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1、第二章 整式和分式,第一节 整式,1. 整式的加减运算: 合并同类项 .,一. 整式的运算,2. 整式的乘法运算: 乘法公式 .,被除式 = 商式 除式+ 余式,3. 整式的除法运算:,二. 多项式的因式分解,1. 提公因式法,2. 公式法: ( 乘法公式从右到左 ),3. 二次三项式的十字相乘法,第二节 分式,分式的基本性质 分子和分母同乘以 ( 或同除以 ) 同一个不为零的式子, 分式的值不变 .,用基本性质可将分式化为最简分式 ( 既约分式 ),二. 分式的运算,1. 分式的加减法运算: 通分母后 , 分母不变 , 分子相加减 .,2. 分式的乘除法运算: 乘法运算 : 分子乘分子 ,
2、分母乘分母 . 除法运算 : 化为乘法运算 .,例1. 多项式 f (x) = x3 + a2 x2 + a x 1 能被 x + 1 整除 . (1) a = 1 (2) a = 2 .,x2,+ ( a2 1) x, ( a2 a 1),a = 1 或 a = 2,选 D,例1. 多项式 f (x) = x3 + a2 x2 + a x 1 能被 x + 1 整除 . (1) a = 1 (2) a = 2 .,f (x) = x3 + a2 x2 + a x 1 = ( x + 1 ) 商式,f ( 1 ) = 1 + a2 a 1 = 0,a2 a 2 = 0,( a 2 ) ( a
3、+ 1 ) = 0,a = 1 或 a = 2,选 D,例2. 多项式 f (x) 除以 h (x) 的余式为 x + 3.,(1),由 (1) ：,x2, x,+ 1,0,(1) 不充分,例2. 多项式 f (x) 除以 h (x) 的余式为 x + 3.,(2),除以 h (x) 的商式为 x + 1,(1),若 (2) 充分，则有：,既：,x2,+ x,+ 1,0,(2) 充分，选 B,例3 已知多项式 2 x4 x3 6 x2 x + 2 因式分解为 ( 2 x 1 ) q (x) ,则 q (x) 等于,x3,+ 0, 3x, 2,0,则 q (x) = x3 3 x 2,例4 已知
4、多项式 f (x) 除以 x + 2 所得的余数为 1；除以 x + 3 所得的余数为 1，则多项式 f (x) 除以 ( x + 2) ( x + 3) 所得的余式为,f (x) = ( x + 2) 商式1 + 1,f (x) = ( x + 3) 商式2 1,f (x) = ( x + 2) ( x + 3) 商式3 + 余式,f (2) = 1,f (3) = 1,f (x) = ( x + 2) ( x + 3) 商式3 + ( ax + b ),f (2) = 2 a + b = 1,f (3) = 3 a + b = 1,a = 2 , b = 5,余式为： 2 x + 5,例5
5、. (2010年春季试题17) 二次三项式 是多项式 的一个因式 （1） a = 16 (2) b = 2,2 x2, x,+ (13 a),选 E,例6. (2010年试题7) 多项式 的两个因式是 x 1 和 x 2 则其第三个因式为（ ）A. x 6 B. x 3 C. x + 1 D. x + 2 E. x + 3, 3,x,0,选 B,例7. (2009年春季试题17) 与 的积不含 x 的一次方项和三次方项 （1） (2),选 B,例8. (2008年春季试题13) 若多项式 能被 x 1 整除，则实数 a = （ ）A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 2 或 1 E. 2
6、 或 1,选 E,多项式 f (x)= 3x3 + 2x2 7x + m 可分解为 f (x)=(x 1)( x + 2)(3x 1)的形式。 (1) f (1) = 0 (2) m = 2,练习题四,( 2 x3 5 x2 + 3 x 2 ) (x + 1 + 2 x2 ) = ( ) A. x + 1 B. x 1 C. x 2 D. x 1 E. x + 3,3.多项式 x2 + x + m 能被 x + 5 整除，则此多项式也能被下列多项式整除的是（ ） A. x6 B. x6 C. x4 D. x4 E. x2,4.设 a x3 + b x2 + c x + d 能被 x2 + h2
