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1、苏科版九年级上册数学全册教学课件,1,1.1 一元二次方程,正方形桌面的面积是2m2 ,问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？,设正方形桌面的边长是xm，可得：x22,【问题情境】,问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2.,问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？,设花圃的宽是xm，则花圃的长是（192x）m，可得：x(192x)24,【数学活动】,问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册,问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？你用
2、什么样的数学式子来描述它们之间的关系？,设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1x）万册，两年后为5（1x）2万册， 可得：5（1x）2 9.8,【数学活动】,如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m 设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？,x 2（x 1）2 25,【思考与探索】,方程 x22、x(192x)24、5（1 x ）2 9.8、x 2 （x 1 ）2 25有哪些共同的特征？,它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程,【尝试与交流】,任何一个关于x的一元二
3、次方程都可以化成 ax2bxc0 （a、b、c是常数，a0）的一般形式. 其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数,它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程,为什么？,【概念】,(1).3x(x2)112(3x5)；(2).(x1)(x3)(2x-3).,例1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：,【思维点拨】确定二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项时应包括它们前面的符号.,【新知运用】,【变式训练】m为何值时，上述方程是一元一次方程.,【思维点拨】本题的关
4、键是注意m-20这一隐含条件.,例3.根据题意，列出方程：(1).剪出一张面积是240的长方形彩纸，使它的长比宽多8，这张彩纸的长是多少？(2).某厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，平均每年增长的百分率是多少？,解：(1).设彩纸的长是x，据意得：,x(x-8)=240,(2).设平均每年增长的百分率是x，据意得：,14400(1+x)2=16900,1.下列方程中，哪些是一元二次方程？,【巩固练习】,2.把下列方程化成一元二次方程的一般式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,(1).若px2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则(),C,3.
5、填空与选择：,A.P为任意实数 B.p=0C.p0 D.p=0或1,(2).若方程(m-2)xm2-2+mx=7是关于x的一元二次方程，则m= .,-2,解：设圆的半径为x厘米.,4.一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1厘米的正方形孔.已知圆的面积是正方形面积的 倍，试确定这个圆的半径.,据意得： x2=,解得：x=3,x0，x=3,答：圆的半径为3厘米.,5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+m2+1=0的常数项为2，则m= .,6.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+mx+m2-4=0的解是0，则m= .,-1,-2, 实际问题 一元二次方程, 一元二次方程的概念,【小结】,1.
6、2一元二次方程的解法（1）,【问题情境】,如何解方程 x22 呢？,根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x .,此一元二次方程的根为 x1 ， x2= .,【概念】,解： x1 ，x2= .,像这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.,解方程x22,【例题精讲】,例1 解下列方程：（1）x240； （2）4x210 ,解：（1）移项，得 x24，,x是4的平方根，,x2,即 x12，x22,（2）移项，得4x21，,两边都除以4，得,x是 的平方根，,x,即x1 ，x2,x2,【例题精讲】,例2 解方程：（x1）2 2 .,分析：只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.,
