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1、,第 十九 讲 . 量子体系状态的表示 在几何学中，一个矢量可以用它在某个坐标架中的坐标来描述（现限于正交坐标） 显然，当坐标架给定后,如果有一组力学量 构成一力学量完全集其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性,集合 是与 完全等价的 状态表示的定义：若力学量的完全集 的 共同本征函数组为 ，则 的 全体 ，被称为体系所处态 在表象 中的表示。,对于分立谱：则 在 表象中的表示， 可以用一单列矩阵表示 而归一化,对于连续谱：则 在表象 中的表示 ，它是 的函数,. Dirac符号介绍 一个态矢量可由一组数 表示，但在表示 （或计算） 时，其实已用到态矢量在 表象中的表示及 表象的共
2、同本征矢的表示。,而 事实上，一个描述体系处的状态，并不需要依赖于某一表象，而仅在计算时，才在一个具体表象中进行。 Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态 . （1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket）,量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢量 ，我们称为 Ket 矢以 表示。 为使它可代表不同 Ket 矢，则在这表示中给出特征标志符号。 如态矢量是 的本征矢，它的本征值为 ， 则本征矢可表为 或 中心力场中能量的本征波函数,共轭空间态矢量可以以符号 来表示，称为Bra矢，如,（2）标积： A. 标积定义：矢量 和矢量 的标积为一数，它表示为,B基矢的正交、归一、完备
3、和封闭性， 态矢量的表示 若力学量 形成一力学量完全集，其共同本征态为 ，它们被称为 N 表象的基矢，相应本征值为 。它们是正交、归一和完备的。 正交，归一,完备性： 对任一空间态矢量 ，可表为 称为态矢量 在N表象中的表示,封闭性： 在x表象中， 的表示即为,若 就是N表象的本征矢 ，那在自 身表象中的表示,N表象中的基矢在 表象中的表示即为 而 代表 表象中的基矢（本征值为 )在 N 表象中的表示 这样，在坐标表象中，本征函数组的封闭性就易于了解。,由本征矢 的封闭性： 即,而二个矢量的标积,（3）算符及其表示 A.算符的自然展开：在量子力学中，可观测力学量是以厄密算符表示，其本征方程为
4、则 或,称为算符 的自然展开。 B. 算符的表示 算符 是将一态矢量变为另一态矢量 设： 是一力学量完全集，其正交，归一，完备组基矢为 则,和 分别是态矢量 ， 在表象 中的表示。 而 是将态矢量 表示变到态矢量 表示，所以它起到算符 同样的作用。 的全体称为算符在表象 中的矩阵表示。 显然，计算这一表示，其结果与在那一个表象中计算是无关的,为力学量 在表象 中的算符。 事实上，矩阵 描述了表象 中的本征态，即基矢 ，在算符 作用下，所得到,即 这表明， 表象中的基矢 在 作用下所产生的新的态矢量在表象 中的表示正是算符 在表象 中矩阵表示的第 列元素集合,于是，我们求算符 在某表象中的矩阵表
5、示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得展开系数形成的矩阵转置，即得 在该表象中的表示。,其系数矩阵为： 转置 这即为在表象 中的矩阵表示 显然，算符在其自身表象中的表示为,系数矩阵为， 转置同。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。,例： 给出方程 在 表象中的表示式, 由 ( 由 函数性质 ）,并由此可推论，由于 是任意态，所以在 表象中， 算符的形式为,(4) 不可约张量算符的矩阵元计算简介 A.不可约张量算符的G. Racah定义 若 满足以下的对易关系其中 ，则称 为 秩不可约张量算符。,B.Wigner-Eckart定理 维格纳-埃伽定理：矩阵元 与投影量子数的关系完全包含在C-G系
6、数中证：由则有 它是表示投影量子数的守恒规则。,由 得 （1）,根据投影量子数守恒知，仅当矩阵元才不为零。 我们知 将算符,作用于方程两边，得 于是有,以 标积方程两边，得,与(1)式比较，可见 矩阵元随投影量子数的变化与C-G系数的变化规律是完全一样的。 于是有,C.一秩张量的投影定理证： 由于 为一秩不可约张量算符，所以,从而得 现求, 即同理有,从而有,6.3 表象变换：用Dirac符号给出表象变换特别方便。而且可以看出，在某表象中的表示是不因计算方式不同而不同。 （1） 同一状态在不同表象中的表示间的关系 对于态 在 表象中，其表示为,就是态 在表象 中的表示 在 表象中其表示为 于是
7、，,是将态矢量在 表象中的表示，以 表象中的表示来表达的变换。 构成一矩阵形式,即 矩阵的矩阵元正是 表象基矢与 表象基矢的标积，其第 列，是 表象中第 个基矢在 表象中的表示。,因此， 是一个幺正算符。同一态矢量在不 同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联系起来的。 （2）两表象的基矢之间关系, 基矢的变换是经 来实现,（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系。 与态矢量一样，在不同表象中，力学量的矩 阵表示是不同的. 它们之间的关系也是幺正变换（即由幺正算符进行相似变换） 对于算符在表象中的矩阵表示为,即 总结： 表象 表象 . 对同一波函数在不同表象中表示 是通过一个幺正变换，相应矩阵的矩阵元为,. 基矢 III. 力学量,6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形、 式。 （1）平均值： A.力学量 在体系（处于态 ）中的平均值 设： 构成力学量完全集，共同本征矢为 ， 则,
