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1、答案A连接FC,由作图方法及点O是AC的中点可知,BF垂直平分AC,AF=CF,AB=CB,易得1=2,ADBC,2=3,1=3,AB=AF,BC=CF=AF=3,FD=AD-AF=1.在RtDCF中,由勾股定理得CD=2,故选A.,2.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()A.6B.5C.4D.3,答案D在ABC中,ACB=90,DE垂直平分AC,AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE=BC,BC=6,DE=BC=3.故选D.,3.(2017河南,14,3分)如图1,点P从ABC的顶点B出发,沿BCA
2、匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则ABC的面积是.,答案12,解析观察题图可知BC=BA=5.当BPAC时,BP=4,此时AP=CP=3,所以AC=6,所以SABC=64=12.,4.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45.(1)当MBC=90时,BMC=C=45.设BM=x,则BM=BC=x
3、,在RtMBC中,由勾股定理得MC=x,x+x=+1,解得x=1,BM=1.,(2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合,此时BM=BM=BC=.综上所述,BM的长为或1.,5.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF为直角三角形时,AB的长为.,答案4或4,解析(1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角形,不符合;(2)当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90
4、时,DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知四边形ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当AEF=90时,AEAC,所以AEC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4;当点A在直线DE上方时,EAFCAB,不可能为90.综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4或4.图1 图2 图3,思路分析由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计算
5、AB的长,显然EAF90,可以排除.,方法总结解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.,B组20152019年全国中考题组考点一等腰三角形1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A.作APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PCAB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PCAB,垂足为C,答案B无
6、论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于()A.15B.30C.45D.60,答案A由三角形ABC是等边三角形,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,3.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已
7、知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()A.5B.6C.7D.8,答案A如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,4.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长
8、为.,答案9,解析AB=AC,B=C.又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9.,5.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度数为.,答案15或45或75,解析如图,当BA=BC时,BDAC,AD=CD=AC,BD=AC,AD=BD=CD,A=C=(180-90)=45.如图,当AB=AC且A为锐角时,BD=AC=AB,A=30,ABC=ACB=75.如图,当AB=AC且BAC为钝角时,BD=AC=AB,BAD=30,ABC=ACB=30=15.同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15.故答案为1
9、5或45或75.,方法点拨等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.,6.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则BCE的周长为.,答案13,解析DE垂直平分AB,AE=BE,BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,评析本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,考点二直角三角形1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,
10、则AE的长为()A.2B.3C. D.,答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故选D.,思路分析首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质、含30角的直角三角形的性质确定EF和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为()A
11、.B.C.D.,3.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为.,答案1或9,解析分两种情况讨论:BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D.在RtABD中,AB=,AD=3,BD=5.在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9.BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1.综上,BC的长为1或9.,思路分析根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,4.(2019河北,19,4分)勘测队按实际需要构建了平面
12、直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过A,B两地.(1)A,B间的距离为km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为km.,答案(1)20(2)13,解析(1)由点A和点B的坐标可知,ABx轴,A,B间的距离=12-(-8)=20 km.(2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴的负半轴上且OC=17 km,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km,OE=1 km,所以CE=18 km,设CD=AD=x km,则DE=(18-x)km,在RtADE中,AD2=DE2+AE2,即x
13、2=(18-x)2+122,解得x=13,所以C,D间的距离为13 km.,思路分析(1)根据点A与点B的坐标特点求出A,B间的距离;(2)首先确定直角坐标系,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km,CE=18 km,设CD=AD=x km,根据勾股定理列出含x的方程,求解即可.,解题关键正确画出平面直角坐标系,准确运用勾股定理得出方程是解决本题的关键.,5.(2019河北,21,9分)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B0.尝试化简整式A.发现A=B2.求整式B.联想由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写
14、下表中B的值:,解析尝试A=n4-2n2+1+4n2(2分)=n4+2n2+1.(4分)发现A=n4+2n2+1=(n2+1)2,且A=B2,B0,B=n2+1.(7分)联想勾股数组17(8分)勾股数组37(9分)提示:勾股数组2n=8,n=4.由发现可知,B=n2+1=16+1=17.勾股数组n2-1=35,B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37.,6.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若BAC=50,求EMF的大小;(3)如图2,若DAECE
15、M,点N为CM的中点.求证:ANEM.图1 图2,解析(1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM=BD.又DEAB,同理,EM=BD,CM=EM.(4分)(2)由已知得,CBA=90-50=40.又由(1)知CM=BM=EM,CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80,EMF=180-CME=100.(9分)(3)证明:DAECEM,CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形,MEF=DEF-DEM=30.证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=E
16、M=AE,FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF.=.又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF,ANEM.(14分)证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,AMC=EMC-EMA=75,又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD,ACM=(180-30)=75.由可知AC=AM,又N为CM的中点,ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出
