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1、,第五章 贝塞尔函数,5.1 贝塞尔方程,在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数-特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等,在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。,分离变量,在极坐标系中：,化简引入常量,欧拉方程,5.1.1 贝塞尔方程的导出,假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。,由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这,分离变量,化简引入常量,Helmholtz方程 (5.5),为了求Helmholt
2、z方程 (5.5)，可在极坐标中进行求解,(5.7),(5.8),解： 采用分离变量,再次分离变量,由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此 应是以2 为周期的函数。因此， ,方程(5.10)的解为：,将 代入(5.9)式得到,(5.11),n阶贝塞尔方程,令 ，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为：,(5.12),贝塞尔方程,由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此， ,结合边界条件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。,(5.12)为二阶变系数常 微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数,(5.12),贝塞尔方程,求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解：
3、,(5.13),将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：,故有：,由于 ，可得 ,需要分别讨论：,情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：,(5.17),(5.18),Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数,将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解,引入 函数并利用其递推式： ，则一般项的系数变为：,取s2=-n时：,(5.19),可以得到方程另一个特解,J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数,Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数,Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12
4、)的通解可表示为：,(5.20),令 ，则 (5.20)可写成,(5.21),第二个线性无关特解,贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：,(5.22),情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n=0时，方程的一个解为：,(5.23),(5.21),可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可以表示为：,情形3：n为半奇数后面讨论。,Jn（x）,Yn（x）,Kn（x）,In（x）,(5.18),5.2 贝塞尔函数的递推式,由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：,第二类贝塞尔函数,半奇数阶贝塞尔函数,5.1.2.虚宗量贝塞耳方程,阶虚宗量贝塞耳方程,
5、定义：,通解：,5.3 贝塞尔函数展开为级数,由于圆盘上温度的定解问题可表示：,贝塞尔方程(5.32)的通解可表示为：,(5.32),(5.33),(5.34),由于(5.34)式可知：当 取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔函数的零点。,由于 为无穷大，由边界条件可以得到D=0，再利用另一个条件可以得到：,1. Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。,2. Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零点更靠近坐标原点。,3. 当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于。,J0(x),J1(x),利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设 为Jn(x)
6、的正零点，则由（5.34）可得：,即,与这些固有值相对应的函数F可表示为：,二、正交关系,贝塞耳方程是施图姆刘维尔本征值方程：,在区间(0,R)上带权r正交：,三 贝塞耳函数的模,定义积分：,的平方根，为贝塞尔函数 的模：,四 傅立叶-贝塞耳级数,在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数展开为级数。如果f(r)为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分 的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：,(5.42),性质：1. 在级数f(r)的连续点(5.42)收敛于f(r); 2. 在级数f(r)的间断点r0收敛于该点的左右极限平均值。,傅立叶-贝塞耳级数,(5.43),系数Cm可以由下式确定：,傅立叶-贝塞耳系数,
