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1、2022/12/23,数学与计算科学学院,第五章 二次型,5.1 二次型的矩阵表示,5.2 标准形,5.3 唯一性,5.4 正定二次型,章小结与习题,2022/12/23,数学与计算科学学院,一、n元二次型,二、非退化线性替换,三、矩阵的合同,四、小结,5.1 二次型的矩阵表示,2022/12/23,数学与计算科学学院,解析几何中,选择适当角度,逆时针旋转坐标轴,(标准方程),中心与坐标原点重合的有心二次曲线,问题的引入:,2022/12/23,数学与计算科学学院,代数观点下,作适当的非退化线性替换,只含平方项的多项式,二次齐次多项式,(标准形),2022/12/23,数学与计算科学学院,一、
2、n元二次型,1、定义：设P为数域，,称为数域P上的一个n元二次型,n个文字 的二次齐次多项式,2022/12/23,数学与计算科学学院,注意,2) 式 也可写成,1) 为了计算和讨论的方便,式中 的系数,写成,2022/12/23,数学与计算科学学院,1） 约定中aij=aji，ij ，由 xixjxjxi，有,2、二次型的矩阵表示,2022/12/23,数学与计算科学学院,则矩阵A称为二次型 的矩阵.,2022/12/23,数学与计算科学学院,2022/12/23,数学与计算科学学院,于是有,2022/12/23,数学与计算科学学院,注意:,2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即,正因为如此，
3、讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.,若 且 ，则,1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即,（这表明在选定文字下，二次型 完全由对称矩阵A决定.),2022/12/23,数学与计算科学学院,例11）实数域R上的2元二次型,3）复数域C上的4元二次型,它们的矩阵分别是：,2022/12/23,数学与计算科学学院,二、非退化线性替换,1、定义：,是两组文字,，关系式,称为由的一个线性替换;,若系数行列式|cij|0,则称为非退化线性替换.,2022/12/23,数学与计算科学学院,它是非退化的.,系数行列式,例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度,即变换,2022/12/23,数学与计算科学学院,
4、2、线性替换的矩阵表示,则可表示为X=CY若|C| 0，则为非退化线性替换.,注,2）若XCY为非退化线性替换，则有非退化线性替换.,2022/12/23,数学与计算科学学院,即，B为对称矩阵.,3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型,事实上，,是一个 二次型.,2022/12/23,数学与计算科学学院,三、矩阵的合同,1）合同具有,对称性：,传递性:,即C1C2可逆.,反身性:,注:,1、定义：设 ，若存在可逆矩阵,使 ，则称A与B合同.,2022/12/23,数学与计算科学学院,3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.,2）合同矩阵具有相同的秩.,2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与,A与B
5、合同.,二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型YBY,进而，有:,C可逆,原二次型矩阵是合同的.,2022/12/23,数学与计算科学学院,例2证明：矩阵A与B合同，其中,一个排列.,证：作二次型,2022/12/23,数学与计算科学学院,故矩阵A与B合同.,对作非退化线性替换,则二次型化为（注意 的系数为 ）,2022/12/23,数学与计算科学学院,练习 写出下列二次型的矩阵,其中,2022/12/23,数学与计算科学学院,答案,2022/12/23,数学与计算科学学院,-,-,4. 解：,2022/12/23,数学与计算科学学院,四、 小结,n元二次型：,非退化线性替换：,，或X=CY， |C| 0.,基本概念,矩阵的合同：,2022/12/23,数学与计算科学学院,基本结论,1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.,3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.,2、二次型XAX可经非退化线性替换化为二型YBY,
