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1、第三章 线性电阻电路的一般分析方法,3.3 支路电流法,3.5 回路电流法,3.6 结点电压法,3.4 网孔电流法,3.1 电路的图,3.2 KCL和KVL的独立方程数,第三章 线性电阻电路的一般分析方法 3.3 支路电流,目的：找出求解线性电路的一般分析方法。,对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。(可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）,应用：主要用于复杂的线性电路的求解。,复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。,元件特性(约束)(对电阻电路，即欧姆定律),电路的连接
2、关系KCL，KVL定律,相互独立,基础：,目的：找出求解线性电路的一般分析方法。对象：含独立源、受控,3-1 电路的图,“网络图论”就是应用图论（即图的理论）通过电路的结构及其联接性质，对电路进行分析和研究。,3-1 电路的图“网络图论”就是,1.图 电路的“图”是由支路（线段）和结点（点）所组成的，通常用G来表示。定义:一个图G是节点和支路的一个集合，每条支路的两端都联到相应的节点上。,抽象,1.图 电路的“图”是由支路（线段）和结点（点）所组成的,2.有向图和无向图 对电路的图的每一支路指定一个方向（此即该支路电流的参考方向,电压取其关联参考方向），即为有向图。没有给支路赋以方向的即为无向
3、图。,R2+-usR1L1L2M例：2.有向图和无向图R1R2C,3-2 KCL和KVL的独立方程数,对结点1、2、3、4列KCL方程有：i1-i4 i6=0-i1 i2+i3=0 i2+i5+i6=0-i3+i4 i5=0,上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推出另一个，即只有三个是相互独立的。此结论对n个节点的电路同样适用。即对n个节点的电路的图，能且只能列出（n-1）个KCL独立方程，这些独立方程对应的节点称为独立节点。,1KCL的独立方程数,3-2 KCL和KVL的独立方程数1654321234,（1）路径 从G的某一节点出发到达另一指定的节点的一系列支路构成了G的路径。,2KVL的
4、独立方程数,（2）连通图 当图G的任意两个节点之间至少存在一条路径时，G就称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。,（1）路径 从G的某一节点出发到达另一指定的节点的一系列支,（3）闭合路径 如果一条路径的起点和终点重合，这就构成了一条闭合路径。（4）回路 当闭合路径所经过的节点都是不同的时，则这条闭合路径就构成了图G的一个回路。（5）树（Tree）一个连通图G的一个树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点但不包含回路。（6）树支和连支 对一个连通图G，当确定它的一个树T后，凡是G的支路属于这个树T的，就称为G的树支；不属于这个树T的支路，就称为G的连支。n个节点b条支路的图G的任一个树
5、的树支数为（n-1），连支数为b-(n-1)=b-n+1。,（3）闭合路径 如果一条路径的起点和终点重合，这就构成了一,（7）单连支回路（或基本回路）任一个树，每加进一个连支便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路均为树支。这样的回路称为单连支回路或基本回路，显然这组回路是独立的。（8）独立回路数 对一个节点数为n，支路数为b的连通图，其独立回路数为l=b-n+1。KVL的独立方程数=回路的独立回路数。（9）平面图 一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图。（10）网孔 平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它所限定的区域内不再有支路。平面图的全部网孔数
6、即为其独立回路数。,（7）单连支回路（或基本回路）任一个树，每加进一个连支便形,根据KCL列方程,节点 2：i2+i3+i4=0节点 3：i4 i5+i6=0节点 4：i1 i3+i5=0,(出为正，进为负),4个方程是不独立的,节点 1：i1+i2 i6=0,方程=+,4个节点的电路，有3个独立的KCL方程,3-3 支路电流法(branch current method),支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12,(3)选定图示的3个回路，由KVL，列写关于支路电压的方程。,(3),独立回路：独立方程所对应的回路
7、。,R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0,R1 i1+R2 i2+R3 i3=0,R3 i3+R4 i4 R5 i5=0,如何保证所选回路是独立的？,3R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1,独立回路的选取：,每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。平面电路，每个网孔选为一个回路，即是一组独立回路。,平面电路：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。,独立回路的选取：每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。,i1+i2 i6=0 i2+i3+i4=0 i4 i5+i6=0,R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+
8、R5 i5+R6 i6 uS=0,独立方程数应为b=6个。,i1+i2 i6=0R1 i1+R2,例(P59，图38)求：各条支路上的电流+-12,(1)标定各支路电流,(2)选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3)选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程；(元件特性代入),(4)求解上述方程，得到b个支路电流；,US1=5V,R1=500,R2=1000,R3=1000,=50.,求各支路电流。,例1.,支路法的一般步骤：,(1)标定各支路电流(2)选定(n1)个节点，列写其K,节点a：I1-I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,解,(2)b(n1)=2个KVL方程：,(3)
9、联立求解解得,U,回路1:500I1+U-I21000=5,回路2:1000I3+I2 1000-U=0,I2=50I1,节点a：I1-I2+I3=0(1)n1=1个KCL,解,列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,方程列写分两步：,(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,KCL方程：,-i1-i2+i3+i4=0(1)-i3-i4+i5-i4=0(2),例2.,解列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。1i1i3uS,KVL方程：,R1i1-R2i2=uS(3)R2i2+R3i3+R5i5=0(4)R3i3-R4i4=u2(