17、EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,答案C由作图可知AF是BAC的平分线,B=90,BG=1,点G到AC的距离等于1,ACG的面积是14=2.故选C.,思路分析先判断AF是BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的距离,最后根据三角形面积公式求解即可.,2.(2018内蒙古包头
18、,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为()A.17.5B.12.5C.12D.10,答案DAB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,3.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为()A.50B.70C.75D.80,答案B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC
19、=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,4.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm,答案A当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,5.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画
20、出的不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.7,答案D如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形;如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形;如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形;如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形;如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形;如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形.故选D.,6.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点
21、M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上,答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,7.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为()A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D为BC中点,CAD=BAD=35,
22、ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,8.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为.,答案80,解析等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,9.(2015广东广州,15,3分)如图,ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=9,BC=12,则cos C=.,答案,解析因为DE是BC的垂直平分线,所以CE=BE=9,CD=BD=6,在RtCDE中,cos C=.,EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH=EF.又EF=10,FH=10.M,N为FG和GH的中点,MN为FHG的中位线
23、,MN=FH=5.,类比拓展2sin .(8分)提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin ,BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin .评分说明:结果写成1,2sin 1不扣分.,11.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D.求证:AD=BC.,证明AB=AC,A=36,ABC=C=72.BD平分ABC,ABD=36,ABD=A,AD=BD.BDC=A+ABD=72,BDC=C,BD=BC,AD=BC.,12.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(
24、1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析(1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰,AB=AC,BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB,AD=AE,又A=A,ABDACE,BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.,13.(2015北京,20,5分
25、)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E.求证:CBE=BAD.,证明AB=AC,AD是BC边上的中线,ADBC,BAD=CAD.BEAC,BEC=ADC=90.CBE=90-C,CAD=90-C.CBE=CAD.CBE=BAD.,14.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF.(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长;(2)如图1,求证:HF=EF;(3)如图2,
26、连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形.若是,请证明;若不是,请说明理由.图1 图2,解析(1)点H是AC的中点,AC=2,AH=AC=.(1分)ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分)DAAB,DHAC,DAB=DHA=90.DAH=30,AD=2.(3分)在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2.BD=2.(4分)(2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分)DEAE,DEA=90.DHA=90,DAH=30,DH=AD.AE平分BAC,CAE=BAC=30.DAE=60,ADE=30.AE=A
27、D,AE=DH.(6分)FDA=FAD,HDA=EAD=60,FDA-HDA=FAD-EAD,FDH=FAE.(7分)FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分)(3)CEF是等边三角形.(9分)理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG=DA.FGA=180-DAG=90,又AE=AD,AE=FG.在RtABC中,ACB=90,点G为AB的中点,CG=AG.又CAB=60,GAC为等边三角形.(10分)AC=CG,ACG=AGC=60.,FGC=30,FGC=EAC.FGCEAC(SAS).(11分)CF=CE,ACE=GCF.ECF=ECG+GCF=E
28、CG+ACE=ACG=60,CEF是等边三角形.(12分),考点二直角三角形1.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为()A.3B.6C.3D.,答案A由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3,AB=3,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC=3.,答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短
29、,OB=AB=3,BC=4,OC=5,又OP=AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,3.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为()A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中点,MC=AB=AM=1.2 km.故选D.,4.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的命题的序号为
30、.,答案,解析等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.,5.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=.,答案3,解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB=3.,6.(2018天津,17,3分
31、)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,解析连接DE,在等边ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,DEAC,DE=EC=AC=2.DEB=C=60.EFAC,EFC=90.FEC=30,EF=.DEG=180-60-30=90.G是EF的中点,EG=.在RtDEG中,DG=.,疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EF
32、AC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,7.(2017吉林,11,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形ABCD.若点B的对应点B落在边CD上,则BC的长为.,答案1,解析由题意可知,AB=AB=5,在RtADB中,利用勾股定理可得DB=4,所以BC=1.,思路分析在RtABD中,利用勾股定理求出BD的长,即可求出BC的长.,8.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.
