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1、第九章 正弦稳态电路的分析,重点：, 复阻抗复导纳, 相量图, 用相量法分析正弦稳态电路, 正弦交流电路中的功率分析,9. 1 阻抗、导纳及其等效变换,1. 复阻抗与复导纳,正弦激励下,单位：,阻抗模,阻抗角,复导纳Y,对同一二端网络:,2. R、L、C 元件的阻抗和导纳,（1）R：,（2）L：,（3）C：,单位：S,3. RLC串联电路,用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。,由KVL：,其相量关系也成立,Z 复阻抗；R电阻(阻抗的实部)；X电抗(阻抗的虚部)； |Z|复阻抗的模； 阻抗角。,关系：,或,具体分析一下 R、L、C 串联电路：,Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|j,wL 1/
2、w C ，X0， j 0，电路为感性，电压领先电流；,wL1/w C ，X0， j 0，电路为容性，电压落后电流；,wL=1/w C ，X=0， j =0，电路为电阻性，电压与电流同相。,画相量图：选电流为参考向量(wL 1/w C ),三角形UR 、UX 、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,例.,已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,求 i, uR , uL , uC .,解：,其相量模型为,则,UL=8.42U=5，分电压大于总电压。,相量图,4. RLC并联电路,由KCL：,Y 复导纳；G电导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)； |Y|复导纳的模； 导纳角。,关系
3、：,或,Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|j,w C 1/w L ，B0， j 0，电路为容性，i领先u；,w C1/w L ，B0， j 0，电路为感性，i落后u；,wC=1/w L ，B=0， j =0，电路为电阻性，i与u同相。,画相量图：选电压为参考向量(wC 1/w L，0 ),RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象,5. 复阻抗和复导纳的等效互换,一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，X0，则B0，即仍为感性。,同样，若由Y变为Z，则有：,9. 2 电路的相量图,1. 电路的相量模型 (phasor model ),相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。,
4、时域电路,相量模型,时域列写微分方程,相量形式代数方程,2. 相量图,1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中,2. 反时针旋转角速度,3. 选定一个参考相量(设初相位为零。),例：上例中选 R为参考相量,用途：,利用比例尺定量计算,定性分析,小结：,1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。,2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。,3. 引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（f =0)是一个特例。,9. 3 正弦稳态电路的分析,电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：,可见，二者依据的电路定
5、律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。,例1：已知 Z1=10+j6.28, Z2=20-j31.9 , Z3=15+j15.7 。,求 Zab。,同直流电路相似：,阻抗串并联的计算,解：画出电路的相量模型,瞬时值表达式为：,解毕！,列写电路的回路电流方程和节点电压方程,例3.,解：,回路法:,节点法:,法一：电源变换,解：,例4.,法二：戴维南等效变换,例5.,用叠加定理计算电流,求开路电压：,求等效电阻：,解：,已知平衡电桥Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jw L3。 求：Zx=Rx+jwLx。,由平衡条件：Z1 Z
6、3= Z2 Zx 得,R1(R3+jw L3)=R2(Rx+j wLx), Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2,例6.,解：,已知：Z=10+j50W , Z1=400+j1000W。,例7.,解：,已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , R1=32W , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。,画相量图进行定性分析。,例8.,解：,用相量图分析,例9.,移相桥电路。当R2由0时，,解：,当R2=0，q =-180；当R2 ，q =0。,9.4 正弦电流电路中的功率,无源一端口网络吸收的功率( u, i 关联),1. 瞬时功率 (instant
7、aneous power),第一种分解方法：,第二种分解方法：, p有时为正, 有时为负； p0, 电路吸收功率：p0，电路发出功率；,UIcos (1-cos2 t)为不可逆分量。,UIsin sin2 t为可逆分量。,瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期平均值。,2. 平均功率 (average power)P：, =u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。,cos ：功率因数。,P 的单位：W（瓦）,一般地 , 有 0cosj1,X0, j 0 , 感性， 滞后功率因数,X0, j 0 , 容性， 超前功率因数,例： cosj =0.5 (滞后)， 则j =6
8、0o (电压领先电流60o)。,平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cosj 有关，这是交流和直流的很大区别, 主要由于电压、电流存在相位差。,4. 视在功率(表观功率)S,反映电气设备的容量。,3. 无功功率 (reactive power) Q,表示交换功率的最大值，单位：var (乏)。,Q0，表示网络吸收无功功率；Q0，表示网络发出无功功率。Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的,5. R、L、C元件的有功功率和无功功率,PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R
9、QR =UIsin =UIsin0 =0,对电阻，u, i 同相，故Q=0，即电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。,PL=UIcos =UIcos90 =0QL =UIsin =UIsin90 =UI,对电感，u领先 i 90, 故PL=0，即电感不消耗功率。由于QL0，故电感吸收无功功率。,PC=UIcos =Uicos(-90)=0QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI,对电容，i领先 u 90, 故PC=0，即电容不消耗功率。由于QC0，故电容发出无功功率。,6. 电感、电容的无功补偿作用,当L发出功率时，C刚好吸收功率，则与外电路交换功率为pL+pC。因此，L、C的无功
