结论一定成立吗？如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是闭集） 上面条件换成有界闭集呢？,问题1:定理中改为有界闭集，怎么构造隔离？,定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集 ， xRn ，则必有yA,使得d(x,y)=d(x,A),证明：由 可得,定理（距离可达性定理2） ：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B),由于A有界，故,证明：由,又B为闭集，故yB,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B),又A为闭集，从而xA ，并可得yni有界因为当ni充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni

10、) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）,证明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E,定理 设E为Rn中非空点集 ，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数,所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。,可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y),定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2,注：可推广到一

11、般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）， 即Urysohn引理.,6.R中有关紧性的两个结论,Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.,注：此定理对无限维度量空间不一定成立。(参见P306 例2), Heine-Borel有限覆盖定理,设F为Rn 中的有界闭集，若开集簇 覆盖F， 即 ， 则 中存在有限个开集U1 ，U2， ,Un，它同样覆盖F,定义 （紧集）：设M是度量空间X中的一集合， 是X中任一族覆盖了M的开集， 如果可从中选出有限个开集U1 ，U2， ,Un仍然覆盖M，则称M是X中的紧集定理（紧集的充要条件）（P303）：设X是度量

12、空间，M是X中一子集，则M是X中的紧集的充要条件为对M中任何点列，都存在子列收敛于M中一元素.,紧 集,但在一般的度量空间中，紧集必为 有界闭集，而有界闭集不一定为紧集,定理： 设M是度量空间 中的紧集，则M是X中的有界闭集,举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例2）,结论： 中紧集与有界闭集等价,可数覆盖定理,设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， ,Un ， ，它同样覆盖F,提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密,7 自密集和完备集的定义,自密集：设 ，如果 ，则称E

13、 为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密 集。 例：有理数集Q为自密集完备集：设 ，如果 ，则称 E为完备集。 例：任何闭区间及全直线都为完备集,7. 直线上的开集构造,定义（构成区间） 设G为直线上的开集，如果开区间而且端点 不属于G，则称 为G的构成区间。例如：,a b c c d d,(a,b),(c,d)为构成区间（c,d）不是,定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间,直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.,

14、开 集 构 造 性 定 理,直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;,（4）Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并，且不唯一.,（3）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合,8.Cantor集,定义：令称P=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集,Cantor集的性质,a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集,c. P没有内点,但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中

15、间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。,证明：对任意x P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中,d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点,从而x为P的聚点，当然不为孤立点。,证明：对任意x P ， 只要证：,由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对0,1十等分二进制小数 相应于 对0,1二等分三进制小数 相应于 对0,1三等分,说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）,e. P的势为 （利用二进制，三进制证明）,证明

16、思路：把0,1区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应,注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.,康托集P为完备集（由完备集的构造性定理可得）,第一节 外测度,第三章 测度理论,1.引言,其中,新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）,问题：如何把长度,面积,体积概念推广?,圆的面积,达布上和与下和,Riemann积分,Jordan测度,Jordan外测度（外包）,Jordan可测,Jordan内测度（内填）,例：设E为0,1中的有理数全体，则E不Jordan可测,由于任一覆盖

17、0,1中的有理数全体的有限开覆盖也一定能覆盖除有限个点外的 0,1，从而,由于无理数在0,1中稠密，故任一开区间都不可能含在E内，从而,所以 ，即E不Jordan可测,2 Lebesgue外测度(外包),与Jordan外测度比较：,下确界：,即：用一开区间列 “近似”替换集合E,例 设E是0,1中的全体有理数，试证明E的外测度为0,证明：由于E为可数集，,再由的任意性知,思考：3.我们知道有理数与无理数在0,1上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间0,1,由无理数集在0,1上稠密可知,上面叙述的错误出在取，因为i的取定依赖于,思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖0,1中的

18、有理数全体，则这有限个开区间也覆盖0,1（除有限个点外）,注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如antor集的余集的构成区间）,5.对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖0,1中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖0,1（除可数个点外）,（2）Lebesgue外测度的性质,(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。,（b）单调性：,（a）非负性： ， 当E为空集时，,（C）次可数可加性,证明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）,注：一般证明都

19、是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界,由的任意性，即得,注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:,当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。,若d(A,B) 0,则,例,证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广,对任意区间 ，有,例：Cantor集的外测度为0。,注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集,证明：令第n次等分后留下的闭区间为,第二节 可

