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1、3.2 利息公式,（一）相关概念,1、利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用“I”表示。,2、利率利息递增的比率，用“i”表示。,计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用“n”表示。,3.2 利息公式,3.2.1利息的种类,1、单利计息,1. 单利每期均按原始本金计息（利不生利）,设：I利息 P本金 n 计息期数 i利率 F 本利和,则有,例题1：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,年初欠款,年末应付利息,年末欠款,年末偿还,1,1000,1000 0.06=60,1060,0,2,1060,1000 0.06=60,1120,0,3
2、,1120,1000 0.06=60,1180,0,4,1180,1000 0.06=60,1240,1240,3.2 利息公式,2、复利,将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为复利（计息）利滚利,P(1+i)2,P(1+i)n-1,P(1+i)n,1,P,Pi,P(1+i),2,P(1+i),P(1+i) i,n1,P(1+i)n-2,P(1+i)n-2 i,n,P(1+i)n-1,P(1+i)n-1 i,例题2：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,1000,1000 0.06=60,1060,0,1060,1060 0.06
3、=63.60,1123.60,0,1123.60,1191.02,0,1191.02,1262.48,1262.48,1123.60 0.06=67.42,1191.02 0.06=71.46,（二）现金流量图（cash flow diagram),描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。,是资金时间价值计算中常用的工具,大 小,流 向,时间点,现金流量图的三大要素,（二）现金流量图（cash flow diagram),1、水平线是时间标度，每一格代表一个时间单位（年、月、日），第n 格的终点和第n +1格的起点是相重合的。,2、箭头表示现金流动的方向，向下
4、的箭头表示支出（现金的减少），向上的箭头表示现金收入（现金的增加），箭头的长短与收入或支出的大小成比例。,3、现金流量图与立脚点（着眼点）有关：如贷款人的立脚点，或者借款人的立脚点。,300,400,时间,200,200,200,1 2 3 4,现金流入,现金流出,0,（二）现金流量图（cash flow diagram),注意：第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。 立脚点不同，画法刚好相反。 净现金流量 = 现金流入 现金流出现金流量只计算现金收支(包括现钞、转帐支票等凭证)，不计算项目内部的现金转移(如折旧等)。,3.2.3复利计算公式,1、一次支付复利公式,案例,1、一次支付复利公式
5、,第一年年初,第一年年末,第二年年末,第n年年末,P,P +Pi=P(1+i),P (1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2,P(1+i)n,1、一次支付复利公式,在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则到第四年年末可得本利和若干？,分析,2、一次支付现值公式,案例,2、一次支付现值公式,为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%计算，现在必须投资多少？,分析,3、等额支付系列复利公式,案例,3、等额支付系列复利公式,A,1,累 计 本 利 和 （ 终 值 ）,等额支付值,年末,2,3,A,A,n,A,A,A+A(1+i),A+A(1+i)+A(1+i)2,A1+(1+i)+(1
6、+i)2+(1+i)n-1=F,3、等额支付系列复利公式,即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1) 以(1+i)乘(1)式,得F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) ，得 F(1+i) F= A(1+i)n A,3、等额支付系列复利公式,连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末累积借款若干？,分析,4、等额支付系列积累基金公式,案例,4、等额支付系列积累基金公式,如果要在第5年年末得到资金1000元，按年利率6%计算，从现在起连续5年每年必须存储若干？,分析,5、等额支付系列资
7、金恢复公式,案例,根据,5、等额支付系列资金恢复公式,5、等额支付系列资金恢复公式,如果现在以年利率5%投资1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可以等额提取若干？,分析,6、等额支付系列现值公式,案例,6、等额支付系列现值公式,按年利率6%计算，为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润，现在应投资若干？,分析,7.均匀梯度系列公式,A1,（1）,（3）,（2）,图（2）的将来值F2为:,F2=G（F/A,i,n1）+G（F/A,i,n2）+ + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1）,=,G,梯度系数（A/G,i,n）,注：如支付系列为均匀减
8、少，则有 A=A1A2,8.运用利息公式应注意的问题,1、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初（期初惯例）；,2、方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末（期末惯例）；,3、本年的年末即是下一年的年初；,4、P是在当年度开始时发生；,5、F是在当年以后的第n年年末发生；,6、A是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当现金流量系列包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生。,3.2.4名义利率和有效利率,名义利率和有效利率的概念。,当利率的时间单位与计息期不一致时，,有效利率资金在计息期发生的实际利率。,例如：每
9、半年计息一次，每半年计息期的利率为3%， 则 3%（半年）有效利率,如上例为 3%2=6% （年）名义利率,1、离散式复利,按期（年、季、月和日）计息的方法 如果名义利率为r，一年中计息n次，每次计息的利率为r/ n，根据一次支付复利系数公式， 年末本利和为： F=P1+r/nn 一年末的利息为： P1+r/nn P 按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：,例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%，每季度计息一次，求10年末的将来值。,每季度的有效利率为8%4=2%，用年实际利率求解:年有效利率i为： i=（ 1+ 2%）41=8.2432% F=1000（F/P，8.243
10、2%，10）=2208（元）用季度利率求解: F=1000（F/P，2%，40）=10002.2080=2208（元）,解：,例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为( )元。 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172,F=1000(F/P,1%,43) =1000(F/P,1%,12) =1127元,答案: C,解:,例: 已知某项目的计息期为月,月利率为8 ,则项目的名义利率为( ) 。 A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6解:,所以 r=128 =96 =9.6%,答案: C,2、连续式复利,按瞬时计息的方式称为
