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1、第九章 差错控制编码,9.1 引言9.2 纠错编码的基本原理9.3 常用的简单编码9.4 线性分组码9.5 循环码9.6 卷积码,9.1引 言,一、信源编码与信道编码 数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编码与信道编码二大类。 信源编码：提高数字信号的有效性，如，PCM编码，编码，图象数据压缩编码等。 信道编码：提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠错编码 。,从差错控制角度看：信道分三类：（信道编码技术）随机信道：由加性白噪声引起的误码，错 码是随机的，错码间统计独立。突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引 起。混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码，那一种都不能忽略不计的信道。,二：差错
2、控制的工作方式,检错重发前向纠错，不要反向信道反馈校验法，双向信道,9.2 纠错编码的基本原理,一：分组码，码重，码距 （樊书P282 表9-1） 将码组分段：分成信息位段和监督位段，称为分组码，记为（n, k）n编码组的总位数，简称码长（码组的长度）k 每组二进制信息码元数目（信息位段）n-k=r 监督码元数目，（监督位段）（见樊书P282，图9-2）,在分组码中，有“1”的数目称为码组的重量，简称码重。例如，码组（1 1 0 1 0），码长n=5，码重为3。把两个码组对应位不同的数目称为这两个码组的距离，简称码距，又称Hamming（汉明）的距离。例如，码组（1 1 0 0 0）与（1 0
3、 0 1 1）的距离为3。,而码组集合中，全体码组之间的距离的最小值称为最小码距（d0 ）。检测e个错，纠正t个错,纠正t个错同时检测e个错码长n发生r个错的概率纠1，2个错误码率也下降几个数量级,9.3常用的简单编码,纠错码的分类 ： (1) 奇偶校验码“1”的数目应为偶或奇数） (2) 二维奇偶校验码(3) 恒比码(4) 正反码,(1) 奇偶校验码,(2) 二维奇偶校验码,(3) 恒比码,例如，我国电传机传输阿拉伯数字时，用5位代码表示，其中恒有3个“1”，称为 “5中取3” 恒比码。,(4) 正反码,正反码的信息位段长与监督位段长相同，如正反码组： 信息位段有奇数个1：110011100
4、1 （监督位与信息位重复） 信息位段有偶数个1：1000101110 （监督位是信息位反码）,9.4 线性分组码,一：基本概念 可用线性方程组（代数关系）表述码的规律性的分组码称为线性分组码 。 在代数码中，常见的是线性码，即编码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着，或者说可用线性代数方程表述编码的规律性。,二：线性分组码的一种 汉明码,构造原理 先回顾偶校验码 在接收端实际上计算监督关系式：, 无错, 有错, 称校正子,两个监督式就有两个校正子，其可能值有4种组合：0 0，0 1，1 0，1 1，这4种组合代表不同信息。 若用1种组合表示无错,其余3种组合就可以用来表示一位错码的3种
5、不同位置。 同理，r个监督式能指示一位错码的 个可能位置。,一般来说，若码长n，信息位数k，则监督位 ,汉明码n与r满足：,现以（n，k）=（7，4），r=3为例的汉明码来说明如何具体构造这些监督关系式。,设码字（n，k）=,校正子,的值与错码位置的对应关系 如下表,只要（s1或s2，或s3）为“1”，就表示有错,全为零，表示无错。,在发端编码时，信息位 的值是随机的，监督位 应根据信息位按监督关系来确定，即监督位应使上面的 监督式为零。,即要求：,或写成监督码元在左边的形式：,信息位 一旦确定后，可直接按上式计算出监督位。（见樊书P289 图9-5）,接收端收到每个码字（码组）后，先计算出偶
