第3章离散傅里叶变换（DFT）课件.ppt

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1、3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质3.3 频率域采样3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),第三章 学习目标,理解Fourier变换的几种形式；理解离散傅里叶变换及性质，掌握循环移位、循环共轭对称性，掌握循环卷积、线性卷积及二者之间的关系；掌握频域采样理论；理解频谱分析过程。,连续=非周期离散=周期,四种傅里叶变换形式的归纳,DFT即DFS，只不过时、频域各取一个主值而已,3.1 离散傅里叶变换的定义,一. DFT的定义1. 周期延拓（以N为周期）,用(n)N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数”， 或称“n对N取模值”。 令,

2、0n1N-1, m为整数,则n1为n对N的余数。,例如: 是周期为N=8的序列，则有：,2. 取主值,3. DFT定义式,时、频域各取一个主值区间,DFS,DFT,例：x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 解：设变换区间N=8， 则,设变换区间N=16， 则,思考： 其4点的DFT结果？,X(ejw)=DTFTR4(n),讨论：N为DFT变换区间长度，即周期延拓的周期、频域的采样点数；同一序列，N不同，DFT不同；通过后补零使N增大，谱线变密高密度谱,二. DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：,比较上面二式可得关系式,表明 是Z平面单位圆上幅

3、角为 的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。 DFT与序列傅里叶变换的关系为,DFT的物理意义X(k)可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采样，其采样间隔为N=2/N。,DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系,第一采样点在正实轴上,三. DFT的隐含周期性 DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于WNkn的周期性， 使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期均为N。 对任意整数m，总有,均为整数,已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFTx(n)，令 ，试求Y(k)

4、=DFTy(n)与X(k)之间的关系。,例题：,解：,DFT与DFS的关系：有限长度序列的DFT正好是其周期延拓序列的DFS级数系数的主值序列！,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,一. 线性性质x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、 b为常数， 即NmaxN1, N2， 则y(n)的N点DFT为： （补零问题！） Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,已知x(n)是长度为N的有限长度序列，其N点DFT为X(k)=DFTx(n)，在

5、序列前部补N个0值，得到序列试求Y(k)=DFTy(n)与X(k)之间的关系。,思考题：,二. 循环移位 1. 定义 一个长度为N的有限长序列x(n)的循环移位定义为,y(n)=x(n+m)NRN(n) ：仍为长度为N的序列！,循环移位过程示意图,移出主值区间的序列值又依次从另一侧移入主值区间,1,2,3,4,5,n=0,N=6,左移顺时针转右移逆时针转,2. 时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)循环移位，即,则循环移位后的DFT为,证：利用周期序列的移位性质加以证明,可直接按IDFTY(k)证明,再利用DFS和DFT关系,这表明，有限长序列的循环移位在离散频域

6、中引入一个和频率成正比的线性相移 ，而对频谱的幅度没有影响幅度谱的平移不变性。,已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFTx(n)，在序列前部补N个0值，得到序列试求Y(k)=DFTy(n)与X(k)之间的关系。,思考题：,3. 频域循环移位定理调制特性 对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的循环移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：,这就是调制特性时域序列的调制等效于频域的循环移位。,序列反转,序列共轭,序列共轭反转,序列反转,四. 循环卷积 1、时域循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2， N=

7、maxN1,N2。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 若Y(k)=X1(k)X2(k)，求y(n)=IDFTY(k) ？,循环卷积结果仍为有限长序列！注意：循环卷积的长度！,计算步骤：将x2(m)周期化，形成x2(m)N；再反转形成x2(-m)N，取主值序列则得到x2(-m)NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转；对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成 x2(n-m)NRN(m)；当n=0,1,2,N-1时，分别将x1(m)与x2(n-m)NRN(m)相乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。,n

8、,0,N-1,n,两个长度小于等于N的序列的N点循环卷积长度仍为N，与线性卷积不同,2、频域循环卷积定理,x1(n)，x2(n)皆为N点有限长序列，y(n)的N点DFT为,时域序列相乘，乘积的DFT等于各个DFT的循环卷积再乘以1/N。,N,),(,),(,1,),(,),(,),(,1,),(,),(,),(,1,),(,),(,2,1,1,1,0,2,2,1,0,1,k,X,k,X,N,k,R,l,k,X,l,X,N,k,R,l,k,X,l,X,N,n,y,DFT,k,Y,N,N,N,l,N,N,N,l,=,-,=,-,=,=,-,=,-,=,证明：对Y(k)两边取 IDFT即可！,例题：

9、,4 3 2 1,2 8 6 4 6 3 12 912 8 4 16,不进位乘法！,思考：若两序列作N=7点循环卷积，结果如何？,求 的DFT的反变换，其中X(k)是序列 的5点DFT。,思考题：,1、有限长共轭对称与共轭反对称 设有限长序列x(n)的长度为N点，则它的有限长共轭对称分量xep(n)和有限长共轭反对称分量xop(n)分别被重新定义为:,三. 有限长共轭对称性,N=8,xep(n),x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1,x *(N-n)=xep *(N-n)+xop *(N-n) = xep(n)-xop(n) 0nN-1,复序列对称性分析,序列,DFT,xep(n)