11、连续复利。在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：,式中：e自然对数的底，其数值为2.71828,名义利率和有效利率,下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率：,名义利率的实质：当计息期小于一年的利率化为年利率时，忽略了时间因素，没有计算利息的利息 。,名义利率和有效（年）利率的应用：计息期与支付期相同可直接进行换算求得计息期短于支付期运用多种方法求得计息期长于支付期按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计息期分界点处的支付保持不变。,3.3、等值(Equivalent Value)的计算,在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果
12、相同，就称这两个方案是等值的。,例如，在年利率6%情况下，现在的300元等值于8年末的300 (1+0.06)8 =478.20元。这两个等值的现金流量如下图所示。,同一利率下不同时间的货币等值,3.3 、等值(Equivalent Value)的计算,货币等值是考虑了货币的时间价值。 即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等； 反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。,货币的等值包括三个因素,金额,金额发生的时间,利率,在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在方案评价、比较中广泛应用。,3.3.1 计息期为一年的等值计算,从利息表上查到，当n=9，1.750落在
13、6%和7%之间。,6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839,从,用直线内插法可得,相同,有效利率,名义利率,直接计算,例：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？,解： F=P(F/P,i,n),525=300(F/P,i,9),(F/P,i,9)=525/300=1.750,计算表明，当利率为6.41%时，现在的300元等值于第9年年末的525元。,例：当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000 等值？,A=F（A/F,8%,6）=10000 0.1363=1363 (元/年)计算表明，当利率为8%时，从现在起连续6年1363 元
14、的年末等额支付与第6年年末的10000 等值。,解：,例：当利率为10%时，从现在起连续5年的年末等额支付为600元，问与其等值的第0年的现值为多大？,解： P=A(P/A,10%,5)=2774.59元 计算表明，当利率为10%时，从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274.50元是等值的。,3.3.2 计息期短于一年的等值计算,1.计息期和支付期相同 例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？ 解：每计息期的利率,（每半年一期）,n=(3年) (每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100 4
15、.9173=491.73元计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491.73元的现值是等值的。,例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。,解： 现在 99.80=2000（A/P，i,24） （A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499,查表，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一个月，所以月有效利率为1.5%。,名义利率 ： r=(每月1.5%） （12个月）=18%,年有效利率：,2.计息期
16、短于支付期,例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？,第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：,将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）,A=F （A/F，3%，4） =1000 0.2390=239元,239,F=？,季度,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,经转变后计息期与支付期重合（单位：元）,F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392元,第二种方法：,把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出
17、每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果,FP，3，8 FP，3，4 F=1 000(1267)+1 000(1126)+l 000=3 392元,式中，第一项代表第1年年末借的1000元将计息8次；第二项代表第2年年末借的1 000元将计息4次；最后一项代表第3年年末借的1 000元。,第三种方法：,将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。,年有效利率是,由此可得 FA，1255 %，3F=1000( 33923 )=3392元,通过三种方法计算表明，按年利率12%，每季度计息一次，从现在起连续三年的1000元等额年末借款与第三年年末的3392元等值。,计
18、息期长于支付期,通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息，这就是说，在计息期间存人的款项在该期不计算利息。要到下一期才计算利息。因此，计算期间的存款应放在期末，而计算期间的提款应放在期初。,假如有一项财务活动，其现金流量如图所示。试求出按季度计息的等值现金流量,FP，2%，4 FP，2，3F=(400200)( 1. 082 )-100( 1. 061)+ FP，2，2(30050)( 1040 )+100=26230元,例:假定现金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各获得80元。按年利率5计息，与此
19、等值的现金流量的现值P为多少？,解：P=300(P/F,5%,6) 60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8) 210(P/F,5%,13) +80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14) =3000.716260 3.5456 0.6768210 0.5303 +80 2.7232 0.5051 =369.16 也可用其他公式求得 P=300(P/F,5%,6) 60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12) 210(P/F,5%,13) +80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17) =3000.746260 4.3101 0.5568210 0.5303 +80 3.153 0.4
20、363 =369.16,例: 求每半年向银行借1400元，连续借10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按: 1）年利率为12； 2）年利率为12，每半年计息一次 3）年利率12，每季度计息一次，这三种情况计息。,解：,1）计息期长于支付期,F=14002（F/A,12，10）49136 （元）,2）计息期等于支付期,F=1400(F/A,12%2，102）51500 （元）,3）计息期短于支付期,F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410） 52000 （元）,作业,2、3（b、d）、4（b、d）、5（b、d）、6（b、e）、7（a、c）、8（a、d）、9（a、c）、12、14、16、20,
