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1、数学必修2 空间中两直线的位置关系,赵 金 才,复习引入,1、平面的表示方法,2、平面的画法,3、点线面之间的位置关系及图形文 字符号语言的转化,4、平面性质中的三个公理及其 符号语言,问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？,讲授新课,问题2：没有公共点的直线一定平行吗？,问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？,生活数学,地铁线条与柱子线条,水流线条与桥面线条,在正方体的面ABCD中，AB与AD相交，AB与CD平行.AB和CC的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？,两者都不是,定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.,空间两条直线的位置关系：,不同在任何一个平面内，
2、没有公共点。,同一平面内，有且只有一个公共点,同一平面内，没有公共点；,异面直线的画法：为了体现不共面的特点采用平面衬托法,两条异面直线指：,A. 空间中不相交的两条直线；B. 某平面内的一条直线和这平面外的直线；C. 分别在不同平面内的两条直线；D. 不在同一平面内的两条直线；E. 不同在任一平面内的两条直线；F. 分别在两个不同平面内的两条直线；H. 空间没有公共点的两条直线；I. 既不相交，又不平行的两条直线.,( E,I ),练习1,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习2 如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？,练习3 下图是一个正方体的展开图，如果将它还
3、原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？,三对,AB与CDAB与GHEF与GH,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交， 也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？,深化认识,异面直线的判定定理,连结平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,知识延伸,证明：,点,点,直线,直线 异面,如何判断两条直线是异面直线？,2.空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,公理4：平行于同一条直线的两
4、条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。,abcb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,练习4：如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个是 .,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结
5、BD,只需证：EH BD且EH BDFG BD且FG BD,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,变式一： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析： 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,3.等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3.等
6、角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,夹角,在平面内两直线相交成四个角，不大于90的角成为夹角。,夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画。,异面直线所成的角,已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线a/a, b/b，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。,为简便，O点常取在某一直线上,想一想:a与b所成角
7、的大小与点O的位置有关吗?,如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直,记作：,思想方法：,（1）在长方体 ABCD-ABCD中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,有，如AB和CC，AB和DD。,垂直,（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？,（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,如图，若c，则c垂直于内所有直线，而内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。,不一定,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD中。（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直
8、线与直线AA垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD中。（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？,解：（2）由 可知， 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 。,(3) 直线,与直线 都垂直.,练习反馈：,1. 判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（ ）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（ ）（5
9、）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）,专题 异面直线所成角的求法,异面直线所成的角的求法:,典例剖析,例1：如图正方体AC1， 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小,分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解,解: CC1/BB1 AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 在ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。,异面直线所成的角的求法:
10、,典例剖析,例1：如图正方体AC1， 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小,分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解,在四边形A1B1CD中， A1B1 CD A1D/B1C AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 在AB1C中，AB1和CC1所成的角是600 异面直线AB1和A1D所成的角是600 。,正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点,如图画出下面各题中指定的异面直线,P,异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线所成的角是它的补角.,以第三幅图为例
11、，设正方体的棱长为1，求异面直线的夹角,F,E1,E,F1,如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,练习 如图在正方体中，E，F分别为 的中点，求AE，BF所成角的余弦值。,例4.如图,三棱锥ABCD中，AB=CD且AB与CD所成角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。,E,F,求异面直线所成角的步骤： 作： 证： 求：,例5、如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1 AB，求异面直线AB1与BD所成角的余弦值,如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且已知AB=CD=3， ,求异面直线AB和CD所成的角.,