10、,xop(n),复序列对称性分析,序列,DFT,实序列对称性分析,序列,DFT,为零,为零,实序列的频谱具有有限长共轭对称性,实偶序列对称性分析,序列,为零,为零,DFT：,实偶序列的频谱具有实偶对称性,应用举例：,补充作业：,设实序列x(n)，N=14，其14点DFT为X(k)，已知前8点值为：X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10试确定1）X(k)在其他频率点的值；2）不通过计算IDFTX(k)，确定下列值： x(0) x(7),五. DFT形式下的帕塞伐定理,证：,令x(n)

11、=y(n),DFT性质表(序列长皆为点),X(0), X(1), X(2), , X(N-1),3.3 频率域采样,是否任意一个频率特性（例如，理想低通特性）都能用频域采样的办法去逼近呢？其限制条件是什么？频域采样后会带来什么样的误差？在什么条件下才能消除误差？,一、频域采样,一个任意的绝对可和的非周期序列x(n)，其Z变换为：,对X(z)在单位圆上进行N点等间隔采样：,分析：,由 得到的周期序列 是原非周期序列x(n)的周期延拓，其时域周期为频域采样点数N。时域采样造成频域的周期延拓，频域采样同样会造成时域的周期延拓。,x(n)为无限长序列时域周期延拓必会混叠失真，产生误差；当n增加时信号衰

12、减得越快，或频域采样越密（即采样点数N越大），则误差越小，即xN(n)越接近x(n)；x(n)为有限长序列，长度为M：NM，不混叠，可无失真恢复；NM，混叠，不可无失真恢复。,讨论：,N=M=5,不混叠,N=8M，不混叠,N=3M，混叠,其值为1,x(n)=xN(n),内插函数的零极点,零极点对消,恢复时，本采样点值仅由自己决定，不受其他采样点值影响。,用频域采样X(k)表示X(ejw)的内插公式,内插函数：,内插函数幅度特性与相位特性(N=5),|1(w-2/N)|,当变量=0 时， ()=1；当 （i=1, 2, , N-1)时， ()=0。因而可知， 满足以下关系：,k=0, 1, ,

13、N-1,也就是说，函数 在本采样点 ， 而在其他采样点 上，函数 。整个X(ej)就是由N个 函数分别乘上X(k)后求和。 所以很明显，在每个采样点上X(ej)就精确地等于X(k)（因为其他点的插值函数在这一点上的值为零，没有影响）即,各采样点之间的X(ej)值由各采样点的加权插值函数在所求点上的值的叠加得到的。 频率采样理论为FIR滤波器的结构设计，以及FIR滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。 ,对时域序列x(n)，X(z)是按z的幂级数（即罗朗级数）展开的， x(n)为罗朗级数的系数；对频域序列X(k)，X(z)是按函数集展开的， X(k)为展开系数；,对时域序列x(n)，频响X

14、(ejw) 展成负正弦级数（傅立叶级数）， x(n)为负正弦级数的谐波系数；对频域序列X(k)，频响X(ejw) 展成内插函数的级数， X(k)为展开系数；,3.4 DFT的应用举例,DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。 对时域连续信号的频谱进行分析计算信号各个频率分量的幅值、相位和功率（功率谱具有突出主频率特性，在分析带有噪声干扰的信号时特别有用）。,线性谱估计（传统谱估计）数据直接FFT求谱，对谱的模取平方运算得功率谱（周期图法），或对数据自相关函数求谱即为功率谱（自相关法）

15、。对被处理数据以外数据作了不合理假设；假设以被处理数据长度为一周期，以外为其周期延拓或全为零，准确程度受数据截取长度影响；数据较短时，估计出来的值方差大，分辨率低，甚至面目全非。,为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。,用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。,周期延拓信号与真实信号是不同的：,能量泄漏误差,信号的时域波形分析,超门限报警,信号的频域分析,信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。,信号频谱X(f)代表了信号在不

16、同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,时域分析与频域分析的关系,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,大型空气压缩机传动装置故障诊断,故障诊断通过振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据转速和传动链，找出故障点。,xa(t),Xa(j),x(n),x(n)d(n),xN(n)N,xN(n),Xa(ejw),XN(k)N,XN(k),一、用DFT对连续信号作谱分析的基本步骤,信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换,T0=NT=N/fs,F0=1/T0=1/N

17、T=fs/N,1.,频域抽样：一个周期分N段，采样间隔F0时域周期延拓：周期为T0=1/F0 0=2F0 频域采样间隔,用DFT计算理想低通滤波器频响曲线,截取一段T0=8sfs=4Hz,T=0.25s,N=T0/T=32,F0=1/NT=0.125Hz,H(k)=TDFTh(n) k=0,1,.31h(n)=ha(nT)R32(n),2.,低频处逼近好，高频处因混叠失真而逼近不好,二、谱分析误差及参数选择,1、混叠失真抽样造成的误差时域抽样：fs2fh， fs限制谱分析范围频域抽样：F0=1/T0，F0为频谱分辨率,2、,截短效应（降低频谱分辨率 混叠失真）,周期延拓后的信号与真实信号是不同

