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1、概率论与数理统计 第四版,浙江大学 盛骤,1,概率论部分2,第二章 随机变量及其分布,2,3,第二章 随机变量及其分布,关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,4,1 随机变量,*常见的两类试验结果：,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,*中心问题：将试验结果数量化,定义：随试验结果而变的量X为随机变量研究事件的概率转化为:研究随机变量取值的概率,*常见的两类随机变量,5,2 离散型随机变量及其分布,定义：取值可数的随机变量为离散量离散量的概率分布(分布律),#概率分布,6,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独
2、立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。,解：设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。,7,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。,解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2,则A1,A2,相互独立。,亦称X为服从参数p的几何分布。,8,三个主要的离散型随机变量 01(p)分布二项分布,样本空间中只有两个样本点,即每次试验结果互不影响,在相同条件下重复进行,(p+q=1),*n重贝努利试验：设试
3、验E只有两个可能的结果：p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。,9,贝努利试验示例：1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，,如果是不放回抽样呢？各次取牌不独立!不是贝努利试验!,2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果：,3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：,10,设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布，记,推导：设Ai=第i次A发生，先设n=3,11,例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设
4、各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。,解：这是三重贝努利试验,12,例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p1，设命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。,解：这是n重贝努利试验,同时可知：,上式的意义为：若p较小，p0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。,13,例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人
5、负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,14,15,例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验，从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p求这批产品能被接受的概率L(p),L(P)=P(A),解：设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数；则Xb(10,p)，Yb(5,p)，且X=i与Y=j独立。A=接受该批。,16,泊松分布(Poisson分布)若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为的泊松分布，记,17,泊松分布示例,
6、18,例：设某汽车停靠站候车人数(1)求至少有两人候车的概率；(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。解：,19,3 随机变量的分布函数,20,例：解：,21,4 连续型随机变量及其概率密度,定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：,其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。,则称X为连续型随机变量，,22,与物理学中的质量线密度的定义相类似,23,例：设X的概率密度为(1)求常数c的值；(2)写出X的概率分布函数；(3)要使 求k的值。解：,24,几个重要的连续量 均匀分布 定义：X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b),
7、25,例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求 的值；若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。,解：X在区间(-1,2)上均匀分布,设10个数中有Y个数大于0，,则：,26,指数分布定义：设X的概率密度为其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。记为,X具有如下的无记忆性：,27,28,正态分布,定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：,29,称为位置参数(决定对称轴位置)为尺度参数(决定曲线分散性),30,X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小
8、，取值就越分散，是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,31,32,例：,33,例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？,34,例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？,35,5 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X
9、)，求Y的概率分布。,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？,例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。,解：Y的所有可能取值为0,1,即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1),36,例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。,解：分别记X,Y的分布函数为,Y在区间(0,16)上均匀分布。,37,一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,38,例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。,解：Y的可能取值为-2,0,2 Z
10、的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1),故得：,39,例：,40,41,42,例：,解：,例：,解：,43,44,复习思考题 2,1.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。若在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X,则X服从什么分布？并请导出：4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？5.什么样的随机变量称为连续型的？6.若事件A为不可能事件，则P(A)=0,反之成立吗？又若A为必然事件，则P(A)=1，反之成立吗？7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，则X落在该区间 的概率为0，对吗？8.若随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，则X落入(a,b)的任意一子区间(a1,b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a),对吗？9.若XN(,2)，则X的概率密度函数f(x)在x=处值最大，因此X落在附近的概率最大，对吗？,
