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1、,第 二 十 九 讲 . 变分法 A.体系的哈密顿量在任一满足物理要求的试探波函数上的平均值必大于等于体系基态能量,B. Ritz 变分法 基本思想：根据物理上的考虑，给出含一组参量的试探波函数 求出能量平均值, 对 ，求极值，从而确定 显然， （基态能量） 例：求氦原子的基态能量(即外有两个电子) 氦原子的哈密顿量为（忽略 ）,从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz 变分法来求基态能量的近似值。 因类氢离子的基态波函数为,则 满足所以，取试探波函数为,显然，于是,Ri
2、tz变分，是由给定 （函数形式给定 ），即 ，仅改变参量 ，使 取极小（但函数形式不变）， 所以只能得到近似的本征函数和本征值的上限。,. 量子跃迁 要处理的问题是：体系原处于 的本征态（或叠加），而后有一与 有关的微扰 作用到该体系。于是体系可能从一个态以一定几率跃迁到另一态，称这一现象为量子跃迁。 处理这样的问题就需要利用含时间的微扰论 （1）含时间的微扰论,与 有关，体系的哈氏量原为 ，随 有一微扰 时，体系处于 的本征态 ，相应的定态为,当然， 仍可按 的定态 展开。但由于 不是 的定态，所以展开系数是与 有关。,于是有,时，体系处于 因此，在 时刻，测量发现体系处于 态的几率为,（2
3、）常微扰下的跃迁率：在某些实验中，在作用时间内,微扰常常是不依赖于 的 （ ）,单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率） 它表明： 跃迁率与时间无关。通常称为Fermi黄金定则; 当 一定大后，跃迁贡献主要是来自同初态能量相同的末态。,B. 周期性微扰下的跃迁率 设：微扰随时间作周期性变化 与t无关 在一级近似下,根据前面分析，当 t 足够大时，引起体系从 的 态发生跃迁到 的 态的总跃迁率，是 . 于是有跃迁率为,C辐射场下原子的跃迁率 当微扰影响较小时，一级近似很好 现考虑原子被置于一个纯辐射场中 在原子区域中，无外电场 。,因 。于是有（电磁场弱，忽略项） 由于满足令,且有 （由于 为实
4、） 在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则 可以证明 即受激辐射和退激发跃迁几率相等。,同样可以证明在 弱辐射场 长波近似 辐射是非极化的（极化各向同性， 等几率）条件下： 单位时间跃迁几率，即跃迁率,其中 为能量密度分布，即光强度分布。 为单位时间通过垂直传播方向上的单位面积的能量分布。,（3）磁共振 均匀磁场 （在Z 方向 ），将使电子的简并态（自旋 ）发生分裂，其能量差其中 当电子吸收一光子 ，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。,A. 跃迁几率和跃迁率 设：有一垂直于静场 的磁场。于是，总磁场为 若振荡场比静场小,电子的总哈密顿量在 表象，即在 表象，中,设 时刻，电子自旋态的本征
5、值为 。在一级近似下，从本征值为 的自旋态跃迁到本征值为 的自旋态的几率,若 为单位频率中的态密度，则总的跃迁几 率为,( 若 t 足够大或 在共振区变化很缓慢 ),所以，单位时间的跃迁几率（ 跃迁率）为,B. 两能级间的震荡 电子的总哈密顿量在 表象，即在 表象中为 设 时刻，电子状态或称自旋态的表示为,于是有,令,所以， 时，有解 时，有解,于是有 普遍解为,其中,若 ，电子处于 本征值为的本征态，其表示即为 则要求,所以，,最后有解,时刻，处于 本征值为 的本征态，其表示即为 的几率为 仍处于 本征值为 的本征态，其表示即为 的几率为,我们直接看到，电子所处的态随时间在这两个态之间以一定的几率震荡。,C. 一级近似公式的精确性 我们能直接看到，在 时，精确解和一级近似解才符合。,8.4 散射 （1） 一般描述： 在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。,