10、具有互相补偿的作用。,7. 交流电路功率的测量,单相功率表原理：,电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(RL)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2u/R2。,指针偏转角度(由M确定)与P成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。,使用功率表应注意：,(1) 同名端：在负载u, i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。,(2) 量程：P的量程= U的量程 I的量程cos (表的),测量时，P、U、I均不能超量程。,已知：电动机 PD=1000W，U=220V，f =50Hz，C =30F。 求负载电路的功率因数
11、。,例.,解：,例.,三表法测线圈参数。,已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=3W。,解：,9. 5 复功率,1. 复功率,有功，无功，视在功率的关系：,有功功率: P=UIcosj 单位：W,无功功率: P=UIsinj 单位：var,视在功率: S=UI 单位：VA,功率三角形,阻抗三角形,电压三角形,电压、电流的有功分量和无功分量：,(以感性负载为例),根据定义,(发出无功),电抗元件吸收无功，在平均意义上不做功。反映了电源和负载之间交换能量的速率。,无功的物理意义:,复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即,此结论可用特勒根定理证明。,一般
12、情况下：,已知如图，求各支路的复功率。,例.,解一：,解二：,2、功率因数提高,设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。,P=Scosj,cosj =1, P=S=75kW,cosj =0.7, P=0.7S=52.5kW,一般用户： 异步电机 空载cosj =0.20.3 满载cosj =0.70.85,日光灯 cosj =0.450.6,(1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；,(2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大 I=P/(Ucosj )，线路压降损耗大。,功率因数低带来的问题：,解决办法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备)。,分析:,
13、补偿容量的确定：,综合考虑，提高到适当值为宜( 0.9 左右)。,功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。,再从功率这个角度来看 :,并联C后，电源向负载输送的有功UIL cosj1=UI cosj2不变，但是电源向负载输送的无功UIsinj2UILsinj1减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。,已知：f=50Hz, U=380V, P=20kW, cosj1=0.6(滞后)。要使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C。,例.,解：,补偿容量也可以用功率三角形确定：,单纯从提高cosj 看是可以，但是负载
14、上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。,思考：能否用串联电容提高cosj ?,9. 6 最大功率传输,讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。,Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL,(1) ZL= RL + jXL可任意改变,(a) 先讨论XL改变时，P的极值,显然，当Xi + XL=0，即XL =-Xi时，P获得极值,(b) 再讨论RL改变时，P的最大值,当RL= Ri时，P获得最大值,综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：,此结果可由P分别对XL、RL求偏导数得到。,(2) 若ZL= RL + jXL只允许XL改变,此
15、时获得最大功率的条件Xi + XL=0，即XL =-Xi 。,(3) 若ZL= RL + jXL=|ZL|，RL、 XL均可改变，但XL/ RL不变,(即|ZL|可变，不变),最大功率为,此时获得最大功率的条件|ZL| = |Zi| 。,最大功率为,证明如下：,(3)的证明：,此时Pmax即如(3)中所示。,证毕！,谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电路的特点。,9. 7 串联电路的谐振,含有L、C的电路，当电路中端口电压、电流同相时，称电路发生了谐振。,一、 谐振的定义,二、RLC串联电路的谐振,1、谐振条件：（谐振
16、角频率）,谐振角频率 (resonant angular frequency),谐振频率 (resonant frequency),谐振周期 (resonant period),2、使RLC串联电路发生谐振的条件,（1）. L C 不变，改变 w 。,（2）. 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。,w0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的w0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。,通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变C使电路达到谐振。,3、RLC串联电路谐振时的特点,根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。,(2). 入端阻抗Z为
17、纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。,(3). 电流I达到最大值I0=U/R (U一定)。,(4). LC上串联总电压为零，即,串联谐振时，电感上的电压和电容上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，因此串联谐振又称电压谐振。,谐振时的相量图,当w0L=1/(w0C )R时， UL= UC U 。,(5). 功率,P=RI02=U2/R，电阻功率达到最大。,即L与C交换能量，与电源间无能量交换。,三、特性阻抗和品质因数,1. 特性阻抗 (characteristic impedance) ,单位：,与谐振频率无关，仅由电路参数决定。,2. 品质因数(quality factor)Q,它是说明
18、谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定。,无量纲,谐振时的感抗或容抗,(a) 电压关系：,品质因数的意义：,即 UL0 = UC0=QU,谐振时电感电压UL0(或电容电压UC0)与电源电压之比。表明谐振时的电压放大倍数。,UL0和UC0是外施电压Q倍，如 w0L=1/(w0C )R ，则 Q 很高，L 和 C 上出现高电压 ,这一方面可以利用，另一方面要加以避免。,例：,某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20,但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。,如信号电压10mV , 电感上电压650mV 这是所要的。,(b)
