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1、3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法.3.2 刚性系统的特点及算法.3.3 实时仿真法.3.4 分布参数系统的数字仿真.3.5 面向微分方程的仿真程序设计.本章小结.,第三章 数值积分法在系统仿真中的应用,3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法,1.数值积分法,如果已知某一系统的一阶向量微分方程为,对式子(3.1),数值积分可写成统一的公式,（3-1）,（3-2）,几种常用的积分法,欧拉法,欧拉法的几何意义,改进的欧拉法,亚当斯法(隐式),龙格-库塔法,亚当斯法(显式),误差,t,欧拉法虽然计算精度较低，实际中很少采用，但器推倒简单，能说明旧够数值解法一般计算公式的基本思想。,（3-3）,图
2、3.1 矩形近似及其误差,0,欧拉法,t,图3.2 欧拉折线,欧拉法的几何意义 十分清楚。,称为欧拉折线法。,欧拉法的几何意义,图3.3 梯形近似及其误差,在推导时用图中的阴影面积来近似式(3.3)时，由于梯形公式中隐含有待求量，通常可用欧拉法启动初值，算出近似值，然后带如微分方程，最后利用梯形公式求出修正。为提高精度，简化计算，只迭代一次。这样可得改进的欧拉公式：,t,0,（3-8）,第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。,改进的欧拉法,龙格-库塔（RK）法的一般形式为,（3-10）,（3-9）,式中,泰勒级数,龙格-库塔法,（3-11）,而,4阶龙格-库塔法式使用较多的一种方法，其公式如
3、下,在解决积分问题时，采用亚当斯-贝喜霍斯显示多步法，简称亚当斯法。,根据牛顿后插公式,（3-25）,（3-26）,亚当斯法(显式),亚当斯多步法的计算公式是,（3-27）,（3-28）,其中,（k=1时可得欧拉公式）,当k=2时，得到亚当斯多步法的计算公式，(3-28)式各系数为,（3-29）,故可得三阶亚当斯公式,整理上式得,（3-30）,牛顿前插公式为,（3-32）,（3-31）,亚当斯法(隐式),（3-35）,（3-34）,常用的四阶亚当斯预测-校正法的计算公式为,仿照显式多法的推倒过程，得亚当斯-摩尔顿隐式多步法的计算公式,（3-33）,3.2 刚性系统的特点及算法,一个刚性系统可以
4、这样描述，对于n阶微分方程组,作为系统刚性程序的度量。,（3-36）,当 时，系统为刚性系统，或称为stiff系统。对与这样的系统作做数字仿真，其最大的困惑是：积分步长由最大的特征值来确定，最小的特征值决定数值求解总的时间。,刚性系统在时间中的普遍性和重要性已得到广泛的重视，这种方程的数值解已成为常微分方程的数值研究的重点。,目前解刚性方程的数值方法基本分为：,显式公式,隐式公式,预测校正,显式公式常用雷纳尔法。其中着眼点是，在保证稳定的前提下，尽可能地扩大稳定区域。这一方法的优点是，它是显式的，所以便于程序设计。对一般好的方程设计。对一般条件好的方程，它就还原为四阶龙格-库塔方法，而对刚性方
5、程它又有增加稳定性的好处。,众所周知，隐式公式都是稳定的，故都大于解描述刚性系统的方程组，如隐式的龙格-库塔法。但这种方法每计算一步都要进行迭代，故计算量大。在工程上使用又一定捆年。因此在解刚性方程时，常Rosenbrock提出的半隐式龙格-库塔法。,预测-校正型中常用的解刚性方程的方法式Gear算法。Gear首先应引进刚性稳定性的概念，它可以满足稳定型，而减低对h的要求。Gear方法是一格通用的方法，它不但使用于解刚性方程组，而且也适用于解非刚性方程组。,3.3 实时仿真法,假设仿真的连续动力学由非线形常微分方程描述为：,（3-37）,（3-38）,对(3-37)式采用二阶龙格-库塔公式求解
6、，其递推方程可写为,F为函数，外部输入为u(t)。,图3.6 RK-2 的计算流程,（1）选择Adams多步法。（2）合理地选择龙格-库塔法计算公式中的系数，使之适用于实时仿真。,为了适用于实时仿真计算，一般经常采用以下方法：,（3-39）,1,图3.6 实时RK-2 的计算流程,其流程图如图3-7：,（3-40）,下面为一个高阶的龙格-库塔法计算公式,（3）利用已经取得的值进行外推。,（3-41）,采用外推算法不仅会带来附加的误差，还要增加计算量，所以比较下来还是选择实时算法为佳。,本章小结,(2)在系统仿真中，常用的微分方程的数值积分发有欧拉法、龙格-库塔法和线性等分法等。数值积分法的分类
7、方式很多，常见的有：单步法和多步法，显式和隐式的分法。使用这些解法时，要注意其特点。,(1)系统的动态特性通常是用高阶微分方程或一阶微分方程组来描述的。一般讲只有极少微分方程能用初等方法求得其解析解，多数只能用近似数值求解。利用计算机求解微分方程主要使用数值积分法，它是系统仿真的最基本解法。本章重点讨论了数值积分发在系统仿真中的应用问题。,(3)实时仿真解法是半实物仿真所必须满足的条件，但并非所有的解法都适用于实时解法。应用时，必须仔细选择能满足实时要求的解法和公式。(4)有相应一类动力学系统无法用常微分法来描述，而要用偏微分方程法来描述。例如，热传导问题、振动问题等，这类系统被称为分布参数系统。这类系统的数值求解更难，主要的解法有差分解法和线上求解法。,本章小结,