7、解：x1是2的平方根，,x1，,首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .,1能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？,如果一个一元二次方程具有（xh）2k（h、k是常数，k0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.,2直接开平方法解方程的一般步骤是什么？,【总结反思】,【练习】,用直接开平方法解下列方程:(1)x2=64;(2)(x+2)2= 9;(3)3(x+5)2-12=0.,解:(1)x2=64,x= 64 .x1=8,x2=-8.(2)(x+2)2=9,x+2= 9 .x+2=3.x1=1,x2=-5.(3)3(x+5)
8、2-12=0,(x+5)2=4.x+5=2.x1=-3,x2=-7.,【小结】,1用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2感受转化的数学思想,（xh）2 k（h、k是常数，k0）,1.2一元二次方程的解法（2）,解一元二次方程：x25 ； (x3)25.,你用的是什么方法？ 这两个方程的解法有相似之处吗？,你会解方程x26x40 吗？,【问题情境】,怎样解方程x26x40 ？,比较：方程x26x40 与(x3)25,解方程x26x40 的关键是什么？,【数学活动1】,填空：(1) x22x (x )2；(2) x23x (x )2你发现了什么规律？,【数学活动2】,解方程x26x40 的步骤
9、是什么？,把一个一元二次方程变形为（xh）2 k (h、k为常数)的形式，当k 0时，运用直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.,【概念】,用配方法解下列方程:(1)x2+4x=-4;(2) x2+2x+1=0.,【例题精讲】,解:(1)配方,得x2+4x+22=-4+22,即(x+2)2=0.由此可得x1=x2=-2.(2)配方,得(x+1)2=0.所以x1=-x2=-1.,【数学实验室】,【练习】,1.解方程:x2-2x=4.,解:配方,得x2-2x+(-1)2=4+(-1)2,即(x-1)2=5.由此可得x-1= 5 .x1=1+ 5 ,x2=1- 5 .,2.用配
10、方法解下列方程: x2-4x-12=0.,解:移项,得x2-4x=12.配方,得x2-4x+(-2)2=12+(-2)2,即(x-2)2=16.由此可得x-2=4,即x-2=4,或x-2=-4.所以x1=6,x2=-2.,【小结】, 用配方法解一元二次方程；, 感受转化的数学思想,1.2一元二次方程的解法（3）,【问题情境】,用配方法解下列方程：,(1) x26x160；(2) x23x20,【例题精讲】,例1 解方程2x25x20.,解：两边都除以2，得,移项，得,配方，得,开方，得, ， ,【例题精讲】,例2 解方程3x24x10,解：两边都除以3，得,移项，得,配方，得,开方，得,【总结
11、反思】,用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：,（1）系数化为1（2）移项（3）配方（4）开方（5）求解（6）定根,【练习】,1.用配方法解下列方程:3x2-6x+2=0.,移项,得3x2-6x=-2.二次项系数化为1,得x2-2x=- 2 3 .配方,得x2-2x+(-1)2=- 2 3 +(-1)2,即(x-1)2= 1 3 .由此可得x-1= 3 3 .所以x1=1+ 3 3 ,x2=1- 3 3 .,2.用配方法解方程:4x2-12x-1=0.,解:移项,得4x2-12x=1.二次项系数化为1,得x2-3x= 1 4 .配方,得x2-3x+ 3 2 2 = 1 4 + 3
12、 2 2 . 3 2 2 = 10 4 ,由此可得x- 3 2 = 10 2 ,x1= 3+ 10 2 ,x2= 3 10 2 .,【小结】,2感受转化的数学思想,1怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？,1.2 一元二次方程的解法（4）,你会解关于x的方程ax2bxc0 (a、b、c是常数，a0)吗？,【问题情境】,用配方法解下列一元二次方程：,x22x 30,【思考与探索】,因为a0，所以方程两边都除以a，得,解：,移项，得,配方，得,即,【思考与探索】,即,a0，4a20，当b24ac0时，,【概念】,一般地，对于一元二次方程，如果那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，
13、利用这个公式，解一元二次方程的方法叫做公式法.,b24ac0，,【反思】,当时，方程有实数根吗？,【例题精讲】,用公式法解下列方程.(1)x2-3x+2=0;(2)2x2+7x=4;(3)x2-2 2 x+2=0.,解:(1)a=1,b=-3,c=2.=b2-4ac=(-3)2-412=10,x= (3) 1 21 = 31 2 ,即x1=2,x2=1.(2)移项,得2x2+7x-4=0.a=2,b=7,c=-4.=b2-4ac=72-42(-4)=810,x= 7 81 22 = 79 4 ,即x1= 1 2 ,x2=-4.(3)a=1,b=-2 2 ,c=2.=b2-4ac=(-2 2 )
14、2-412=0,x= 2 2 0 2 = 2 2 2 = 2 ,即x1=x2= 2 .,【练习】,1.判断正误：(1)方程x2+bx+c=0的两个实数根是-b 2 4 .(2)方程2x2-3x=1中,=(-3)2-42(-1)=17.2.对于方程x2-x=1,b2-4ac的值为()A.0B.5C.6D.-33.若b0,则关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.有两个实数根,1.(1)(2)2.B3.C,4.解方程:x2+4x-1=0.,解:a=1,b=4,c=-1.=b2-4ac=42-41(-1)=200,x=