10、5)R5i5=u(6),补充方程：,i6=i1(7)u2=R2i2(8),KVL方程：R1i1-R2i2=uS,支路电流法特点,优点：直接得解，概念清晰缺点：方程数目可能太大，求解费时,怎么办呢？,支路电流法特点优点：直接得解，概念清晰怎么办呢？,让我们再来分析一下,定义网孔电流,假想电流,想法：如果先求出3个网孔电流，则6个支路电流容易求解,1230123456123让我们再来分析一下定义网孔电流假想,回路1,回路2,回路3,再次给出KVL方程：,回路1回路2回路3再次给出KVL方程：将KVL中的支路电流用,写成矩阵形式：,非常有规律，是偶然的吗？,自阻：,互阻：,是对角占优的对称矩阵（不含
11、受控源）,都取顺（逆）时针方向,写成矩阵形式：非常有规律，是偶然的吗？自阻：互阻：是对角占优,3-4 网孔电流法,是以网孔电流作为电路的独立变量,KCL:-i1+i2+i3=0,3-4 网孔电流法是以网孔电流作为电路的独立变量u,R11=R1+R2 代表网孔1的自阻，为网孔1所有电阻之和。R22=R2+R3 代表网孔2的自阻，为网孔2所有电阻之和。自阻总是正的R12=R21=R2 代表网孔1和网孔2的互阻，为网孔1、2的公共电阻。当两网孔电流通过公共电阻的参考方向相同时，互阻为正；当两网孔电流通过公共电阻的参考方向相反时，互阻为负；当两网孔电流间没有公共电阻时，互阻为零。如果网孔电流的方向均为
12、顺时针，则互阻总为负。uS11=uS1-uS2 为网孔1的总电压源电压，各电压源电压与网孔电流一致时，前取负号，反之取正号。uS22=uS2-uS3 为网孔2的总电压源电压。,整理得:即:R11=R1+R2 代表网孔1的自阻，为网孔1,推广:,举例:用网孔法求各支路电流。,解：,(1)设选网孔电流(顺时针),(2)列 网孔电流 方程,(3)求解回路电流方程，得 I1=0.786,I2=1.143,I3=1.071,(4)求各支路电流：Ia=I1,Ib=I2-I1,Ic=I2-I3,Id=-I3,(5)校核：选一新回路。60Ia-40Id=50+40 即90=90,举例:解：(1)设选网孔电流(
13、顺时针)(2)列 网孔电流,3-5 回路电流法(loop current method),思路：,为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。,设回路电流为 il1、il2。,支路电流 i1=il1，i2=il2-il1，i3=il2。,回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,KCL自动满足,3-5 回路电流法(loop current metho,回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0,整理得,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il
14、2=uS2,UR 降=E升,i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2,R11=R1+R2 代表回路1的总电阻（自电阻）,R22=R2+R3 代表回路2总电阻（自电阻）,R12=-R2，R21=-R2 代表回路1和回路2的公共电阻（互电阻）,uSl1=uS1-uS2 回路1中所有电压源电压升的代数和,uSl2=uS2 回路2中所有电压源电压升的代数和,R11,R22,R21,R12,uSl1,uSl2,i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2,一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有,其中:,Rkk:自电阻(为正),特例：不含受控源的线性网络 Rjk=R
15、kj,系数矩阵为对称阵。,Rjk:互电阻,一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有其中,回路法的一般步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2)以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3)求解上述方程，得到l个回路电流；,(5)检验,(4)求各支路电流(用回路电流表示)；,回路法的一般步骤：(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，,例1 用回路法求各支路电流。,解,(1)设独立回路电流(顺时针),Ia,Ib,Ic,(2)列 KVL 方程,例1 用回路法求各支路电流。解(1)设独立回路电流,整理得,(3)求解回路电流方程，得Ia=3A,Ib=-1A,
16、Ic=2A,(4)求各支路电流：I1=Ia=3A,对称阵，且互电阻为负,I2=Ib=-1A,I3=Ic=2A,I4=Ia-Ic=1A,I5=Ib-Ic=-3A,I6=Ia-Ib=4A,(5)校核,选一新回路,整理得IaIbIc21V(3)求解回路电流方程，得Ia=,例2.,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,将VCVS作独立源 建立方程；,(1)设回路电流,解：,(2)写回路方程,(1+3)Ia-3Ib=2,-3Ia+(3+2+1)Ib-Ic=-3U2,-Ib+(1+2)Ic=3U2,U2=3(Ib-Ia),控制量用回路电流表示。,例2.用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2
17、V3,整理得：,*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,4Ia-3Ib=2-12Ia+15Ib-Ic=09Ia-10,(5)校核:,1I1+2I3+2I5=2.,(UR 降=E升),(4)求各支路电流,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.,I1=Ia=1.19A,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,+_2V3U2+3U212 12I1I2I3,例3.,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,增加回路电流和电流源电流的关系方程。,(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui,-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2,-R4I2+
18、(R3+R4)I3=-Ui,IS=I1-I3,I1,I2,I3,方法1：,设电流源电压为Ui，,例3.列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。增加回路电,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 为IS。,I1=IS,-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2,R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1,I1,I2,思考：含理想受控电流源时如何列方程？,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,(1)对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：,(2)对含有受控电流源支路的电路，可先将受控源看着独立源按上述方法列方程，再将
