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1、8.6 空间向量及其运算要点梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有 和 的量 叫做空间向量.(2)相等向量：方向 且模 的向量.(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直 线互相 于同一平面的向量.(4)共面向量：的向量.,大小,方向,相同,相等,平行,平行或重合,基础知识 自主学习,2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条 件是.推论 如图所示，点P在l上的充要条 件是：其中a叫直线l的方向向量，tR,在l上取,则可化为,存在实数，使得a=b,（2）共面向量定理的向量表达式：p=，其中x,yR,a,b为
2、不共线向量，推论的表达式为 或对空间任意一点O有,其中x+y+z=1.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z，使得p=，把a,b,c叫做空间的一个基底.,xa+yb,xa+yb+zc,3.空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a，=b，则 叫做向量a与b的 夹角，记作,其范围是,若a,b=,则称a与b,记作ab.两向量的数量积 已知空间两个非零向量a,b,则 叫做向量a,b的数量积,记作,即.,AOB,a,b,0a,b,互相垂直,|a|b|cosa,b,ab,ab=
3、|a|b|,cosa,b,(2)空间向量数量积的运算律 结合律:(a)b=；交换律：ab=;分配律：a（b+c）=.4.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则ab=.（2）共线与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则ab,（ab）,ba,ab+ac,a1b1+a2b2+a3b3,a=b,a1=b1,a2=b2,a3=b3,(R),ab(a,b均为非零向量）.（3）模、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=，cosa,b=.若A（a1，b1，c1），B（a2
4、，b2，c2），则dAB=.,ab=0,a1b1+a2b2+a3b3=0,基础自测1.下列命题中是真命题的是()A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是 异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或 相反 C.若向量，满足 且 与 同向，则 D.若两个非零向量 与 满足+=0，则,解析 A错.因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较,因此也就没有 这种写法.D对.+=0,=-，与 共线，故 正确.答案 D,2.已知空
5、间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，设=a,=b,=c，则 等于()解析,B,3.下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、zR）,则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4,解析 中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当a、b同向时，应有|a|+|b|=|a+b|；中a、b所在直线可能重合；中需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面.答案 C,4.A(1,0,1),B
6、(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点(填共面或不共面).解析=（3，4，5），=（1，2，2），=（9，14，16），即（9，14，16）=（3x+y，4x+2y，5x+2y），,共面,B,题型一 空间向量的线性运算 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）.根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.,题型分类 深度剖析,解（1）P是C1D1的中点，,用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量
7、加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.,知能迁移1 如图，在长方体ABCDA1B1 C1D1中，O为AC的中点.(1)化简：,解,y,题型二 共线、共面向量定理的应用 已知E、F、G、H分别是空间 四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一 点O，有(1）要证E、F、G、H四点共面，可 寻求x,y使
8、（2）由向量共线得到线线平行，进而得到线面 平行.,证明（1）连接BG，则由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.（2）因为所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.,（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.所以，即EH FG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.,在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解.若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a=b关系，即可判定两直线平行，如第（1）（2）问即是
9、如此.,知能迁移2 设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面 直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线 段AA1，BA1，BB1，CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.证明 依题意有,M、N、P、Q四点共面.,(*),题型三 空间向量的模、夹角及数量积（12分）如图所示，已知空间 四边形ABCD的各边和对角线的长都 等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MNAB，MNCD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.把 用，表示出来，然后 计算数量积，求模和夹角.,（1）证明 由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60
10、.,(q+r-p),(q+r-p)p,(qp+rp-p2）,2分,4分,（2）解,(q+r-p),(q+r-p)2,q2+r2+p2+2（qr-pq-rp）,8分,(3)解,(q+r),10分,（1）用基向量解决问题，首先要选取一组基底，该基底的模与夹角应已知或可求.（2）注意两向量夹角与异面直线所成的角的区别与联系.,11分,12分,知能迁移3 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，A1AB=A1AD=120.（1）求线段AC1的长；（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；（3）证明：AA1BD.（1）解 如图所示，设=a，则|a|=|