15、2 4 2 = 4 20 21 =-2 5 ,即x1=-2+ 5 ,x2=-2- 5 .,【小结】,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,2求出 的值，,1把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.,4写出方程的解：,特别注意:当 时没有实数根,3代入求根公式：,1.2 一元二次方程的解法（5）,【回顾复习】,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,2求出b2 4ac 的值，,1把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的值.,4写出方程的解：x1、x2,特别注意：当 b2 4ac0 时没有实数根,3代入求根公式：,【例题精讲】,(1) x2x10； (2)； (3) 2x22x10,例 解下列方程
16、：,【总结反思】,当b24ac 0 时，方程没有实数根.,当b24ac 0时，方程有两个不相等的实数根；,当b24ac 0 时，方程有两个相等的实数根；,一元二次方程 根的情况：,根的判别式,【例题精讲】,1不解方程，判别下列方程根的情况,(1) x23x10；(2)2y23y40,2已知关于x的一元二次方程x22xk0有实数根，则k的取值范围是 ( )Ak1； Bk1；Ck1； Dk1,B,【练习】,1.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,k取何值时,这个方程:(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?,解:=-(4k+1)2-42(2k2-
17、1)=16k2+8k+1-16k2+8=8k+9.(1)由8k+90,得k- 9 8 .故当 k- 9 8 时,方程有两个不相等的实数根.(2)由8k+9=0,得k=- 9 8 .故当k=- 9 8 时,方程有两个相等的实数根.(3)由8k+90,得k- 9 8 .故当k- 9 8 时,方程没有实数根.,2.已知关于x的方程mx2-(2m+1)x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是.,解:由题意,得 0, 0. =-(2m+1)2-4mm0,4m+10,即m- 1 4 .m的取值范围是m- 1 4 且m0.,3.列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a
18、0B.a=0C.c0 D.c=0,解:一元二次方程有实数根,=(-4)2-4ac=16-4ac0,且a0,ac4,且a0.若a0,当a=1,c=5时,ac=54,选项A错误;a=0不符合一元二次方程的定义,选项B错误;若c0,当a=1,c=5时,ac=54,选项C错误;若c=0,则ac=04,选项D正确.,【小结】,1什么是一元二次方程根的判别式？,2一元二次方程根有几种情况？,1.2 一元二次方程的解法（6）,【问题情境】,如何解方程 x(x1)0,既可以用配方法解，也可以用公式法来解.,解： x(x 1)0，此时x和x 1两个因式中必有一个为0，即 x0或x 10， x10，x21,【概念
19、】,当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积时,就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程,这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法,【例题精讲】,用因式分解法解方程:(1)3x2=6x;(2)(x+5)2-25=0;(3)x2-2x-8=0.,解:(1)移项,得3x2-6x=0.因式分解,得3x(x-2)=0.3x=0,或x-2=0,即x1=0,x2=2.(2)因式分解,得(x+5+5)(x+5-5)=0,即(x+10)x=0.x+10=0,或x=0.x1=-10,x2=0.(3)因式分解,得(x-4)(x+2)=0.x-4=0,或x+2=0.x1=4,x2=-
20、2.,【例题精讲】,解方程:2x(x+1)=3(x+1).,解:移项,得2x(x+1)-3(x+1)=0.因式分解,得(x+1)(2x-3)=0,即x+1=0,或2x-3=0,所以x1=-1,x2= 3 2 .,【 观察与思考】,解方程 (x2)2 4（ x 2）.,解法1：原方程可变为（x2）24(x2) 0，,(x2)(x2)0,x20或x20,所以 x12, x22,解法2：原方程两边都除以（x2），得,x24,所以 x2,思考：哪种解法正确？你是怎样思考的？,【练习】,1.判断正误:(1)方程x2=4x的解是x=4.()(2)解方程x(x+2)=3x+6使用因式分解法较简单.()(3)
21、所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.()2.方程(x-1)(x+2)=0的两根分别为()A.x1=-1,x2=2 B.x1=1,x2=2C.x1=-1,x2=-2D.x1=1,x2=-2,1.(1)(2)(3)2.D,3.解方程:2(x-3)2=x2-9.,解:原方程可化为2(x-3)2=(x+3)(x-3).2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0.(x-3)2(x-3)-(x+3)=0.(x-3)(x-9)=0.x-3=0,或x-9=0.x1=3,x2=9.,4.解方程:4x2-16=0,解:因式分解,得(2x+4)(2x-4)=0,2x+4=0,或2x-4=0,x1=-2,x2=2.