20、测集合,第三章 测度理论,Lebesgue外测度(外包),次可数可加性(即使n两两不交),即：用一开区间列“近似”替换集合E,1.可测集的定义,注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。,（Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作,例：零集E必为可测集,即E为可测集。,2.Lebesgue可测集的性质,证明：(充分性）,(必要性)令,（a）集合E可测（即 ）,即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；,（b）若A,B,Ai 可测，则下述集合

21、也可测,注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得,若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性）,若 A,B可测， 则有可减性,可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；,下面证明若A,B 可测，则 可测,下面证明若A i 两两不交，则,例：设0,1中可测集A1,A2 , ,An 满足条件 则 必有正测度。,注：左边的极限是集列极限， 而右边的极限是数列极限， (b)中的条件 不可少,(a) 若An是递增的可测集列，则,(b) 若An 是递减的可测集列且,单调可测集列的性质,第三节 开集的可测性,第三章 测度理论,注：开集、闭集既是 型集也是 型集； 有理数集是 型集，但不

22、是 型集； 无理数集是 型集，但不是 型集。,有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）,例 区间 是可测集，且,注：零集、区间、开集、闭集、 型集（可数个开集的交）、 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。,证明见书本p66,2. 可测集与开集、闭集的关系,即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。,证明：若(1)已证明，由Ec可测可知,取F=G c，则F为闭集,(1).若E可测，则

23、,证明:(1)当mE+时，由外测度定义知,从而（这里用到mE+ ）,对每个Ei应用上述结果,(2)当mE=+时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：,例,证明：对任意的1/n，,例：设E为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。,例：设E*为0,1中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。,开集: (0,1) 闭集：,开集：闭集：空集,3. 可测集与 集和 集的关系,可测集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。,(2).若E可测，则存在 型集H, 使,(1).若E可测，则存在 型集 O, 使,(1).若E可测，则存在 型集 O,

24、 使 (2).若E可测，则存在 型集H, 使,证明：若(1)已证明，由Ec可测可知,取H=O c，则H为 型集 ， 且,(1).若E可测，则存在 型集 O, 使,证明：对任意的1/n，,例：,例：设E*为0,1中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的 型集或 型集。,设E为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一零测度集的 型集或 型集。,注：上面的交与并不可交换次序,类似可证：,证明:由外测度定义知,第四节 不可测集,存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）,存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函

25、数和不可测集构造） 参见：实变函数周民强 , p87,习题讲解,第三章 测度理论,1 设E是直线上的一有界集， ，则对任意小于 的正数c，恒有子集E1，使,证明：由于E有界，故不妨令令f(x)=m*(Ea,x)，则f(a)=0,f(b)=m*E,下证f(x)在a,b上连续,从而f(x)在a,b上（一致）连续；由界值定理知，存在 a,b ,使f()=c,令E1=E a, ，则E1满足要求.,任取x1,x2 a,b, x1x2，则,f(x)=m*(Ea,x),2 设A，B是Rn的子集，A可测，证明等式,证明：,3 设A，B是Rn的子集，证明不等式,证明：,说明：也可通过来证明,设 ，存在可测集列A

26、n,Bn，使得且 ，试证明E可测.,进一步 为可测集。,4,5 直线上可测集全体A的势为,再由Bernstein定理知,从而,又P，R的势都为,证明：令Cantor集为P， 由于Cantor的测度为0，从而它的子集都可测，故,第一节 可测函数的定义及其简单性质,第四章 可测函数,新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）,问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?,1可测函数定义,例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。,注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集,定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )，若 可测，则称f(x)是E上的可测函数,(2)

27、简单函数是可测函数,可测函数,若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；,（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数,对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，,f(x) 在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续),设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续,可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数,证明：任取xEfa, 则f(x)a,由连续性假设知，, R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。,由f单调增知下面的集合为可测集,证明：不妨设f单调增，对任意aR,可测函数的等价描述,证明：利用（1）与（4），（2）与（3）

28、互为余集，以及,定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测,对前面等式的说明,可测函数的性质,可测函数关于子集、并集的性质,反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。,即:若f(x)是E上的可测函数, 可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；,若m (Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）,注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性,证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测 ，,即： 设f(x

29、)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测,注：用到了可测函数关于子集、并集的性质,另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测 。,可测函数类关于四则运算封闭,即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。,类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。,证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质,若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。,作业：若f(

30、x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x)为E上的可测函数,再利用f(x)g(x) =(f(x)+g(x)2 - (f(x) -g(x)2/4即可,证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意aR,可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。,推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。,若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。,对上式的说明：,下确界：,例： R1上的可微函数f(x)的导函数f (x)是可测函数,利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.,从而f (x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f