7、 ( h 0 ) , 则 a , b , c , d 的 关系为: A. ab = cd B. ac = bd C. ad = bc D. a + b = cd E. 以上都不正确,多项式 f (x)= 3x3 + 2x2 7x + m 可分解为 f (x)=(x 1)( x + 2)(3x 1)的形式。 (1) f (1) = 0 (2) m = 2,(1) f (1) = 0,3 + 2 7 + m = 0,m = 2,f (x)= 3x3 + 2x2 7x 2 = ( x 1 ) ( ax2 + bx + c ),3x2,+ 5x, 2,(1) 不充分,(2) m = 2,f ( x )
8、 = ( x 1 ) ( 3x2 + 5x 2 ),( 2 ) 充分 选 B,( 2 x3 5 x2 + 3 x 2 ) (x + 1 + 2 x2 ) = ( ) A. x + 1 B. x 1 C. x 2 D. x 1 E. x + 3,x, 2,选 C,3.多项式 x2 + x + m 能被 x + 5 整除，则此多项式也能被下列多项式整除的是（ ） A. x6 B. x6 C. x4 D. x4 E. x2,多项式 f ( x ) = x2 + x + m 能被 x + 5 整除, 有,f ( 5 ) = 25 5 + m = 0,m = 20,f ( x ) = x2 + x 20
9、 = ( x + 5 ) ( x 4 ),选 C,4.设 a x3 + b x2 + c x + d 能被 x2 + h2 ( h 0 ) , 则 a , b , c , d 的 关系为: A. ab = cd B. ac = bd C. ad = bc D. a + b = cd E. 以上都不正确,ax,+ b,选 C,第三章 方程和不等式,1. 一元二次方程： a x2 + b x + c = 0 ( a 0 ),(1) 根的判别式 ： = b2 4 a c,(2) 求根公式：,(3) 二次三项式的分解： a x2 + b x + c = a ( x x1 ) ( x x2 ),(4)
10、根与系数的关系：,(5) 二次函数 f (x) = a x2 + b x + c ( a 0 )的图象：, 0, = 0, 0,2. 二次不等式： a x2 + b x + c ( a 0 ), 0, 0, 0,a x2 + b x + c = a ( x x1 ) ( x x2 ),(1) 若 a x2 + b x + c = a ( x x1 ) ( x x2 ) 0 , 则 : Min x1 , x2 x Max x1 , x2 ,(2) 若 a x2 + b x + c = a ( x x1 ) ( x x2 ) 0 , 则 : x Max x1 , x2 ,3. 列方程求解应用问题：
11、 (1) 比、比值、百分比、百分率等 (2) 路程、速度、时间 (3) 工作效率 (4) 其它形式的应用问题,例1 不等式 x2 5 x 6 的解集,x2 5 x 6 0,( x 6 ) ( x + 1 ) 0,x 6 或 x 1,则,方程： 2 x2 + 3 x m = 0,设：f (x) = 2 x2 3 x + m,既： 2 x2 3 x + m = 0,f (x) 的图象如下所示：,f (1) = 2 3 + m 0,f (2) = 8 6 + m 0, = 9 8 m 0,f (0) = m 0,m 1,m 2,m 0,选 D,例4 已知不等式 2 x2 + 5 x + c 0 的解
12、为： , 则 c =,2 x2 + 5 x + c 0,2 x2 5 x c 0,例5 若不等式 x2 + 2 ( k 1 ) x + ( 1 k ) 0 对任意实数 x 都成立，则 k 的取值范围为？, = 4 ( k 1 )2 + 4 ( 1 k ) 0,k2 3 k + 2 0,( k 2 ) ( k 1 ) 0,1 k 2,例6 方程 4 x2 4 ( m 1 ) x + m2 = 7 的两根之差的绝对值大于2 . (1) 1 m 2 (2) 5 m 2,方程为： 4 x2 4 ( m 1 ) x + m2 7 = 0,选 D,例7 若方程 有两个正根，求 m 的取值范围？,解：,有两
13、个根：,两个正根：,m应满足：,取值范围：,8 某校有若干女生住校，若每间房住4 人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）.,A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 E. 8,分析：设女生宿舍的房间数为 x , 则,解得:,选 C,分析：设甲乙两站相距 S公里, 则,解得,选 D,10某项工程 8 个人用 35 天完成了全工程量的 , 如果再增加 6 个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ） A. 18 B. 35 C. 40 D. 50 E. 60,8 个人的工作效率：,每 个人的工作效率：,14 个人的工作效率：,剩余工作量：,还