22、,5.用多种方法解一元二次方程(y-2)2=(2y+5)2.,解:解法一(直接开平方法):开平方,得y-2=(2y+5),即y-2=2y+5,或y-2=-(2y+5).y1=-7,y2=-1.解法二(因式分解法):原方程可变形为(y-2)2-(2y+5)2=0.(y-2)-(2y+5)(y-2)+(2y+5)=0,即(-y-7)(3y+3)=0.-y-7=0,或3y+3=0.y1=-7,y2=-1.,解法三(公式法):原方程可变形为y2+8y+7=0,a=1,b=8,c=7,b2-4ac=82-417=360,y= 8 36 21 = 86 2 =-43.y1=-7,y2=-1.解法四(配方法
23、):原方程可变形为y2+8y+7=0.移项,得y2+8y=-7.配方,得y2+8y+42=-7+42,即(y+4)2=9.开平方,得y+4=3.y1=-7,y2=-1.,【小结】,用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：,（1）把一元二次方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的积；（3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解,1.3一元二次方程的根与系数的关系,【探索发现】,观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？,两根的积与常数项相等，两根的和与一次项系数互为相反数,【解释规律】,你能解释刚才的发现吗？,则,一元
24、二次方程 ax2bxc0 （a0），如果b24ac0，它的两个根分别是x1、x2,【总结发现】,如果一元二次方程ax2bxc0 （a0）， 的两个根分别x1、x2，那么：,，,【例题精讲】,已知方程3x2+(m+4)x+(m+1)=0的两根都是负数,则m的值是.,方程3x2+(m+4)x+(m+1)=0的两根都是负数, 1 + 2 = +4 3 0, 即 4, 1, m-1,已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个根,且 1 2 + 2 2 =15,求m的值,解:x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个根,x1+x2=-(2m
25、+1),x1x2=m2+1, 1 2 + 2 2 =15,即(x1+x2)2-2x1x2=15,-(2m+1)2-2(m2+1)=15,即m2+2m-8=0,m1=-4,m2=2.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0有两个根,=b2-4ac=(2m+1)2-4(m2+1)=4m-30,m 3 4 .m=2.,【尝试与交流】,你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？,【练习】,1.判断正误:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系使用的前提是b2-4ac0.()(2)一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是-3.(),(1)
26、(2),2.若x1,x2是方程x2-3x+2=0的两根,则x1+x2的值是()A.-2B.2C.3D.-3,C,3.若x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根,则x1x2的值是()A.4 B.3 C.-4 D.-3,B,4.已知方程x2-2(m2-1)x+3m=0的两个根互为相反数,则m的值是()A.1 B.-1 C.0D.1,B,【小结】,2应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；,3应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b24ac0 时，才能应用根与系数的关系.,1一元二次方程根与系数的关系是什么?,1.4 用一元二次方程解决
27、问题（1）,直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 问题2 解方程： (802x)(602x)1500.,问题1 解一元二次方程有哪些方法？,【导入新课】,解：(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式 x270 x8250 (2)确认a，b，c的值 a1，b70，c825(3)判断b24ac的值 b24ac7024182516000，(4)代入求根公式,得x155，x215,(802x)(602x)1500,问题3 列一元一次方程解应用题的步骤？ 审题， 找等量关系 列方程， 解方程， 答.那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？,列一元二次方程解几何图形问题,例1 如图所示，用一块长
28、80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子求截去的小正方形的边长.,【讲授新课】,(802x)(602x)1500,得x155，x215,解：设截去的小正方形的边长xcm.则长和宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm.,检验：当x155时 长为802x-30cm 宽为602x-50cm,想想，这符合题意吗？,不符合,舍去,当x215时 长为802x50cm 宽为602x30cm,符合题意.,所以只能取x15,答：截取的小正方形的边长是15cm,1.常见的几何图形有三角形、长方形、正方形、梯形、圆等，若是不规则几何图
29、形，则需要将图形分割或组成规则图形.,2.把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.,【归纳】,1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=0,B,【练习】,2. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540平方米，求
30、道路的宽.,解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得,（20-x)(32-x)=540，,整理得 x2-52x+100=0，,解得 x1=50(舍去），x2=2.,答：道路宽为2米.,1.用一元二次方程解决面积问题规律：（1）基本图形的面积公式.（2）解决面积问题的一般方法：将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各个部分面积间的关系，运用面积公式列出方程求解.,【小结】,1.4 用一元二次方程解决问题（2）,问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？,问题2 生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？,【导入新课】,列一元二次方程解
31、决增长率问题,问题1 思考，并填空：,1某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 60 000 kg，第二年的产量为_ kg，第三年的产量为_ kg,【讲授新课】,2某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是_2016年的产量将是_,a(1-x),问题2你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：,变化后的量 =,变化前的量,问题3两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1
