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1、专题课堂,(,二,),全等三角形判定的综合应用,第十二章,全等三角形,1,一、全等三角形判定方法的巧用,类型：,(1),已知两边对应相等,，,寻找第三边或夹角对应相等；,(2),已知一边一角对应相等,，,寻找另一角或夹这一角的另一边对应相,等；,(3),已知两角对应相等,，,寻找任一边对应相等；,(4),在直角三角形中,，,已知一条直角边,(,斜边,),对应相等,，,寻找斜边,(,另,一条直角边,),对应相等,2,【例,1,】如图,，,四边形,ABCD,的对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，,1,2,，,3,4.,求证：,(1),ABC,ADC,；,(2)BO,DO.,分析：,(1),已知
2、,1,2,，,3,4,，,寻找公共边,AC,，,利用,ASA,可,证明；,(2),由,(1),可得,AB,AD,，,利用,SAS,证,ABO,ADO,可得,证明：,(,1,),1,2,，,AC,AC,，,3,4,，,ABC,ADC,(,ASA,),(,2,),ABC,ADC,，,AB,AD.,又,1,2,，,AO,AO,，,ABO,ADO,(,SAS,),，,BO,DO,3,【对应训练】,1,如图,，,在四边形,ABCD,中,，,BAD,BCD,90,，,BC,DC,，,延长,AD,到,E,点,，,使,DE,AB.,(1),求证：,ABC,EDC,；,(2),求证：,ABC,EDC.,证明：,
3、(,1,),BAD,BCD,90,，,ABC,ADC,180,，,又,ADC,CDE,180,，,ABC,EDC,(,2,),在,ABC,与,CDE,中,，,?,?,?,?,?,BC,CD,，,B,EDC,，,AB,DE,，,ABC,EDC,(,SAS,),4,2,如图,，,A,，,F,，,E,，,B,四点共线,，,AC,CE,，,BD,DF,，,AE,BF,，,AC,BD.,求证：,ACF,BDE.,证明：,AC,CE,，,BD,DF,，,ACE,BDF,90,.,在,Rt,ACE,和,Rt,BDF,中,，,?,?,?,?,?,AE,BF,，,AC,BD,，,Rt,ACE,Rt,BDF,(,
4、HL,),，,A,B.,AE,BF,，,AE,EF,BF,EF,，,即,AF,BE.,在,ACF,和,BDE,中,，,?,?,?,?,?,AF,BE,，,A,B,，,AC,BD,，,ACF,BDE,(,SAS,),5,3,如图,，,在,ABC,与,DCB,中,，,AC,与,BD,交于点,E,，,且,BAC,CDB,，,ACB,DBC,，,分别延长,BA,与,CD,交于点,F.,求证：,BF,CF.,证明：在,ABC,和,DCB,中,，,?,?,?,?,?,BAC,CDB,，,ACB,DBC,，,BC,CB,，,ABC,DCB,(,AAS,),，,AC,DB.,又,BAC,CDB,，,FAC,F
5、DB.,在,FAC,和,FDB,中,，,?,?,?,?,?,F,F,，,FAC,FDB,，,AC,DB,，,FAC,FDB,(,AAS,),，,CF,BF,6,二、构造三角形证全等的常用方法,类型：,(1),倍长中线法：延长中线至一倍构造全等三角形,，,将有关的线段,转化到一个三角形中去证明；,(2),截长补短法：线段的和差问题常采用截长或补短法构造全等三角形,，,将转移的边、角和已知边、角有机地结合在一起；,(3),补全图形法：此法可通过图形的平移、旋转或折叠实现；,(4),作平行线构造三角形：可以将角进行转移,，,进而构造全等三角形；,(5),根据角平分线构造全等三角形：已知角平分线,，,
6、常直接利用角或边相,等的关系构造三角形,，,也常过角平分线上的点向两边引垂线构造直角三,角形而巧妙地解决问题,7,【例,2,】如图,，,在,ABC,中,，,ABC,60,，,AD,，,CE,分别平分,BAC,，,ACB,，,求证：,AC,AE,CD.,分析：,在,AC,上截取,AF,AE,，,连接,OF,，,由,SAS,证,AEO,AFO,，,得,EOA,FOA,，,从而得到,DOC,FOC,60,，,再由,ASA,证,COD,COF,，,得,CD,CF,，,从而得到结论,8,证明：在,AC,上取,AF,AE,，,连接,OF,.,AD,平分,BAC,，,EAO,FAO,，,在,AEO,和,AF
