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1、3.1.2复数的几何意义,知识回顾,1、复数的概念：形如_的数叫做复数，a，b分别叫做它的_。为纯虚数实数非纯虚数2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是_。,a1=a2，b1=b2,a+bi (a，bR),实部和虚部,a=0,b0,b=0,a 0,b0,1. 对 虚数单位i 的规定, i 2=-1；,可以与实数一起进行四则运算.,2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 、 b叫z的 .,实部,虚部,z为实数 、z为纯虚数 .,b=0,练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.2 -i = ；-2i = ；5= ；0= ；3. a=0是z=a
2、+bi(a、bR)为纯虚数的 条件.,必要但不充分,课前复习,特别地，a+bi=0 .,4.已知x、yR， (1)若(2x-1)+i=y-(3-y)i ，则x= 、 y= ； (2) 若(3x-4)+(2y+3)i=0，则x= 、y= .,想一想练一练,在几何上，我们用什么来表示实数?,实数的几何意义,类比实数的表示，可以用什么来表示复数？,实数可以用数轴上的点来表示.,实数,数轴上的点,(形),(数),一一对应,复数的一般形式？,Z=a+bi(a, bR),实部!,虚部!,一个复数由什么唯一确定？,O,思考1 ： 复数与点的对应,X,Y,（） +i ；（） +i；（） i；（） i；（） ；
3、（） i；,思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1),X,Y,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,复数的几何意义（一）,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.,例1.辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,3“a=0”是“复数a+
4、bi (a , bR)所对应的点在虚轴上”的（ ）. (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,2“a=0”是“复数a+bi (a , bR)是纯虚数”的（ ）. (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,C,A,例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
5、在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值.,解：复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），,(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，,m=1或m=-2.,复数z=a+bi,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,复数的几何意义（二）,x,y,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,小结,x,O,z=a+bi,y,复数的绝对值,(复数的模),的几何意义:,Z (a,b),对应平面向量 的模| |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.,| z | = | |,小
6、结,实数绝对值的几何意义:,复数的模其实是实数绝对值概念的推广,x,O,A,a,|a| = |OA|,实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.,例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(2)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(1)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,小结,x,y,O,设z=x+yi(x,yR),满足|z|=5(zC)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,以原点为圆心, 半径为5的圆
7、.,图形:,5,x,y,O,设z=x+yi(x,yR),满足3|z|5(zC)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,3,3,3,3,图形:,以原点为圆心, 半径3至5的圆环内,(1)|z(1+2i)|,(2)|z+(1+2i)|,例5 已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.,点A到点(1,2)的距离,点A到点(1, 2)的距离,(3)|z1|,(4)|z+2i|,点A到点(1,0)的距离,点A到点(0, 2)的距离,已知复数m=23i,若复数z满足等式|zm|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?,以点(2, 3)为圆心,1为半径的圆.,小结:,复数的几何意
8、义是什么？,复数z=a+bi,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,复数的几何意义,复数还有哪些特征能和平面向量类比?,x,o,y,Z1(a,b),Z2(c,d),Z(a+c,b+d),符合向量加法的平行四边形法则.,1.复数加法运算的几何意义?,复数加减法运算的几何意义,x,o,y,Z1(a,b),Z2(c,d),符合向量减法的三角形法则.,2.复数减法运算的几何意义?,|z2-z1|表示什么?,表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离,一、复数和复平面,复数Z=a+bi,复平面内的点Z (a,b),平面向量,一一对应,二.复数的模,1.结论,2.性质,复
9、数的加减法可以按照向量的加减法法则来进行.,二.复数加法与减法运算的几何意义,复数加减法的运算的几何意义,二.复数加法与减法运算的几何意义,2.用复数表示圆心在点P(a,b)，半径为r的圆的方程:,|z - (a+bi)|=r,1.用复数表示圆心在原点，半径为r的圆的方程:,|z| = r,|z - z1|=|z z2 |,4.根据复数的几何意义及向量表示，将椭圆，双曲线分别写成复数方程的形式。,|Z-z1|+|Z-z2|=2a，其中z1,z2为焦点,二.复数加法与减法运算的几何意义,|Z-z1|-|Z-z2| =2a，其中z1,z2为焦点,复平面上曲线方程的形式,表示以,复平面上曲线方程的形式,例题选讲,例1 在复平面内,求满足下列复数形式的方程的动点Z的轨迹.,线段的中垂线,椭圆,双曲线的一支,例题选讲,Z的轨迹是线段AB,A(0,-1),B(0,1),最小值为1.,例题选讲,例5 若复数z满足 ,求 (1) 的最值; (2) 的最值.,(1) 1,3,(3) 3,(2) 4,20,C及其内部各点到原点的距离，要使|Z|取得最大值与最小值的点就是OC与圆C的两个交点。,例题选讲,直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是,