32、 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？,乙种药品成本的年平均下降额为(6 000 - 3 600 ) 2 = 1 200（元）,甲种药品成本的年平均下降额为(5 000 - 3 000) 2 = 1 000（元），,解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x.,解方程，得x10.225， x21.775,根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%,一年后甲种药品成本为5000(1-x) 元，两年后甲种药品成本为 元,列方程得=3000,解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程
33、,得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.,两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况,解方程，得x10.225， x21.775,问题4 你能概括一下“百分率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？,【归纳】,列一元二次方程解决利润率问题,例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元
34、，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？,解析： (1)设每千克核桃降价x元，利用销售量每件利润2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售,1.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件设每件商品降价x元(x为整数)据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加_件，每件商品盈利_元(用含x的代数式表示)；(2)
35、在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？,2x,（50 x）,【练习】,解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2100元根据题意，得(50 x)(302x)2 100，化简，得x235x3000，解得x115，x220.答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2 100元,2.西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12 100元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度
36、，第四天该单位能收到多少捐款？,解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1x)212 100，解这个方程，得x10.110%，x22.1(不合题意，舍去)答：捐款的增长率为10%；(2)12 100(110%)13 310(元)答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13 310元,1.用一元二次方程解变化率问题规律：变化前数量(1平均变化率)变化次数变化后数量注意：有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验,2用一元二次方程解决利润问题基本关系：(1)利润售价_；(3)总利润_销量.,进价,单个利润,【小结
37、】,1.4 用一元二次方程解决问题（3）,问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？解决面积 问题应该注意哪些？,问题2 怎样用一元二次方程解决百分率问题？,【导入新课】,列一元二次方程解决其他问题,问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为_。,x+2，x+4,问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n， 其余的为_ 。,n+2，n+1，n-1，n-2,问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b， 则这个两位是 。,10a+b,问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z， 表示为 。,100 x+10y+z,【讲授新课】,例：两个连续奇数的积为63，求这两个数.,解：设两个奇数为x和
38、x+2,x(x+2)=63,x1=-9，x2=7,x+2=-7，x+2=9,答：这两个数为7、9，或者-7、-9,化简得：x2+2x-63=0,1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.,解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，,(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587,x-1 = 13x+1= 15,x-1= -15x+1= -13,答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。,3x2-588=0,x1=14，x2=-14,【练习】,2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求
39、原数.,解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原数表示为10(5-x)+x,对调后新数表示为10 x+(5-x), 根据题意列方程得,10(5-x)+x 10 x+(5-x)=736.,化简整理得,x2-5x+6=0，,解得,x1=3，x2=2.,所以这个两位数是32或23.,3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 21次，求参加聚会的人数.,解：设参加聚会的人数有x人,解得：x1=7，x2=-6(舍去),答：参加聚会的人数为7人.,列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答这里要特别注意在列一元二次方程解应用题时，由于所
40、得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求,【小结】,2.1 圆（1）,问题 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.,【导入新课】,r,O,A,圆的旋转定义,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆”.,有关概念,固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示,问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？,【讲授新课】,一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小,确定一个圆的要素,我国射击运动员在里约奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心
41、相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？,问题 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？,.,C,.,.,.,. B,.,.A,.,点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.,问题 设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？,点P在O内,点P在O上,点P在O外,d,d,d,r,p,d,d,P,r,d,r,r,=,r,反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？,1.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在 ；点B在