19、控制量用回路电流（或网孔电流）表示。,说明：,(1)对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：IRIS,回路电流法特点,仅用到了KVL，而隐含了KCL；方程数是B-N+1N-1如果仅用到KCL，而将KVL隐含起来呢？,回路电流法特点仅用到了KVL，而隐含了KCL；,让我们再来分析一下,定义节点电位,想法：如果先求出3个节点电位，则6个支路电流容易求解,让我们再来分析一下定义节点电位想法：如果先求出3个节点电位，,再次列写KCL方程:,代入并整理，得到:,1,2,3,再次列写KCL方程:代入并整理，得到:123,写成矩阵形式：,很有规律,节点自导：,节点互导：,是对角占优的对称矩阵（不含受控源）
20、,总为负值,写成矩阵形式：很有规律节点自导：节点互导：是对角占优的对称矩,3-6 节点电压法(node voltage method),选某一节点为参考节点，其它节点与此节点的参考电压称节点电压。节点法或节点电压法是以节点电压为独立变量列电路方程求解电路的一种方法。,1.节点法,节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-(n-1)个。,3-6 节点电压法(node voltage meth,举例说明：,(2)列KCL方程：,iR出=iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,(1)选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电
21、压,代入支路特性：,举例说明：(2)列KCL方程：iR出=iS入i1,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为,G11un1+G12un2=iSn1,G11un1+G12un2=iSn1,整理，得令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,其中,G11=G1+G2+G3+G4节点1的自电导，等于接在节点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12=G21=-(G3+G4)节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,iSn1=iS1-iS2+iS3流入节点1的电流
22、源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。,*自电导总为正，互电导总为负。*电流源支路电导为零。,*流入节点取正号，流出取负号。,其中G11=G1+G2+G3+G4节点1的自电导，等于接在,由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可用节点电压表示：,由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流,若电路中含电压源与电阻串联的支路：,整理，并记Gk=1/Rk，得,等效电流源,un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R,一般情况：,其中,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。
23、总为正。,*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij=Gji互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,一般情况：G11un1+G12un2+G1,n-1un,结点电压方程的推导过程(2个结点),设：,各支路电流分别为：,对a 结点列电流方程：,结点电压方程的推导过程(2个结点)设：各支路电流分别为：对,则有：,整理：,则有：整理：一般表达式：（弥尔曼定理）,节点法的一般步骤：,(1)选定参考节点，标定n-1个独立节点；,(2)对n-1个独立节点
24、，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3)求解上述方程，得到n-1个节点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用节点电压表示)；,节点法的一般步骤：(1)选定参考节点，标定n-1个独立节点,用节点法求各支路电流。,例1.,解：,用节点法求各支路电流。例1.UAUB20k10k40k,(1)列节点电压方程：,UA=21.8V，UB=-21.82V,(2)解方程，得：,20k10k40k20k40k120V240VI4,I1=(120-UA)/20k=4.91mA,I2=(UA-UB)/10k=4.36mA,I3=(UB+240)/40k=5.45mA,I4=UB/40=0.546m
25、A,I5=UB/20=-1.09mA,(3)各支路电流：,(4)校验：,I1=I3+I4+I5,I1=(120-UA)/20k=4.91mAI2=(UA,(1)先把受控源 当作独立源看,(2)用节点电压 表示控制量。,例2.列写下图含VCCS电路的节点电压方程。,解：,讨论：有R时方程如何列？,(1)先把受控源(2)用节点电压例2.列写下图含V,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。,方法1:设电压源电流为I，,(G1+G2)U1-G1U2=-I,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3=I,U1-U3=US,例3,增加一个节点电压与电压源间的关系
26、方程,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。方法1:设电压源电,方法2：选择合适的参考点,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,方法2：选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231,例列写图示电路的结点电压方程。,例列写图示电路的结点电压方程。,例列写图示电路的结点电压方程。,例列写图示电路的结点电压方程。,已知某电路的节点方程为：,画出与之相应的一种可能的电路结构形式。,已知某电路的节点方程为：画出与之相应的一种可能的电路结构形,支路法、回路法和节点法的比较：,(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。,(3)回路法、节点法易于编程。,(1)方程数的比较,支路法、回路法和节点法的比较：(2)对于非平面电路，选独立,电路与电子技术基础(第四章-线性电阻电路的一般分析方法),电路与电子技术基础(第四章-线性电阻电路的一般分析方法),电路与电子技术基础(第四章-线性电阻电路的一般分析方法),