18、的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。,将截断信号谱 XT()与原始信号谱X()相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱. 原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。,周期延拓信号与真实信号是不同的：,能量泄漏误差,克服方法：增加窗函数的长度；用缓慢截短方式，不加矩形窗。改用旁瓣能量较小的余弦窗、三角形窗、升余弦窗等。,克服方法：信号整周期截断,常用窗函数,3、,为提高效率,通常采用FFT算法计算信号频谱，设数据点数为N，采样频率为Fs。则计算得到的离散频率点为:,Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i =

19、0，1，2，.，N/2,如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。,栅栏效应误差实验：,能量泄漏与栅栏效应的关系,频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。,例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。,实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。,从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。,能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄

20、漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。,为使频率分辨率提高一倍， F0=5 Hz， 要求,只有通过增加信号的有效持续时间T0来增加采样点数N才能得到高分辨率谱；通过后补零使N增加得到高密度谱。,高分辨率谱和高密度谱差异比较高密度谱是在原有序列后插零；高分辨谱是增加采样点；高密度谱呈许多谱线型,而且当补充0越多, 谱线也越密集； 高分辨率谱则在取样点达到一定程度后， 谱线一定了，也没有那种密集度。,例：,x(n)为周期序列，周期N=14所以抽样点数至少为14点。,或者因为频率分量分别为500、600、700HZ；得F0=100HZ最大公约数N=fs/

21、F0=1400/100=14所以最少记录点数N=14。,T0=NT=512*(1/3000)=0.17,利用DFT可将时域难以辨识的小信号在频域轻易辨别出来,K,f,对一个连续时间信号xa(t)采样1秒得到一个4096个采样点的序列：（1）若采样后没有发生频谱混叠，xa(t)的最高截止频率是多少？（2）若计算采样信号的4096点DFT，频率采样值X(k)两点之间的模拟频率间隔是多少Hz？,思考题,单位圆与非单位圆采样,线性卷积具有重要的物理意义（求解LTI系统输出），循环卷积不具有此物理意义；时域循环卷积在频域上相当于两序列的DFT的乘积，而计算DFT可以采用它的快速算法快速傅里叶变换（FFT

22、）， 因此循环卷积与线性卷积相比，计算速度可以大大加快；如果信号以及系统的单位脉冲响应都是有限长序列， 那么是否能用求解循环卷积来代替线性卷积运算而不失真呢？,3、有限长序列的线性卷积与循环卷积关系,设x1(n)是N1点的有限长序列（0nN1-1），x2(n)是N2点的有限长序列（0nN2-1）。,（1）线性卷积,y1(n)是N1+N2-1 点有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1。,（2）x1(n)与x2(n)的循环卷积。进行N点的循环卷积，讨论N取何值时，循环卷积才能代表线性卷积？ NmaxN1, N2,循环卷积正是周期卷积取主值序列,循环卷积等于线性卷积以循环卷积

23、点数N为周期的周期延拓序列的主值序列NN1+N2-1，循环卷积等于线性卷积；NN1+N2-1，线性卷积延拓发生混叠，两者部分相等（N1+N2-1-NnN-1），部分不等；,N1+N2-1,NN1+N2-1，不混叠yc(n)=yl(n),NN1+N2-1，混叠yc(n) yl(n),N1+N2-1-NnN-1,+,混叠+与线卷相等部分=发生混叠后循环卷积结果,N1=5,N2=4,N1 +N2 -1 =8,L=6,4、快速卷积用DFT计算线性卷积,DFT,DFT,yc(n),用DFT计算循环卷积,x1(n)*x2(n),用DFT计算线性卷积,补N-N1个零,补N-N2个零,x1(n) 0,1,2,

24、N1-1,.,N-1,x2(n) 0,1,2,N2-1,.,N-1,NN1+N2-1,用DFT计算线性卷积的运算量是多少？当计算线性卷积的两序列的长度相差很大的时候，用上述框图所示的方法直接计算线性卷积会产生什么问题？短序列补很多零，长序列需全部输入后才能计算存储容量大运算时间长，处理延时很大，难于实时处理怎么解决？块卷积,思考问题：,例 ：一个有限长序列为,（1） 计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。 （2） 若序列y(n)的DFT为,式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。,解 ：（1）,y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8),（2）X

25、(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于是x(n)循环移位m点。 本题中m=-2, x(n)向左循环移位了2点， 就有,（3）若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是,式中, X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT,求序列y(n)。,解：（3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的循环卷积。为了进行循环卷积，可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。 x(n)与w(n)的线性卷积为z(n)=x(n)*w(n)=1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2循环卷积为,在 0n9 求和中，仅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，对n=0, 1, 2, , 9求和，得到：,10点循环卷积为,y(n)=3, 3, 1, 1，1, 3, 3, 2, 2, 2,