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1、1 Eulers Method,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法/*implicit Euler method*/,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。,Hey!Isnt the leading term of the local truncation error of Eulers method?Seems that we can make a good use of it,1 Eu
2、lers Method,梯形公式/*trapezoid formula*/,显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式/*midpoint formula*/,假设，则可以导出即中点公式具有 2 阶精度。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-step method*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-step method*/。,1 Eulers Method,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计
3、算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?,Do you think it possible?,Well,call me greedy,OK,lets make it possible.,改进欧拉法/*modified Eulers method*/,注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector method*/。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递
4、推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,1 Eulers Method,2 龙格-库塔法/*Runge-Kutta Method*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,2 Runge-Kutta Method,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1:将 K2 在(xi,yi)点作 Taylor 展开,Step
5、 2:将 K2 代入第1式，得到,2 Runge-Kutta Method,Step 3:将 yi+1 与 y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有 个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和 ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,2 Runge-Kutta Method,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*Classical Runge-Kutta Method*/：
6、,2 Runge-Kutta Method,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,HW:p.202#1,2,2 Runge-Kutta Method,2 Runge-Kutta Method,3 收敛性与稳定性/*Convergency and Stability*/,收敛性/*Convergency*/,例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x=xi=i h，有,3 Convergency and Stability,稳定性/*Stability*/,
7、例：考察初值问题 在区间0,0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.0000 4.00008.0000 1.6000101 3.2000101,1.00002.5000101 6.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,What is wrong?!,3 Convergency and Stability,一般分析时为简单起见，只
8、考虑试验方程/*test equation*/,常数，可以是复数,3 Convergency and Stability,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,3 Convergency and Stability,例：隐式龙格-库塔法,而显式 1 4 阶方法的绝对稳定区域为,其中2阶方法 的绝对稳定区域为,无条件稳定,HW:p.202#6,4 线性多步法/*Multistep Method*/,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似y(xi+1)。,其通式可写为：,当 10 时，为隐式公式;1=0 则为显式公式。,基于数值
9、积分的构造法,4 Multistep Method,亚当姆斯显式公式/*Adams explicit formulae*/,Newton插值余项,/*显式计算公式*/,局部截断误差为：,例：k=1 时有,4 Multistep Method,注：一般有，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi,fik 各项的系数均可查表得到。,Misprint on p.204,4 Multistep Method,亚当姆斯隐式公式/*Adams implicit formulae*/,小于Bk,较同阶显式稳定,4 Multistep Method,亚当姆斯预测-校正系统/*Adams predictor-co
10、rrector system*/,Step 1:用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值；,Step 2:用Adams 显式计算预测值；,Step 3:用同阶Adams 隐式计算校正值。,注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta 法配合4阶Adams 公式。,4阶Adams隐式公式的截断误差为,Predicted value pi+1,Modified value mi+1,Corrected value ci+1,Modified final value yi+1,外推技术/*extrapolation*/,4 Multistep Method,Adams 4
11、th-Order predictor-corrector AlgorithmTo approximate the the solution of the initial-value problemAt(N+1)equally spaced numbers in the interval a,b.Input:endpoints a,b;integer N;initial value y0.Output:approximation y at the(N+1)values of x.Step 1 Set h=(b a)/N;x0=a;y0=y0;Output(x0,y0);Step 2 For i=
12、1,2,3 Compute yi using classical Runge-Kutta method;Output(xi,yi);Step 3 For i=4,N do steps 4-10Step 5;/*predict*/Step 6;/*modify*/Step 7;/*correct*/Step 8;/*modify the final value*/Step 9 Output(xi+1,yi+1);Step 10 For j=0,1,2,3 Set xi=xi+1;yi=yi+1;/*Prepare for next iteration*/Step 11 STOP.,应为(ci+1 pi+1),但因ci+1 尚未算出，只好用(ci pi)取代之。,