33、若AD=4 cm,则EF的长为cm.,答案(+),解析如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4 cm,EM=AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2 cm,MN=EM=2 cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm.,一题多解过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2 cm,ABD=30,B
34、D=AD=4 cm,CBD=45,BC=2 cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,9.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.,答案,解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BAO=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos 60=,OC=AOsin
35、 60=,OC=AO-AC=,O.,10.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为.,答案或,解析当CP=1时,根据勾股定理得AP=;当CP=2时,根据勾股定理得AP=,故AP的长为或.,11.(2015江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,AOC=60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为.,答案2或2或2,解析由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因为AOC=60,所以POA为等边三角
36、形,所以AP=2.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP为等边三角形,所以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2.如图,ABP=90,因为BOP=AOC=60,所以BP=OBtan 60=2.在RtABP中,AP=2.综上所述,AP的长为2或2或2.,评析本题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题,考查了含特殊角的直角三角形的边角关系,勾股定理等知识,本题易漏掉某种情况,属易错题.,12.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D为A
37、B边上一点.(1)求证:ACEBCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.,答案C在ABC中,B=50,C=30,BAC=180-B-C=100.由作图可知MN为AC的中垂线,DA=DC,DAC=C=30.BAD=BAC-DAC=70.故选C.,2.(2018郑州一模,5)如图,已知ABC(ACBC),用尺规在BC边上确定一点P,使得PA+PC=BC,则下列四种不同的作图方法中正确的是(),答案D由题意知PA=PB,根据作图方法可知,选项D的作图所表示的是点P在线段AB的垂直平分线上,即PA=PB.故选D.,3.(2017焦作一模,8)如图,在ABC中,ABC=90,A=30,BC=4.若D
38、E是ABC的中位线,延长DE交ACM的平分线于点F,则DF的长为()A.6B.7C.8D.9,答案A在RtABC中,A=30,BC=4,AC=2BC=8,DE是ABC的中位线,DE=BC=2,EC=4.DFBM,EFC=FCM.CF平分ACM,ECF=FCM,ECF=EFC,EF=EC=4,DF=DE+EF=6.故选A.,二、填空题(每小题3分,共9分)4.(2019开封一模,11)如图,在RtABC中,ACB=90,分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线交BC于点P,连接AP,当B为度时,AP平分CAB.,解析根据作图可知,所作直线垂直平分AB,PA=PB,
39、B=PAB,C=90,CAB+B=90,当AP平分CAB时,CAP=BAP,CAP+BAP+B=90,即3B=90,B=30.,答案30,5.(2019郑州一模,12)在同一平面内,将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(C=60,F=45),其中直角顶点D是BC的中点,点A在DE上,则CGF=.,答案15,解析BAC=90,D为BC的中点,AD=CD.DAC=C=60.EAG=120.AGE=180-120-45=15.CGF=AGE=15.,6.(2018安阳二模,12)如图,BD是矩形ABCD的一条对角线,点E、F分别是BD、DC的中点,若AB=4,BC=3,则AE+EF的长为.,答案4
40、,解析在矩形ABCD中,C=DAB=90,点E、F分别是BD、DC的中点,EF=BC=,AE=BD,且BD=5,AE=,AE+EF=4.,三、解答题(共20分)7.(2019焦作一模,22)如图1,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE,点P为DC的中点.(1)观察猜想图1中,线段AP与BE的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明把ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想(1)中的结论仍然成立,请你证明小航的猜想;(3)拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP的取值范围.,解析(1)
41、AP=BE,APBE.(2分)(2)延长PA交BE于N,延长AP到M使PM=AP,连接CM,(3分)则ADPMCP,(4分)AD=CM=AE,DAP=M,ADCM,DAC+ACM=180,又BAC=DAE=90,DAC+BAE=180,ACM=BAE,又AB=AC,BAEACM,(5分)M=AEB=DAP,BE=AM,AP=AM,AP=BE.(6分)又EAN+DAP=90,EAN+AEB=90,ENA=90,即APBE.(8分)(3)3AP7.(10分)提示:当点E在线段AB上时,BE的长最小,最小值为AB-AE=10-4=6,AP=3;当点E在线段BA的延长线上时,BE的长最大,最大值为AB