31、 (x)是可测函数.,证明：由于,例 设fn是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.,注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.,证明：发散点全体为 收敛点全体为,再,可测函数与简单函数的关系,可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限,可测函数与简单函数的关系,注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛,若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限 ，而且还可办到,例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x)是可测函数。,证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a，Ef ga=x| f( g(x)a可测即可,x|

32、 f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+),f-1(a,+) =,例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x)是可测函数。,注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f( g(x)不一定是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：实变函数，周民强，p114),证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a，m (Ef ga)=x| f( g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续，故Ffa为R中的开集，,又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令,再由g可测，可知,例：设f(x)是R上连续函数，g(x)

33、是E上可测函数，则f( g(x)是可测函数。,注：,另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数 的极限,因为f(x)连续，故,所以f( g(x)是简单函数列的极限，故为可测函数,第二节 可测函数的收敛性,第四章 可测函数,函数列的几种收敛定义,一致收敛:,注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制,点点收敛: 记作,例：函数列fn(x)=xn , n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛,fn(x)=xn,几乎处处收敛: 记作 (almos

34、t everywhere）,即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),依测度收敛: 记作,注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何,不依测度收敛,依测度收敛,几种收敛的区别,说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1,（1）处处收敛但不依测度收敛,在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在

35、R+上不依测度收敛于1，另外fn不几乎一致收敛于1,fn不几乎一致收敛于f,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,任意 （ ）,适当小,小,fn不几乎一致收敛于f,即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,（2）依测度收敛但处处不收敛,依测度收敛但处处不收敛, 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；,例：函数列fn(x)=

36、xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛,收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）,三种收敛的联系,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）,引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：,第三节 可测函数结构 Lusin定理,第四章 可测函数,可测函数,简单函数是可测函数可测函数总可表示成一列简单函数的极限

37、（当可测函数有界时，可作到一致收敛）,问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？,可测集E上的连续函数定为可测函数,鲁津定理,实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）,设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。,（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数,（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列,（2）任一可测函数差不多就是连续函数,鲁津定理的证明,证明：由于mE|f|=+=0 ，故不妨令f(x)为有限函数(1) 当f(x)为简单函数时，,

38、当xEi时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 上连续显然F为闭集，且有,对f(x)在F连续的说明,若f(x)在Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则f(x)在 上连续,故对任意xO(x, )F，有|f(x)-f(x)|=0，故f 连续,证明：任取则存在 i0，使得xFi0，f(x)= ci0，,又Fi为两两不交闭集，从而x在开集 中,所以存在0, 使得,对f(x)在F连续的说明,说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取xFi足够小的邻域不含其他Fi 中的点,函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R上处处不连续,条

39、件Fi为两两不交闭集必不可少，如：,鲁津定理的证明,(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列n(x) 在E上一致收敛于f(x)，,由n(x) 在F连续及一致收敛于f (x) ，易知f(x)在闭集F上连续。,利用(1)的结果知,鲁津定理的证明,则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果（连续函数类关于四则运算封闭）,(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换,注：(1)鲁津定理推论,鲁津定理（限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）,（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）,若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F

40、)（对n维空间也成立）,则 及R上的连续函数g(x),开集的余集是闭集闭集的余集是开集,直线上的开集构造直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并,鲁津定理推论证明的说明,鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续,例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E,从而,令 ，即得我们所要的结果。,证明：由鲁津定理的推论知,再由Riesz定理，存在gn(x) 的子列 gni(x)使gni(x)f(x) a.e.于E，,对上例的说明（只能作到几乎处

41、处收敛）：,说明：若fnf于R， fn连续，则f的连续点集是R的稠密集（参见：实变函数，周民强，p-43）,鲁津定理的结论 m (E-F) 不能加强到m (E-F) =0（参见：实变函数，周民强，p-116）,虽然我们有但不存在R上的连续函数列 fn 使得fnf于E,设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数,注：此结论即为鲁津定理的逆定理,从而 f(x)在 上可测，进一步 f(x)在 上可测。,证明：由条件知， ，存在闭集使 且 f(x)在En 连续，当然 f(x)在 En上可测，,第四节 可测函数的收敛性（续）,第四章 可测

42、函数,各种收敛定义,依测度收敛:,几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）,引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,叶果洛夫定理的证明,对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明,下证明 由(3)推出(2),对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明,下证明 由(4)推出(3),对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明,注：叶果洛夫定理的逆定理成立,注：a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE+或mE=+，,几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,另外显然 fn(x)

