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1、空间向量及其运算,1空间共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量为共线向量或平行向量(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数使 .,互相平行或重合,ab,要点梳理,空间向量及其运算,(3)共线向量定理的推论 对于空间任一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在 实数t，使OP(1t)OAtOB 或 OPxOAyOB (其中x y1) 如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a 的直线， 那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t， 满足关系式 . 其中非零向量 a 叫直线l的方向向量,OPOAt a,2空间共面向
2、量(1)共面向量 把 的向量，叫做共面向量(2)共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使 .,平行于同一平面,pxayb,(3)推论 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实 数对x，y，使MP ，或对空间任一定点O， 有OP ，我们称式为平面MAB 的向量表示式,xMAyMB,OMxMAyMB,思考探究 向量AB平面与直线AB平面是同一概念吗？,提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内,3空间向量基本定理(1)空间向量基本定理 如果
3、三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使 .,pxaybzc,(2)推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存 在唯一的有序实数组x，y，z，使OP .,xOAyOBzOC,4.空间向量的数量积及运算律,1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做 x轴，y轴，z轴统称 由坐标轴确定的平面叫做 ,原点,坐标轴,坐标平面,空间直角坐标系、空间向量及其运算,(2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其
4、中x叫做点M的 ，y叫做点M的 ，z叫做点M的 ,横坐标,竖坐标,纵坐标,2空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab .(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1b1a2b2a3b30 (a，b为非零向量),a1b1a2b2a3b3,题型一 空间向量的线性运算,探究1,解 （1）P是C1D1的中点，,用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向
5、量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.,空间向量坐标及坐标运算 （365p158页）例1 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算 2a+3b, 3a-2b, ab 以及a与b所成角的余弦值,并确定,应满足的条件， 使a+b与z轴垂直. 解 2a+3b=2（3，5，-4）+3（2，1，8） =（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）. 3a-2b=3（3，5，-4）-2（2，1，8） =（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）. ab
6、=（3，5，-4）（2，1，8） = 6+5-32 = -21.,（a+b）（0，0，1）=（3+2，5+，-4+8）（0，0，1）=-4+8=0，即=2，当，满足=2时，可使a+b与z轴垂直.,（365p158页）例1 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算 a与b所成角的余弦值,并确定,应满足的条件， 使a+b与z轴垂直.,探究2,(1)求证：面PAC面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由,题型二 平行和垂直,又PACD，PAACA，CD面PAC，CD面PCD，面PAC面PCD. 6分,解：(1)证明：设PA1
7、，由题意PABC1，AD2.PA面ABCD，PB与面ABCD所成的角为PBA45. 2分AB1，由ABCBAD90，,(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令P(0,0,1)，C(1,1,0),D(0,2,0)，,E是PD的中点，存在E点使CE面PAB，此时E为PD的中点 12分,（365p158页）例2 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F （）证明PA/平面EDB； （）证明PB平面EFD,解：如图建系，D为坐标原点，设（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG，依题意得底面
8、ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且 ，故PA/EG， 而 平面EDB，且 平面EDB，PA/平面EDB,（2）证明；依题意得,故,由已知,且,所以,平面EFD,（365p156页）探究3：在棱长为1的正方体中ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CGCD/4，H为C1G的中点，求证：EFB1C；求EF与C1G所成角的余弦值；求FH的长。,解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，由题意知E(0,0,1/2),F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),G(0,3/4,0),即EFB1C,题型三 夹角与距离,由知,故EF与C1G所成角的余弦值为,H为C1G的中点，H(0，7/8，1/2),又F(1/2，1/2，0),即FH,