42、+AE=10+4=14,AP=7.3AP7.,8.(2018许昌一模,22)(1)观察猜想如图,点B、A、C在同一条直线上,DBBC,ECBC且DAE=90,AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关系为;(2)问题解决如图,在RtABC中,ABC=90,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RtDAC,连接BD,求BD的长;(3)拓展延伸如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,CB=4,AB=2,DC=DA,请写出BD的长.,解析(1)BC=BD+CE.(2)如图1,过D作DEAB,交BA的延长线于E,ABC=90,DAC=90,BCA+CAB=CAB +EAD=90,BCA=
43、EAD.CBA=AED=90,AD=AC,ABCDEA,DE=AB=2,AE=BC=4,BE=AB+AE=6,一、选择题(每小题3分,共6分)1.(2019郑州二模,6)如图,在ABC中,ABC=90,AB=4 cm,BC=3 cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为 cm/s,点Q的速度为1 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.若使PBQ的面积为 cm2,则点P运动的时间是()A.2 sB.3 sC.4 sD.5 s,30分钟35分,答案B设运动时间为t s,则AP=t cm,BQ=t cm,则PB=cm,则SPBQ=BPQB=,即t=.解
44、得t1=3,t2=5,当t=5时,BQ=53,不符合题意,舍去,所以t=3.故选B.,2.(2017开封一模,8)如图,已知在RtABC中,ABC=90,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧在直线BC的上方交于点P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:EDBC;A=EBA;EB平分AED;ED=AB,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4,答案C由题意可得PD垂直平分BC,EDBC正确;ABC=90,PDAB,又D为BC的中点,E为AC的中点,EC=EA,易知EB=EC,EA=EB,A=EBA正确;易知EB平分AED错误,ED=AB正确.所以正确的个
45、数为3.故选C.,思路分析由作图方法知PD垂直平分BC,根据垂直平分线的性质和直角三角形的性质判断正误.,二、填空题(每小题3分,共9分)3.(2018郑州一模,13)已知三个边长分别为1,2,3的正三角形从左到右如图排列,则图中阴影部分面积为.,答案,解析如图,根据题意得,BGEC,HBG=FCE=60.在ACE中,AB+BC=1+2=3,AC=EC=3.ACE=120,1=CAE=30.BGCE,1=BGH=30,BG=AB=1,GHB=EFC=90,SEFC+SGHB=32+12=,即S阴影=.,4.(2019安阳一模,15)如图,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=4,点D是AC
46、的中点,点F是边AB上一动点,沿DF所在直线把ADF翻折到ADF的位置,若线段AD交AB于点E,且BAE为直角三角形,则BF的长为.,答案6或,解析在RtABC中,C=90,tan A=,A=30,AB=8.当BEA=90时,作FGAD于点G,在AED中,ADE=90-A=60,由折叠得ADF=ADE=30,AF=FD,AG=AD=,AF=2,BF=AB-AF=6;当BAE=90时,作FGAD于点G,连接BD,如图.,DC=DA=DA,DB=DB,RtDCBRtDAB(HL),1=2,由折叠得3=4,1+4=90,1+5=90,4=5,DCBFGD,在RtAGF中,设GF=x,则AG=x,AF
47、=2x,DG=2-x,=,=,解得x=,AF=,BF=AB-AF=;ABE不可能为直角.综上所述,BF的长为6或.,5.(2018濮阳一模,15)如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,点D,E为AC,BC上两个动点,若将C沿DE折叠,点C的对应点C恰好落在AB上,且ADC恰好为直角三角形,则此时CD的长为.,答案或,解析如图,当ADC=90时,ADC=C,则DCCB,ADCACB.又AC=3,BC=4,=.设CD=CD=x,则AD=3-x,=,解得x=.经检验,x=是该方程的解,CD=.如图,当DCA=90时,DCB=DCA,由折叠的性质可得,C=DCE=90,CB与CE重合.由
48、C=ACD=90,A=A,可得ADCABC.在RtABC中,AB=5,=.设CD=CD=x,则AD=3-x,=,解得x=.经检验,x=是该方程的解,CD=.综上,CD的长为或.,思路分析本题主要考查直角三角形的折叠问题,依据ADC为直角三角形,分两种情况进行讨论.当ADC=90时和当DCA=90时,分别依据相似三角形的对应边成比例,设要求的线段长为x,列方程求解,即可得到CD的长.,三、解答题(共20分)6.(2019郑州二模,22)已知ABC是等腰直角三角形,ACB=90,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中PCQ=90,探究并解决下列问题:(1)如图1,
49、若点P在线段AB上,且AC=6,PA=2,则:PB=,PC=;直接写出PA2,PB2,PC2三者之间的数量关系:;(2)如图2,若点P在AB的延长线上,(1)中所猜想的结论是否仍然成立.请你利用图2给出证明过程;(3)若动点P满足=,直接写出的值:.,解析(1)4;2.PA2+PB2=2PC2.(2)如图,连接BQ.ACB=PCQ=90,PC=QC,ACP=BCQ,PQ2=2PC2.在ACP和BCQ中,ACPBCQ,PA=BQ,CBQ=CAP=45,7.(2018驻马店一模,22)(1)如图1,ABC中,AB=AC,点D在AB上,过点D作DEBC,交AC于E,连接CD,F,G,H分别是线段CD
50、,DE,BC的中点,则线段FG,FH的数量关系是(直接写出结论);(2)将图1中的ADE绕点A旋转到如图2位置,上述结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,在RtABC中,C=90,AC=5,BC=12,点E在BC上,且BE=,过点E作EDAB,垂足为D,将BDE绕点B顺时针旋转,连接AE,取AE的中点F,连接DF.当AE与AC垂直时,线段DF的长度为(直接写出结果).,解析(1)FG=FH.理由:如题图1,AB=AC,B=ACB.DEBC,ADE=B,AED=ACB,ADE=AED,AD=AE,BD=CE.DG=GE,DF=CF,BH=CH,GF=EC,FH=B
