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1、线性代数,第二章矩阵及其运算,、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,2、 矩阵加法的运算规律,1、定义,二、数与矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中,例,设,例2,故,解,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是
2、 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,注意矩阵不满足交换律，即：,例 设,则,但也有例外，比如设,则有,例3 计算下列乘积：,解,解,=(,）,解,例4,由此归纳出,用数学归纳法证明,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,所以对于任意的 都有,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,转置矩阵的运算性质,例5 已知,解法1,解法2,2、方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,例6 设列矩阵 满足,证明,例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵 的伴随矩阵.,4、共轭矩阵,故,同理可得,运算性质,（设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,