19、 功率关系：,电源发出功率：无功,电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。,有功,(c) 能量关系：,设,则,电场能量,磁场能量,电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。,总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。,电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在电场和磁场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何，它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。,电感、电容储能的总值与品质因数的关系：,UC0=QU，则 UCm0=QUm,品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。,Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在要求发生
20、谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。,与 Q2 成正比,由Q 的定义：,从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：,维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的“品质”愈好。,四、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性,1. 阻抗的频率特性,2. 电流谐振曲线,谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。,幅值关系：,可见I(w )与 |Y(w )|相似。,X( ),|Z( )|,XL( ),XC( ),R,阻抗幅频特性,阻抗相频特性,电流谐振曲线,从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当w 偏离w0时，电流从最大值U/R降下来。换句话说，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振
21、信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。,3. 选择性与通用谐振曲线,(a)选择性 (selectivity),例.,一接收器的电路参数为：,L=250mH, R=20W, C=150pF(调好), U1=U2= U3 =10mV, w 0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.,从多频率的信号中取出w 0 的那个信号，即选择性。,选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。,若LC不变，R大，曲线平坦，选择性差。,小得多,收到北京台820kHz的节目。,Q 对选择性的影响：R 变化对选择性的影响就是
22、Q对选择性的 影响。,为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以w0和I(w0)，即,(b) 通用谐振曲线,Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。,通用谐振曲线：,因此， Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。,称为通频带BW (Band Width),可以证明：,I/I0=0.707以分贝(dB)表示：,20log10I/I0=20lg0.707= 3 dB.,所以，1， 2称为3分贝频率。,4. UL(w )与UC(w )的频率特性,UL(w )：,当w =0， UL(w )=0； 0w
23、 0，电流开始减小，但速度不快， XL继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个w下UL(w )达到最大值，然后减小。 w ，XL， UL()=U。,类似可讨论UC(w )。,根据数学分析，当 = Cm时，UC()获最大值；当 = Lm时，UL()获最大值。且UC( Cm)=UL( Lm)。,Q越高，wLm和wCm 越靠近w0。,w Lmw Cm =w 0。,上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路参数，则变化规律就不完全与上相似。,上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振电路中去，但不同形式的谐振电路有其不同的特征，要进行具体分析，不能简单搬用。,由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的
24、范围内，因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压，即对电压也具有选择性。,一、简单 G、C、L 并联电路,对偶：,R L C 串联,G C L 并联,9. 8 并联电路的谐振,R L C 串联,G C L 并联,R L C 串联,G C L 并联,电压谐振,电流谐振,UL(w 0)=UC (w 0)=QU,IL(w 0) =IC(w 0) =QIS,推导过程如下：由定义得,二 、电感线圈与电容并联,上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现象也就较为复杂。,谐振时 B=0，即,由电路参数决定。,求得,此电路参数发生谐振是有
25、条件的，参数不合适可能不会发生谐振。,在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，要由下列条件决定：,当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：,等效电路：,其中：C不变。,谐振时：,近似等效电路：,近似等效电路：,其中，L、C不变，,讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：,(a),(b),9. 9 串并联电路的谐振,上述电路既可以发生串联谐振(Z=0)，又可以发生并联谐振(Z=)。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。,对(a)电路，L1、C2并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率w1下发生并联谐振。w w1时，并联部分呈容性，在某一角频率w2下可与L3发生串联谐振。,对(b)电
26、路可作类似定性分析。L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频率w1下可与C3发生串联谐振。w w1时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率w2下发生并联谐振。,定量分析：,(a),当Z(w )=0，即分子为零，有：,可解得：,当Y(w )=0，即分母为零，有：,可见， w 1w 2。,(b),分别令分子、分母为零，可得：,串联谐振,并联谐振,阻抗的频率特性：,Z ( )=jX( ),(a),(b),例：,激励 u1(t)，包含两个频率w1、w2分量 (w1w2)：,要求响应u2(t)只含有w1频率电压。,u1(t) =u11(w1)+u12(w2),如何实现？,LC串并联电路的应用：,可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。,可由下列滤波电路实现：,并联谐振，开路,串联谐振，短路,w1 信号短路直接加到负载上。,该电路 w2 w1 ，滤去高频，得到低频。,