7、O,中,，,AE,AF,，,EAO,FAO,，,AO,AO,，,AEO,AFO,(,SAS,),，,AOE,AOF,.,AD,，,CE,分别平分,BAC,，,ACB,，,ECA,DAC,1,2,ACB,1,2,BAC,1,2,(,ACB,BAC,),1,2,(,180,B,),60,，,则,AOC,180,ECA,DAC,120,，,AOC,DOE,120,，,AOE,COD,AOF,60,，,则,COF,60,，,COD,COF,.,在,FOC,与,DOC,中,，,COF,COD,，,CO,CO,，,FCO,DCO,，,FOC,DOC,(,ASA,),，,DC,FC.,AC,AF,FC,，,
8、AC,AE,CD,9,【对应训练】,4,如图,，,在,ABC,中,，,AD,是中线,，,已知,AB,5,，,AC,3,，,求中线,AD,的取值范围,解：延长,AD,至,E,，,使,DE,AD,，,连接,CE.,AD,是,ABC,的中线,，,BD,CD,，,在,ABD,和,ECD,中,，,?,?,?,?,?,AD,ED,，,ADB,EDC,，,BD,CD,，,ABD,ECD,(,SAS,),，,CE,AB,5.,CE,ACAECE,AC,，,2AE8,，,1AD4,10,5,如图,，,在,ABC,中,，,BE,是,ABC,的平分线,，,AD,BE,，,垂足为,D.,求证：,2,1,C.,证明：,
9、延长,AD,交,BC,于点,F,(,相当于将,AB,边向下翻折,，,与,BC,边重合,，,A,点落在,F,点处,，,折痕为,BE,),BE,平分,ABC,，,ABE,CBE.,BD,AD,，,ADB,BDF,90,.,在,ABD,和,FBD,中,，,?,?,?,?,?,ABD,FBD,，,BD,BD,，,ADB,FDB,90,，,ABD,FBD,(,ASA,),，,2,DFB.,又,DFB,1,C,，,2,1,C,11,6,如图,，,已知,AOB,90,，,OM,是,AOB,的平分线,，,将三角尺的直,角顶点,P,在射线,OM,上滑动,，,两直角边分别与,OA,，,OB,交于点,C,，,D,，
10、,证,明：,PC,PD.,证明：,过点,P,作,PE,OA,于点,E,，,PF,OB,于点,F,，,PEC,PFD,90,.,OM,是,AOB,的平分线,，,PE,PF,.,AOB,90,，,CPD,90,，,PCE,PDO,360,90,90,180,，,而,PDO,PDF,180,，,PCE,PDF,.,在,PCE,和,PDF,中,，,?,?,?,?,?,PCE,PDF,，,PEC,PFD,，,PE,PF,，,PCE,PDF,(,AAS,),，,PC,PD,12,7,如图,，,在四边形,ABCD,中,，,AB,AD,，,B,D,180,，,E,，,F,分别是边,BC,，,CD,上的点,，,
11、且,EAF,1,2,BAD,，,求证：,EF,BE,FD.,证明：将,ADF,顺时针旋转得到,ABG,，,使得,AD,与,AB,重合,，,则,ADF,ABG,，,FAG,BAD,，,AF,AG,，,DF,GB,，,ABG,D,，,ABE,D,180,，,ABG,ABE,180,，,即,G,，,B,，,E,共线,EAF,1,2,BAD,1,2,FAG,，,EAF,EAG,，,在,EAG,和,EAF,中,，,?,?,?,?,?,AG,AF,，,EAG,EAF,，,AE,AE,，,EAG,EAF,(,SAS,),，,GE,EF,，,GE,GB,BE,DF,BE,，,EF,BE,FD,13,8,如图,
12、，,在,Rt,ABC,中,，,ACB,90,，,AC,BC,，,点,D,为,BC,的中点,，,CE,AD,于点,E,，,其延长线交,AB,于点,F,，,连接,DF.,求证：,ADC,BDF.,证明：过点,B,作,BG,AC,交,CF,的延长线于点,G,，,G,ACE.,AC,BC,，,CE,AD,，,ACE,DCE,ADC,DCE,90,，,BG,BC,，,ACE,ADC,，,G,ADC.,又,AC,CB,，,ACD,CBG,90,，,ADC,CGB,(,AAS,),，,BG,CD,BD.,在等腰,直角,ABC,中,，,CAB,ABC,45,，,BG,AC,，,GBF,CAB,，,GBF,DBF,，,又,BF,BF,，,GBF,DBF,(,SAS,),，,G,BDF,，,ADC,BDF,14,
