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1、分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较难确定，而它的一些数字特征较易确定并且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些数字特征也就够了.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布.,第四章数学期望和方差,引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表),则这 50 个零件的平均直径为,4.1 数学期望,换个角度看,从这50个零件中任取一个,它的尺寸为随机变量X,则X 的概率分布为,则这 50 个零件的平均直径为,称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的概念源于此.,数学
2、期望的定义,定义1.1设离散型随机变量X 的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望或均值，记作 E(X).,常见离散型随机变量的数学期望,01分布 这时 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.故 E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)=p.,(2)二项分布,X的取值为0,1,n.且 P(X=k)=Cnk pk(1-p)n-k,k=0,1,n.,(3)泊松分布,X的可能取值为0,1,2,，且,(4)几何分布,X的可能取值为1,2,且 P(X=k)=qk-1 p,k=1,2,.p+q=1.,注:在第三个等号中利用了等式,例1,对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批
3、产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格.假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数.,解：,设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,n，且,定义1.2,设 X 为连续型随机变量,其密度函数为f(x)，若积分,绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望或均值，记作 E(X).,注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量。,常见连续型分布的数学期望(5)指数分布E(),随机变量X的密度为：,设X的数学期望有限,概率密度f(x)关于,定理1,证明,g(x)是奇函数.,推论,例2,解:,注:由于f(x)
4、是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.,注意：不是所有的随机变量都有数学期望.,例如：Cauchy分布的密度函数为,它的数学期望不存在.,注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望.那么应该如何计算呢？更一般的，已知随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布，Y=g(X1,X2,Xn)是(X1,X2,Xn)的函数,需要计算Y 的数学期望，应该如何计算呢？我们下面就来处理这个问题.,4.2 数学期望的性质,A.随机向量函数的数学期望,设X=(X1,Xn)为离散型随机向量，概率分布为,
5、随机向量函数的数学期望（续）,设X=(X1,Xn)为连续型随机向量，联合密度函数为,例3,设离散型随机向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.,例4,设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.,E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125,解:,=4.25,注:这里的,例5,设随机变量X 服从 二项分布B(n,p),Y=eaX,求 E(Y).,解:,例6,设X U0,Y=sinX,求 E(Y).,解:X 的概率密度为,所以,例7,解：(1)设整机寿命为 N,五个独立元件,寿命分别为,都服从参数为 的指
6、数分布，若将它们(1)串联；(2)并联 成整机，求整机寿命的均值.,即 N E(5),(2)设整机寿命为 M,可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.,注：128页的4.20与此例为同一模型。,B.数学期望的性质,E(C)=C,E(aX)=a E(X),E(X+Y)=E(X)+E(Y),当X,Y 相互独立时，,E(X Y)=E(X)E(Y).,注：性质 4 的逆命题不成立，即,若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定相互独立.,反例,但,若X 0，且EX 存在，则EX 0.,推论:若 X Y，则 EX EY.,证明：设 X 为连续型，密度函数为f(x),则由X
7、 0 得：,所以,证明：由已知 Y-X0，则 E(Y-X)0.而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)E(Y).,例1,性质2和3,性质4,设 XN(10,4)，YU1,5，且X与Y相互独立，求 E(3X2XYY5).,解：,由已知，有 E(X)10,E(Y)3.,例2,二项分布 B(n,p),设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？,解:引入,则 X 是n次试验中的成功次数.,因此，,这里，XB(n,p).,例3,将 4 个可区分的球随机地放入 4 个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望.,解一:设 X 为空着的盒子数,则 X 的概率分布为,
8、解二:再引入 X i,i=1,2,3,4.,例4,将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望.,解:,引入随机变量:,则 X=X1+X2+XM,于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+E(XM).,每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,M.,因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M，所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).,故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n，即,注：129页4.27以此题为模型.,4.2 随机变量的方差,前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均,是随机变量的一个重要
9、的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.,例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好.,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们下面要介绍的,方差,A.方差的概念,设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X)2存在,则称它为X 的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X)或D(X),即,定义,称Var(X)的算术平方根,为X的标准差或均方差，记为(X).,Va
10、r(X)=E(X-E(X)2,若X的取值比较分散，则方差较大.,刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度.,若X的取值比较集中，则方差较小；,Var(X)=EX-E(X)2,方差,注意：,1)Var(X)0，即方差是一个非负实数.2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X).方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个 特征.,方差的计算公式,(1)若 X 为离散型，概率分布为,(2)若 X 为连续型，概率密度为 f(x),则,则,计算方差常用的公式,证明:,常见随机变量的方差(1)参数为p 的 01分布,概率分布为：,前面已经计算过：E(X)=p，又,所以,(2)二项分布B(n
11、,p),概率分布为：,已计算过：E(X)=np，又,所以,(3)泊松分布P(),概率分布为：,已计算过：E(X)=，又,所以,(4)区间a,b上的均匀分布Ua,b,概率密度为：,已计算过：E(X)=(a+b)/2，又,所以,(5)指数分布E(),概率密度为：,已计算过：E(X)=1/，又,所以,(6)正态分布N(,2),概率密度为：,已计算过：E(X)=，所以,B.方差的性质,性质1若X=C，C为常数，则 Var(X)=0.,性质2 若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在,且 Var(bX)=b2Var(X),Var(aX+b)=a2 Var(X),结合性质1与性质2就有,性质3,
12、若随机变量X1,X2,Xn 的方差都存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且,性质4,若随机变量X1,X2,Xn相互独立，则,n2时就有,Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY),若X,Y 独立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y),性质5,对任意常数C,Var(X)E(X C)2,等号成立当且仅当C=E(X).,性质6,注:以后若无特殊说明,都认为随机变量的方差大于0.,例1,设X B(n,p)，求Var(X).,解：引入随机变量,故,则,由于,例2（标准化随机变量）,设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为 X 的标准
13、化随机变量.显然，,例3,则:,设X1,X2,Xn相互独立，有共同的期望 和方差，,证明:,例4,已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+Xn.求 E(Y2).,解：由已知，则有,因此，,例5,设随机变量X和Y相互独立，且 XN(1,2),YN(0,1),试求 Z=2X-Y+3 的期望和方差.,由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,且X和Y独立.因此，,解:,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.,E(Z)=2E(X)E(Y)+3=2+3=5,注：由此可知 ZN（5,9）.,一般地，,C.两个不等式定理3.2
14、(马尔可夫(Markov)不等式),对随机变量X 和任意的 0，有,证明:设为连续型,密度函数为f(x),则,上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式,在马尔可夫不等式中取=2,X为X-EX 得,是概率论中的一个基本不等式.,例6,已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解：由切比雪夫不等式,令,定理3.3(内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式),设EX2，EY2 则有,证明:注意到对任意的 t,有,所以g(t)作为 t 的二次多项式,其判别式0,即,4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X,
15、Y):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X,Y 之间的某种关系.,A.协方差和相关系数,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵.,若Var(X)0,Var(Y)0,称,为X,Y 的 相关系数，记为,事实上，,利用函数的期望或方差计算协方差,若(X,Y)为离散型，,若(X,Y)为连续型，,例1,求 Cov(X,Y),XY,解:,例2,.设(X,Y)N(1,12,2,22,),求 XY,解:,定理：若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y 相互独立,X,Y 不相关
16、,因此，,协方差和相关系数的性质协方差的性质,当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为,X,Y 不相关,注：X与Y不相关仅仅是不线性相关，可以非线性相关.,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,若 X,Y 服从二维正态分布，,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,例：最小二乘法的思想,若X,Y 是两个随机变量，用X 的线性函数去逼近 Y 所产生的均方误差为,当取,使得均方误差最小.,若 则线性逼近无意义.,例3,设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求 X
17、Z,解:,例4,设XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求 E(X+Y)2.,解:,E(X+Y)2=E(X+Y)2+Var(X+Y),=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y),由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而,注意到,把条件代入即得 E(X+Y)2=,矩,设二维随机变量(X,Y),k,l 为非负整数。mk=E(Xk)称为X的k阶原点矩，k=E(X-E(X)k 称为X的k阶中心矩，mkl=E(X k Y l)称为X和Y的(k,l)阶混合原点矩，kl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为X和Y的(k,l)阶 混合中心矩.显然数学期望为1阶原点矩,方差为2阶中心矩,而协方差为(1,1)阶混合中心矩.,