11、b|=1，|c|=2.ab=0，ac=bc=21cos 120=-1.,=a+b+c.=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+22-2-2=2.（2）解=a+b+c，=b-c，=（a+b+c）（b-c）=ab-ac+b2-bc+bc-c2=1+12-22=-2.,又=（b-c）2=b2+c2-2bc=1+4+2=7.异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为（3）证明 b-a，=c（b-a）=cb-ca=-1-（-1）=0.,题型四 空间向量坐标及坐标运算 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,ab以及a与b所成角的余弦值,并确定
12、,应满足的条件，使a+b与z轴垂直.代入向量坐标运算的公式求2a+3b,3a-2b，ab，利用数量积求a与b的夹角余弦值,利 用（a+b）（0，0，1）=0，确定,的 关系.解 2a+3b=2（3，5，-4）+3（2，1，8）=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）.3a-2b=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）.ab=（3，5，-4）（2，1，8）,=6+5-32=-21.（a+b）（0，0，1）=（3+2，5+，-4+8）（0，0，1）=-4+8=0，即=2，当，满足=2时，可使a+b与z轴垂直.空间向量的
13、坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式.,知能迁移4 已知ABC的顶点A（1，1，1），B（2，2，2），C（3，2，4），试求（1）ABC的重心坐标；（2）ABC的面积；（3）ABC的AB边上的高.解（1）设重心坐标为（x0,y0,z0）,方法与技巧1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是 解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定 理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量 积的性质等.2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或 角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题,在这里,恰当地选取基底可使向量运算简捷,或者是建立
14、 空间直角坐标系,使立体几何问题成为代数问 题，在这里,熟练准确地写出空间中任一点的坐 标是解决问题的基础.,思想方法 感悟提高,失误与防范1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难 度,可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的 代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套.2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一 般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的 长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成 的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意 两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直 问题一般可转化为向量的数量积为零.3.空间向量的加法、减法经
15、常逆用,来进行向量的分解.4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.,一、选择题1.若a,b,c为空间的一组基底，则下列各项中，能 构成基底的一组向量是（）A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b 解析 若c、a+b、a-b共面，则c=(a+b)+m(a-b)=(+m)a+(-m)b,则a、b、c为共面向量，此与a、b、c为空间向 量的一组基底矛盾，故c，a+b，a-b可构成空间 向量的一组基底.,C,定时检测,2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：A.B.C.D.,(),解析 答案 A,3.若向量a=(1,2
16、)，b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余 弦值为，则等于()A.2 B.-2 C.D.解析,C,4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若 a,b,c三向量共面，则实数等于()解析 由题意得c=ta+b=(2t-,-t+4,3t-2),D,5.已知直线AB、CD是异面直线,ACCD,BDCD,且AB=2，CD=1，则异面直线AB与CD所成角的大小 为()A.30 B.45 C.60 D.75 解析,C,6.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在 上 且 N为B1B的中点,则 为()解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标 系Dxyz，则A（a，0，
17、0），C1（0，a，a），设M（x，y，z）,答案 A,二、填空题7.如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若 则=.解析 如图所示,取AC的中点G,连接EG、GF,8.已知a=（1-t，1-t，t），b=（2，t，t），则|b-a|的最小值为.解析 b-a=（1+t，2t-1，0），|b-a|=,9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面给出四个命题:则正确命题的序号是（填写所有正确命题 的序号）.,解析 由三垂线定理知A1CAB1，正确；AD1与A1B两异面直线的夹角为60，但 的夹角为120,注意方向.答案,三、解答题10.证明三个向量a=-e1+3e2+2
18、e3，b=4e1-6e2+2e3，c=-3e1+12e2+11e3共面.证明 若e1、e2、e3共面，显然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面，设c=a+b，即-3e1+12e2+11e3=(-e1+3e2+2e3)+(4e1-6e2+2e3),整理得-3e1+12e2+11e3=(4-)e1+(3-6)e2+(2+2)e3,11.如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|=|MC|，点N在A1D上，且|A1N|=2|ND|，设=a，=b，=c，试用a,b,c 表示.解,12.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.,解(1)因为ab,所以解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为bc,所以bc=0，即-6+8-z=0，解得z=2,于是c=(3,-2,2).（2）由（1）得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设(a+c)与(b+c)所成角为，,返回,