14、需天数：,选 C,例11. (2008年春季试题6) 一元二次函数 x ( 1 x ) 的最大值为（ ）A. 0.05 B. 0.10 C. 0.15 D. 0.20 E. 0.25,选 E,例12. (2008年春季试题8) 若方程 的一个根是另一个根的 2 倍，则 p 和 q 应满足（ ）A. B. C. D. E. 以上均不对,选B,例13. (2008年秋季试题 21 )方程 的一个根大于1，另一个根小于1.（1）a 3 （2）a 0,选 D,例14. (2009年春季试题 8 )某学生在解方程 时，误将式中的 x + 1 看成 x 1 ，得出的解为 x = 1 ，那么 a 的值和原方
15、程的解应是（ ）,练习题五,1.已知 p 0，q 0，则一元二次方程 x2 + p x + q = 0 ( ).A. 一定有一个正实根和一个负实根，并且正实根的绝对值大B. 一定有一个正实根和一个负实根，并且负实根的绝对值大C一定有两个实根，它们互为相反数 D无实根 E有两个相等的实根,2.方程 2 x2 + 3 x + 5 m = 0 的一个根大于 1，另一根小于 1。 （1）m 1 （2）m -1,3. a + b = 14,(1) 关于 x 的不等式 a x2 + b x + 2 0 的解集是,(2) 关于 x 的不等式 a x2 + b x + 2 0 的解集是,4. 若方程 2x2
16、(a +1) x + a +3 = 0 且的两根之差的绝对值为1，则 a 的值是,(A) 9或3 (B) 9或3 (C) 9或3 (D) 9或3 (E) 9或2,5. 实数 k 的取值范围是(, 2) ( 5 , +) (1) 关于 x 的方程 kx + 2 = 5x + k 的根为负实数. (2) 抛物线 y = x2 2kx + (7k 10 ) 位于x 轴上方。,6. 一列火车长120米，以60公里/小时的速度进入隧道至完全使出隧道，总共用了5分钟，则隧道的长为：A. 180米 B. 5000米 C. 300米 D. 2440米 E. 4880米,8. 某项工程：甲、乙两工程队合作3小时
17、, 可完成全部工程的30%, 若乙队单独工作10小时可完成总工程的50%；则甲单独完成总工程需A. 10小时 B. 15小时 C. 20小时 D. 25小时 E. 30小时,1.已知 p 0，q 0，则一元二次方程 x2 + p x + q = 0 ( ).A. 一定有一个正实根和一个负实根，并且正实根的绝对值大B. 一定有一个正实根和一个负实根，并且负实根的绝对值大C一定有两个实根，它们互为相反数 D无实根 E有两个相等的实根,选 A,2.方程 2 x2 + 3 x + 5 m = 0 的一个根大于 1，另一根小于 1。 （1）m 1 （2）m -1,选 B,(1) : 方程的两个根：,(1
18、) : 方程的两个根：,(1) : 方程的两个根：,选 A,4. 若方程 2x2 (a +1) x + a +3 = 0 且的两根之差的绝对值为1，则 a 的值是,(A) 9或3 (B) 9或3 (C) 9或3 (D) 9或3 (E) 9或2,选 A,5. 实数 k 的取值范围是(, 2) ( 5 , +) (1) 关于 x 的方程 kx + 2 = 5x + k 的根为负实数. (2) 抛物线 y = x2 2kx + (7k 10 ) 位于x 轴上方。,(1),(1) 不充分,(2),选 E,6. 一列火车长120米，以60公里/小时的速度进入隧道至完全使出隧道，总共用了5分钟，则隧道的长
19、为：A. 180米 B. 5000米 C. 300米 D. 2440米 E. 4880米,设隧道的长为：a 米,60公里/小时 = 601000 米/ 60 分 = 1000米/分,选 E,甲、乙,设A、B距离为：s，甲、乙速度分别为：a、b；相遇所用的时间为：t；则：,选 C,8. 某项工程：甲、乙两工程队合作3小时, 可完成全部工程的30%, 若乙队单独工作10小时可完成总工程的50%；则甲单独完成总工程需A. 10小时 B. 15小时 C. 20小时 D. 25小时 E. 30小时,工作效率：,甲、乙两工程队合作10小时, 可完成全部工程；,乙工程队单独20小时, 可完成全部工程；,选 C,第二章 整式和分式 第一节 整式 第二节 分式,第三章 方程和不等式 第一节 方程和方程组 第二节 不等式和不等式组,