42、；点C在 .,圆内,圆上,圆外,2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）A.在大圆内 B.在小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外,D,练一练,点和圆的位置关系,数形结合：,位置关系,数量关系,1.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作A，则点B在A ；点C在A ；点D在A .,上,外,上,2.O的半径r为5，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与O的位置关系为 （ ）A.在O内 B.在O上 C.在O外 D.在O上或O外,B,【练习】,2cm,3cm,4.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.,O,点与圆的
43、位置关系,位置关系数量化,【小结】,2.1 圆（2）,一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小,同心圆,等圆,半径相同，圆心不同,圆心相同，半径不同,想一想：1.以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？,无数个圆,无数个圆,确定一个圆的要素,2.如何画一个确定的圆？,【导入新课】,弦:,连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.,经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径,弧:,C,O,A,B,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆,劣弧与优弧,C,O,A,B,半圆,等圆:,能够重合的两个圆叫做等圆.,容易看出： 等圆是两个半径相等的圆.,等弧:,在同圆
44、或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.,想一想：长度相等的弧就是等弧？,A,B,C,D,A,D,B,C,圆心角:,顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的角叫做圆心角.,AOC BOC,找出下图中的圆心角,例1 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径.,弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.,（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.,答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .,劣弧：,优弧：,同圆中半径相等的性质的应用,问题 车轮为什么做成圆形?,把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不
45、变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理,圆的基本性质,o,同圆半径相等.,（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 （2）到定点的距离等于定长的点都在 ,定长r,同一个圆上,圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合,圆的集合定义,例2 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.,证明：四边形ABCD是矩形，,AO=OC，OB=OD.,又AC=BD，OA=OB=OC=OD.,A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上.,1.填空：（1）_是圆中最长的弦，它是_的2倍（
46、2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以A为一个端点的优弧有 条， 劣弧有 条,直径,半径,一,二,四,四,2.一点和O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 .,7cm或3cm,【练习】,3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.,(1)弦是直径；,(2)半圆是弧；,(3)过圆心的线段是直径；,(4)过圆心的直线是直径；,(5)半圆是最长的弧；,(6)直径是最长的弦；,(7)长度相等的弧是等弧.,4 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？,不公平，应该站成圆形.,5 一根5m长的绳子，一端栓在柱子
47、上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域,5m,参考答案：,圆,定义,旋转定义,要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径,集合定义,同圆半径相等,有关概念,弦（直径）,直径是圆中最长的弦,弧,半圆是特殊的弧,劣弧,半圆,优弧,同心圆,等圆,同圆,等弧,能够互相重合的两段弧,圆心角,顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的角,【小结】,2.2圆的对称性（1）,【导入新课】,问题1：请同学们把自己做的圆卡的圆心钉在本子上，旋转它们，你们发现了什么？,（1） 将圆卡旋转180，你们有什么发现？,（2）将圆卡旋转任意一个角度，你们又有什么发现？,【讲授新课】,（3） 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?,
48、圆是中心对称图形，,圆心是它的对称中心.,（4）圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？,能.（这是圆的一个特有性质，我们称之为圆的旋转不变性）.,圆心角、弧、弦之间的关系,在同圆中探究,O,A,B,如图，在等圆中，如果AOBCO D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？,O ,C,D,在等圆中探究,1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.,AOB=COD,AB=CD,弧、弦与圆心角的关系定理,想一想,弧、弦与圆心角的关系,AOB=COD,AB=CD,AOB=COD,AB=CD,定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在
49、同圆或等圆中”去掉？为什么？,不可以，如图.,想一想,如图，AB、CD是O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果 ，那么_，_ _（3）如果AOB=COD，那么_，_,AB=CD,AB=CD,AOB= COD,AOB= COD,填一填,AOE=180-335=75.,典例精析,证明：, AB=ACABC是等腰三角形.,又ACB=60，, ABC是等边三角形 , AB=BC=CA., AOBBOCAOC.,例2 如图，在O中， AB=AC ,ACB=60,求证：AOB=BOC=AOC., ,温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.,D,60 ,A,【练习】,4.如
50、图，已知AB、CD为O的两条弦， 求证:ABCD.,圆心角,弦、弧、圆心角的关系定理,在同圆或等圆中,概念：顶点在圆心的角,应用提醒,要注意前提条件；要灵活转化.,【小结】,2.2圆的对称性（2）,问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,【导入新课】,问题：任意画一个圆及它的一条直径，沿着所画直径的直线折叠，你又发现了什么？,圆是轴对称形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.,圆有无数条对称轴.,【讲授新课】,做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂
