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1、第四章 级数,1 复数项级数,1,第四章 级数1 复数项级数1,1. 复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数列an当n时的极限, 记作,此时也称复数列an收敛于a.,2,1. 复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复,定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是,证 如果 , 则对于任意给定的e0, 就能找到一个正数N, 当nN时,3,定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条,反之, 如果,4,反之, 如
2、果4,2. 级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列, 表达式,称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛,5,2. 级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an, tn=b1+b2+.+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在, 即级数 和 都收敛.,6,定理二 级数 收敛的充要条件是级数,定理二
3、将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题.,7,定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题.7,定理三,证,8,定理三证8,9,9,10,10,11,11,2 幂级数,12,2 幂级数12,1. 幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式,称为复变函数项级数. 最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.,13,1. 幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为,存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一定是
4、z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.s(z)称为级数 的和函数,如果对于D内的某一点z0, 极限,14,存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(,这种级数称为幂级数.如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为 , 这是(4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论,当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项级数的特殊情形:,15,这种级数称为幂级数.当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或,定理一(阿贝尔Abel定理),z0,x,y,O,16,定理一(阿贝尔Abel定理)z0 x
5、yO16,证,17,证17,18,18,19,19,2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种:i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设z=a(正实数)时, 级数收敛, z=b(正实数)时, 级数发散.,20,2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的,显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.,O,a,b
6、,Ca,Cb,x,y,21,显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.RCROab,当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.,22,当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R,例1 求幂级数,的收敛范围与
7、和函数.解 级数实际上是等比级数, 部分和为,23,例1 求幂级数的收敛范围与和函数.23,24,24,3.收敛半径的求法,25,3.收敛半径的求法25,4. 幂级数的运算和性质 像实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设,在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.,26,4. 幂级数的运算和性质 像实变幂级数一样, 复变幂级数也,27,27,更为重要的是代换(复合)运算,这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.,28,更为重要的是代换
8、(复合)运算这个代换运算, 在把函数展开成幂,29,29,O,x,y,a,b,当|z-a|b-a|=R时级数收敛,30,Oxyab当|z-a|b-a|=R时30,31,31,3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即,32,3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即32,3 泰勒级数,33,3 泰勒级数33,设函数f(z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.,z0,K,z,r,z,34,设函数f(z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z,按柯西积分公式, 有,其中K取正方向, 且有,35,按
9、柯西积分公式, 有其中K取正方向, 且有35,代入(4.3.1)得,由解析函数高阶导数公式(3.6.1),上式可写成,36,代入(4.3.1)得由解析函数高阶导数公式(3.6.1),上,在K内成立, 即f(z)可在K内用幂级数表达,q与积分变量z无关, 且0q1.,37,在K内成立, 即f(z)可在K内用幂级数表达q与积分变量z无,K含于D, f(z)在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数M使|f(z)|M.,38,K含于D, f(z)在D内解析, 在K上连续, 在K上有界,因此, 下面的公式在K内成立.,称为f(z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为f(z)在z0
10、处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则(4.3.4)在圆域|z-z0|d内成立. 但这时对f(z)在z0的泰勒级数来说, 它的收敛半径R至少等于d, 因为凡满足|z-z0|d的z必能使(4.3.4)成立. 即Rd.,39,因此, 下面的公式在K内成立.称为f(z)在z0的泰勒展开式,定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|d时,40,定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析, z0为D,如果f(z)在z0解析, 则使f(z)在z0的泰
11、勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离, 即R=|a-z0|. 这是因为f(z)在收敛圆内解析, 故奇点a不可能在收敛圆内. 又因为奇点a不可能在收敛圆外, 不然收敛半径还可以扩大, 因此奇点a只能在收敛圆周上.,O,x,y,z0,a,41,如果f(z)在z0解析, 则使f(z)在z0的泰勒展开式成立,任何解析函数民开成泰勒级数的结果就是就是泰勒级数因而是唯一的.这是因为, 假设f(z)在z0用另外的方法展开为泰勒级数: f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+.+an(z-z0)n+.,则f(z0)=a0.而f (z)=a1+2a2(z-z0
12、)+.于是f (z0)=a1.同理可得,42,任何解析函数民开成泰勒级数的结果就是就是泰勒级数因而是唯一的,利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:,把f(z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法, 例如, 求ez在z=0处的泰勒展开式, 由于 (ez)(n)=ez, (ez)(n)|z=0=1, (n=0,1,2,.)故有,因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为.,43,利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0,同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:,因为sin z与cos z在复平面上处处解析, 所以这些等式也在复
13、平面内处处成立.,44,同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:因,2)常见函数的泰勒展开式,45,2)常见函数的泰勒展开式45,46,46,除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质(定理四), 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:,47,除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的,48,48,例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点,
14、 所以可在|z|1展开为z的幂级数.,-1,O,R=1,x,y,49,例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开,50,50,51,51,4 洛朗级数,52,4 洛朗级数52,一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果f(z)在z0处不解析, 则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,53,一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z), 可以在该圆域内,讨论下列形式的级数:,可将其分为两部分考虑,54,讨论下列形式的
15、级数:可将其分为两部分考虑54,只有在正幂项和负幂项都收剑才认为(4.4.1)式收敛于它们的和.正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径为R2, 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到,这是z的幂级数, 设收敛半径为R, 令R1=1/R, 则当|z-z0|R1时, zR, (4.4.4)收敛即(4.4.3)收敛,因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 级数(4.4.1)才收敛.,55,只有在正幂项和负幂项都收剑才认为(4.4.1)式收敛于它们的,z0,R1,R2,56,z0R1R256,例如级数,57,例如级数57,幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数(4.4.1)在收敛圆环域内也具有
16、. 例如, 可以证明, 级数(4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数?先看下例.,58,幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数(4.4.1)在收敛圆环域,59,59,其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为级数:,60,其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为级数:60,1,O,x,y,61,1Oxy61,定理 设f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析, 则,C为在圆环域内绕z0的任何一条闭曲线.,62,定理 设f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析,证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z
17、0为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.,R1,R2,z,z0,63,证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的,由柯西积分公式得,64,由柯西积分公式得64,65,65,66,66,因此有,67,因此有67,68,68,级数(4.4.5)的系数由不同的式子(4.4.5)与(4.4.7) 表出. 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示:,69,级数(4.4.5)的系数由不同的式子(4.4.5)与(4.4,C,z0,R1,R2,70,Cz0R1R270,(4.4.5)称为
18、函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数. 级数中正整次幂和负整次幂分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.,71,(4.4.5)称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数.事实上, 假定f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内用某种方法展成了由正负幂项组成的级数:,72,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,以(z-z0)-p-1去乘上式两边, 这里p为任一整数, 并沿C沿分,
19、得,这就是(4.4.8),73,以(z-z0)-p-1去乘上式两边, 这里p为任一整数, 并,用(4.4.8)计算cn要求环积分, 过于麻烦, 因此一般不用. 一般是根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性, 可以用别的方法, 特别是代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.例如:,74,用(4.4.8)计算cn要求环积分, 过于麻烦, 因此一般不,例1 函数 在圆环域i)02|z|+;内是处处解析的, 试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,1,1,2,2,75,例1 函数,解 先把f(z)用部分分式表示:,76,解 先把f(z)用部分分式表示:76,ii) 在1|z|2内,77,ii) 在1|z|2内77,iii) 在2|z|+内,78,iii) 在2|z|+内78,例2 把函数,解 因有,79,例2 把函数解 因有79,作业 第四章习题,第143页开始第11题 第1),2),3)小题第12题 第1),2)小题第16题 第1),2),5),6)小题,80,作业 第四章习题 第143页开始80,