43、在 上点点收敛于f(x)所以 fn(x) 在E上a.e.收敛于f(x),证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 fn(x) 在 En上一致收敛于f(x) ，当然fn(x) 在En 上点点收敛于f(x),叶果洛夫定理的逆定理,注: b.叶果洛夫定理中条件mE+不可少,不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛,几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,注：c.叶果洛夫定理中的结论me不能加强到me=0,去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛，但去掉任意零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛。,例：函数列fn(x)=xnn=1,2,在(

44、0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛；,注：c.叶果洛夫定理中结论me不能加强到me=0,设fn(x)= x n , x(0,1）,则fn(x) 处处收敛于f(x)=0，但fn(x)不一致收敛于f(x) ，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x) 。,说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合(0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列xn, 使得 收敛到1，故：,从而E-e 上fn(x)不一致收敛于f(x),收敛间的关系,依测度收敛但处处不收敛,依测度收敛与点点收敛,Riesz定理,若 于E,则必有fn的子列 fnk ，使得,收敛间的关系,Rie

45、sz定理（(6)到(1)的关系）我们只需证(5)到(3)的关系,Riesz定理的证明,证明：,对Riesz定理证明的说明：其实从证明中的(*)式我们可看出,从而可取得n1 n2 n3 nk，使得,故对任意0， ,有,依测度收敛的等价描述,令mE+，则 对fn 的任意子列fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得,证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk ，由于 当然有,由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki ，使得,依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）,注：(1),(2),(4)当mE=+时,也成立；条件mE+对(3)来说不可少.,定理：令mE+ ， ，则 (1) 若又有 , 则f

46、(x)=h(x) a.e.于E。,设 fn 与 gn 是E上几乎处处有限的可测函数列, 于E， 于E, 则 于E,注:(1),(4)的证明类似，只要利用,证明：由于,故,这与（*）式矛盾，所以,证明：假设 不成立，则,条件mE+对(3)来说不可少,注：令 ，则 gn不依测度收敛于g,注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明任取 fn gn 的子列fnk gnk ，找 fnk gnk 的子列 fnki gnki使得,例 设但 不依测度收敛于f 2于R,第一节 Lesbesgue积分的定义及性质,第五章 积分理论,1.积分的定义,设 是 ( Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义 为

47、在E上的Lebesgue积分,非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数 的极限 ，而且还可办到,一般可测函数的积分,积分的几何意义：,注：当 有限时，称f(x)在E上 L可积,（要求 不同时为 ）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）,设f(x)为E上的可测函数，定义,积分的性质,零集上的任何函数的积分为0, f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）,且,单调性:,线形:,(5)设f(x)是E上的可测函数， ， 证明 a.e.于E,证明：则En为可测集,即f(x)=0 a.e.于E。,(6) 若f可积，则f

48、几乎处处有限.,证明：,对每个n，有,(7)积分的绝对连续性,说明：若|f(x)|M,则只要取=/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。,若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有,即：当积分区域很小时，积分值也很小.,积分的绝对连续性的证明,证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积,故对任意，存在E上的简单函数(x) ，,使在E上,由于(x)为简单函数，故存在M，使得|(x)|M,非负可测函数可积的等价描述,设f(x)为E上几乎处处有限的非负可测函数, mE+，在0, +)上作分划:,则f(x)在E上可积当且仅当,非负可测函数可积的等价描述的证明,证明：,例：若E1, E2, En是

49、0,1中的可测集，0,1中每一点至少属于上述集合中的k个(kn),则在E1, E2, En中必有一个点集的测度大于或等于k/n,例 设fn(x)为E上非负可测函数列，,第二节 Lesbesgue积分的极限定理,第五章 积分论,1.Levi逐项积分定理,只要证明大于等于，但一般而言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以我们有必要先把f(x)下移一点。,注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。,若fn(x)为E上非负可测函数列，,说明：小于等于显然成立，因为fn(x)总在f(x)的下方,Levi逐项积分定理的证明,引理1：设En是递增集列， 是Rn上的非负可测简单

50、函数，则,引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则,证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，,有定义，且从函数列的渐升性知道,下证大于等于号,Levi逐项积分定理的证明,证明：令c满足0c1， 是Rn上的非负可测简单函数，且,则En是递增集列，,由引理1知,Levi逐项积分定理的证明,再由的积分定义知,于是从（应用引理2）,对Levi逐项积分定理的说明,积分的几何意义（函数非负）：,若fn(x)为E上非负可测函数列，,单调增集列测度的性质,2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）,然后利用Levi逐项积分定理即可,对应于测度的可数可加性,若fn(x)为E上非负