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1、第七章 常微分方程初值问题数值解法,数值分析,16:36:29,Numerical Analysis,2,本章内容,欧拉法欧拉公式两步欧拉公式梯形法改进欧拉法龙格-库塔法基本思路二阶、三阶龙格-库塔法经典龙格-库塔法隐式龙格-库塔法,线性多步法亚当斯法亚当斯预报-校正公式误差修正法收敛性与稳定性微分方程组和高阶微分方程,16:36:29,Numerical Analysis,3,简单的数值方法与基本概念,科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题. 这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一阶方程的初值问题,我们知道，只有f(x, y)适当光滑譬如关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件,
2、理论上就可以保证初值问题的解yf(x)存在并且唯一.,16:36:29,Numerical Analysis,4,虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.,所谓数值解法, 就是寻求解y(x)在一系列离散节点,上的近似值 y1,y2,yn,yn+1,. 相邻两个节点的间距hn=xn+1-xn称为步长. 今后如不特别说明，总是假定 hi=h(i=1,2,)为定数, 这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,) (等距节点).,16:36:29,Numerical Analysis,5,初值问题的数值解法有个基本
3、特点，他们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 描述这类算法，只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.,首先，要对微分方程离散化，建立求解数值解的递推公式. 一类是计算yn+1时只用到前一点的值yn，称为单步法. 另一类是用到yn+1前面 k 点的值yn,yn-1, yn-k+1，称为k步法. 其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解yn与精确解y(xn)的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题.,16:36:29,Numerical Analysis,6,欧拉法,16:36:29,Numerical Analysis,7,
4、16:36:29,Numerical Analysis,8,16:36:29,Numerical Analysis,9,16:36:29,Numerical Analysis,10,2 欧拉法数学推导 ：数值微分（用差商代替导数 ）,设,等距，步长,令x=xn , x+h=xn+1 , y(xn)yn ，y(xn+1 ) yn+1 ,初值问题离散化为,(欧拉公式),16:36:29,Numerical Analysis,11,例7-1 用欧拉公式求解初值问题,解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为,其中xn=nh=0.1n (n=0,1,10), 已知y0 =1, 由此式可得,16:36:
5、29,Numerical Analysis,13,依次计算下去，部分计算结果见下表.,与准确解 相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.,16:36:29,Numerical Analysis,14,局部截断误差和阶： 数值公式的精度定义 局部截断误差：假设第n步是准确的，即y(xn )=yn，将y(xn+1 ) - yn+1定义为数值方法的局部截断误差。 由于实际上yn不是准确值，因此它的误差会传播下去。实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。定义 若局部截断误差为O(hp+1), p为正整数，则称数值公式是p阶公式。,16:36:29,Numerical Analysis,15,欧拉公式的截
6、断误差是O(h2)，公式是1 阶的。,二阶泰勒公式,两式相减，由设 yn=y(xn ) ，有,欧拉公式的局部截断误差和阶,16:36:29,Numerical Analysis,16,隐式（后退）欧拉公式,16:36:29,Numerical Analysis,17,两步欧拉公式,16:36:29,Numerical Analysis,18,16:36:29,Numerical Analysis,19,梯形法,对微分方程y=f(x,y) 两边求xn到xn+1 的定积分，有,利用梯形公式计算积分，有,将y(xn ) 、y(xn+1 )分别用yn、yn+1 代替，构造数值公式,16:36:29,N
7、umerical Analysis,20,改进的欧拉法(预报-校正公式) 欧拉法 ，显式，计算量小，精度低。梯形公式 是隐式公式 ,计算量大，精度高。 实际计算时，将二者综合之，先用欧拉公式计算出yn+1作为初始值,初始值精度不高，取作预报值，代入梯形公式，得到校正值yn+1。写成预报-校正公式,16:36:29,Numerical Analysis,21,预报-校正公式又常常写成一步嵌套显式形式,或写成平均化形式,预报-校正公式的局部截断误差y(xn+1)- yn+1=O(h3),16:36:29,Numerical Analysis,22,16:36:29,Numerical Analys
8、is,23,取步长h=0.1，有,n=0,16:36:29,Numerical Analysis,24,龙格-库塔（Runge-Kutta)法 基本思想 二阶龙格-库塔法 经典龙格-库塔法,16:36:29,Numerical Analysis,25,龙格-库塔（Runge-Kutta)法,16:36:29,Numerical Analysis,26,16:36:29,Numerical Analysis,27,16:36:29,Numerical Analysis,28,16:36:29,Numerical Analysis,29,16:36:29,Numerical Analysis,30
9、,经典（四阶）龙格-库塔法 仿照上述的讨论，可导出四阶经典龙格库塔公式,经典龙格库塔公式每步要四次计算函数值，具有四阶精度，局部截断误差是O(h5) .,16:36:29,Numerical Analysis,31,16:36:29,Numerical Analysis,32,然而值得指出的是，龙格-库塔方法的推导基于泰勒展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性质. 反之，如果解的光滑性差，那么，使用龙格-库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法. 实际计算时，我们应当针对问题的具体特点选择合适的算法.,16:36:29,Numerical Analysis,33,16:36:29,Numerical Analysis,34,线性多步法,(n=0,1, ),其中, xn+i= x0+(n+i)h, fn+i = f(xn+i , yn+i),局部载断误差,Adamas显格式: yn+2=yn+1+h(3fn+1- fn)/2 yn+3=yn+2+h(23fn+2- 16fn+1 +5fn)/12,16:36:29,Numerical Analysis,35,y = f (x, y),在区间xn , xn+1上插值,f(x)(xn+1x)fn + (xxn)fn+1 / h,二阶Adamas显格式: yn+2=yn+1+h(3fn+1- fn)/2,
