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1、第八章 -矩阵习题课,一、基本概念二、基本结论三、基本算法,一、基本概念,矩阵，可逆的 矩阵，秩； 矩阵的初等变换及标准形， 矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.,二、主要结论,（定理1） 一个 的矩阵 可逆,是一个非零常数.,1. 矩阵可逆的等价刻画,矩阵的乘积.,（定理6） 可逆 可表成一些初等,2.（定理2）任意一个非零的 的 一矩阵,都等价于下列形式的矩阵,多项式，且,称之为的标准形.,（定理5） 矩阵 、 等价,、 有相同的不变因子.,3. 等价矩阵的刻画,、 有相同的行列因子.,存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆,推论：两个 的 矩阵 、 等价
2、,矩阵 ，使,4. 相似矩阵,设 ，则A与B相似,特征矩阵 与 等价.,定理：,推论:设 则 相似,特征矩阵 与 有相同的不变因子.,、 有相同的行列因子.,结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，,则它们就有相同的初等因子；,反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有,结论2、两个同级数字矩阵相似,相同的不变因子.,它们有相同的初等因子.,设 ，则A与B相似,特征矩阵 与 等价.,特征矩阵 与 有相同的不变因子.,、 有相同的行列因子.,A与B有相同的初等因子.,A与B有相同的不变因子.,A与B相似的等价刻画:,(定理9) 设 将特征矩阵 进行,初等变换化成对角形,然后将主对角线上的元素分
3、解成互不相同的一次因,式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同,的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.,（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵,相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是,被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.,5、若当标准形存在定理,变换，在 V中必定存在一组基，使 在这组基下,的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去,定理10换成线性变换的语言即为,（定理11）设是复数域上n维线性空间V的线性,若当块的排序外是被唯一确定的.,的初等因子全是一次的.,3.特殊情形,（定理12）复矩阵 A与对角矩阵相似,的不变因子没有重根.,（定理13）复矩阵 A与对角矩阵相似,三、基本算法(题目基本类型),2、求 矩阵的两种因子：行列式因子、 不变因子,1、会利用 矩阵的初等变换化 矩 阵为标准型,3、求数字矩阵的两种因子：不变因子、初等因子,4、求复矩阵的若当标准型,5、求数域P上矩阵的有理标准型,