6、监督关系式， 再按表9-4（樊书P288）判断错码情况。,如果 不全零，可判出在哪一位出错。,汉明码最小距 =3（见樊书表9-5），能够纠正单个错误。,三：线性分组码的一般原理,(1) 监督阵和生成矩阵 将上述汉明码（7，4）的监督关系式改写成：（见樊书P289，9.4-8）,上式中 简写为+，表示模2相加。,写成矩阵形式：,=,（模2）,简记 （H 监督矩阵） 监督矩阵H为 （ 行， 列）阶矩阵，H阵的每行之间彼此线性无关。 也可将H矩阵分为两部分：,H =,其中P为rk阶矩阵， 为rr阶单位矩阵。,若把监督关系式改写补充：,可改写为矩阵形式：,Q=PT,G称为生成矩阵，如果找到G，则纠错编
7、码方法就确定了，可由信息组和G可产生全部码字。, 也称典型生成矩阵，其中,为kk方阵 ，,由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。,(2) 校正子S（伴随式）,设发送码组设接收码组,则发送码组与接收码组之差定义为E（也称错误图样）：,（模2）,其中,因此，若 ,表示该位接收码元无错；若 ，则表示有错。,也可改写为,例如：发送A = 1 0 0 0 1 1 1 错误E = 0 0 0 0 1 0 0 接收B = 1 0 0 0 0 1 1,令,令,称S为校正子，也称伴随式。,零矩阵,由此可见，校正子S与错误图样E之间有确定的线性变换关系，若S和E之间一一对应，
8、则S将能代表错码的位置。,接收端译码器的任务就是从校正子S确定错误图样，然后，从接收到的码字中减去错误图样E。,上述（7，4）汉明码的校正子S与错误图样E的对应关系见下表： 表中，校正子S的 种形式分别代表A码无错和 -1种有错的图样。,e6 e5 e4 e3 e2 e1 e0,9.5 循环码,一、特点： 编码和解码设备都不太复杂，且检（纠）错能力较强。具有线性和循环性，即循环码中任一码组循环一位（将最右端的码元移至左端，或反之）以后，仍为该码中的一个码组。,将各码元当作是一个多项式的系数，樊书P293页，表96中的任一码组可表示为,这种多项式中，x仅是码元位置的标记。这种多项式有时称为码多项
9、式。,二、编码原理,(1)、码多项式的按模运算,若一整数m可以表示为,式中Q整数。则在模n运算下，有,在循环码中，若T(x)是一个长为n的许用码组，则,在按模,运算下，也是一个许用码组，即若,则,也是一个许用码组。 例如,(2)、循环码的生成矩阵G,在一个 循环码中有 个不同码组。若用 表示其中前（k1）位皆为0的码组，则 都是码组，而且这k个码组是线性无关的。 因此他们可以用来构成此循环码的生成 矩阵G 。 Tab. 9-6 Page 293, k=3, g(x)-0010111 x 43210,循环码的生成矩阵G可以写成,上式可作线性变换成 的形式。,循环码的生成多项式应该是 的一个 次因
10、式。例如， 可以分解为,为了求（7，3）循环码的生成多项式g(x)，要从上式中找一个（n-k)=4次的因子。这样的因子有两个，即,以上两式都可作为生成多项式用。不过，选用的生成多项式不同，产生出的循环码码组也就不同。,(3)、寻找生成多项式,三、循环码编、解码方法,（1）编码步骤 (代数方法）1、用 乘 。这一运算实际上是把信息码附加上（ ）个0。2、用 除 ，得到商Q（x）和余式 。3、编出的码组 为 (2) T=m G (matrix-operation),（2）解码步骤1、用生成多项式 除接收码组 得出余式 ；2、按余式 用查表的方法或通过某种运算得 到错误图样 就可以确定错码的位置；3
11、、从 中减去 ，变得到已纠正错误的原发送码组 。,9.6 卷积码,一.卷积码的结构图,由图可知，（2，1，2）卷积码的编码规则为,输出码字为,二. 卷积码的生成多项式,则相应的系统冲击响应为,用生成多项式表示,三.编码率与约束长度,k输入，n输出,每时刻输出与过去(L-1)k个输入亦关,编码率=k/n=1/2,约束长度=L=7,L=5,四.状态图,D1,D2,五. 网格图 input=101+00output=1110001011,Viterbi Decoding;output=101HARD:input=1111001011,00,10,01,11,10,11,1 1,10,00,11,1 1,0 0,1 0,1 1,00,0,2,01,1,1,1,11,3,10,2,01,2,00,4,6,1,4,11,4,3,01,3,2,11,00,10,01,3,1,10,3,
