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1、数学必修2 空间中两直线的位置关系,赵 金 才,复习引入,1、平面的表示方法,2、平面的画法,3、点线面之间的位置关系及图形文 字符号语言的转化,4、平面性质中的三个公理及其 符号语言,问题1:在平面几何中,两直线的位置关系如何?,讲授新课,问题2:没有公共点的直线一定平行吗?,问题3:没有公共点的两直线一定在同一平面内吗?,生活数学,地铁线条与柱子线条,水流线条与桥面线条,在正方体的面ABCD中,AB与AD相交,AB与CD平行.AB和CC的位置关系是平行还是相交还是两者都不是?,两者都不是,定义:不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.,空间两条直线的位置关系:,不同在任何一个平面内,
2、没有公共点。,同一平面内,有且只有一个公共点,同一平面内,没有公共点;,异面直线的画法:为了体现不共面的特点采用平面衬托法,两条异面直线指:,A. 空间中不相交的两条直线;B. 某平面内的一条直线和这平面外的直线;C. 分别在不同平面内的两条直线;D. 不在同一平面内的两条直线;E. 不同在任一平面内的两条直线;F. 分别在两个不同平面内的两条直线;H. 空间没有公共点的两条直线;I. 既不相交,又不平行的两条直线.,( E,I ),练习1,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习2 如图所示:正方体的棱所在的直线中,与直线A1B异面的有哪些?,练习3 下图是一个正方体的展开图,如果将它还
3、原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对?,三对,AB与CDAB与GHEF与GH,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答:不一定:它们可能异面,可能相交, 也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?,深化认识,异面直线的判定定理,连结平面内一点和平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,知识延伸,证明:,点,点,直线,直线 异面,如何判断两条直线是异面直线?,2.空间两平行直线,提出问题:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在空间中,是否有类似的规律?,公理4:平行于同一条直线的两
4、条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。,abcb,ac,符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,练习4:如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个是 .,例题示范,例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。,分析:,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E,F,G,H分别是各边中点,连结
5、BD,只需证:EH BD且EH BDFG BD且FG BD,例题示范,例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。,变式一: 在例2中,如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析: 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,3.等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考:如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?,3.等
6、角定理,定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。,3.等角定理,定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,夹角,在平面内两直线相交成四个角,不大于90的角成为夹角。,夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度,异面直线通过异面直线所称的角来刻画。,异面直线所成的角,已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线a/a, b/b,我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。,为简便,O点常取在某一直线上,想一想:a与b所成角
7、的大小与点O的位置有关吗?,如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线相互垂直,记作:,思想方法:,(1)在长方体 ABCD-ABCD中,有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线?,有,如AB和CC,AB和DD。,垂直,(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?,(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?,如图,若c,则c垂直于内所有直线,而内任意两条直线的关系可能是平行,也可能是相交。,不一定,例题示范,例2、如图,已知正方体ABCDABCD中。(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线?(2)直线BA和CC的夹角是多少?(3)哪些棱所在的直
8、线与直线AA垂直?,解:(1)由异面直线的判定方法可知,与直线,成异面直线的有直线,,,例题示范,例2、如图,已知正方体ABCDABCD中。(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线?(2)直线BA和CC的夹角是多少?(3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直?,解:(2)由 可知, 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 。,(3) 直线,与直线 都垂直.,练习反馈:,1. 判断:(1)平行于同一直线的两条直线平行.( )(2)垂直于同一直线的两条直线平行.( )(3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.( )(4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.( )(5
9、)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等( )(6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(),专题 异面直线所成角的求法,异面直线所成的角的求法:,典例剖析,例1:如图正方体AC1, 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小,分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解,解: CC1/BB1 AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 在ABB1中,AB1和BB1所成的角是450 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。,异面直线所成的角的求法:
10、,典例剖析,例1:如图正方体AC1, 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小,分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解,在四边形A1B1CD中, A1B1 CD A1D/B1C AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 在AB1C中,AB1和CC1所成的角是600 异面直线AB1和A1D所成的角是600 。,正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点,如图画出下面各题中指定的异面直线,P,异面直线所成的角是锐角或直角,当三角形内角是钝角时,表示异面直线所成的角是它的补角.,以第三幅图为例
11、,设正方体的棱长为1,求异面直线的夹角,F,E1,E,F1,如图,补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、长方体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,练习 如图在正方体中,E,F分别为 的中点,求AE,BF所成角的余弦值。,例4.如图,三棱锥ABCD中,AB=CD且AB与CD所成角为30,E、F分别为BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小。,E,F,求异面直线所成角的步骤: 作: 证: 求:,例5、如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1 AB,求异面直线AB1与BD所成角的余弦值,如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD,BC上的点,且已知AB=CD=3, ,求异面直线AB和CD所成的角.,