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1、3.3.1 拉格朗日中值定理,定理3.3(拉格朗日中值定理),(1)在闭区间a,b上连续;,(2)在开区间(a,b)内可导;,使得,3.3 拉格朗日中值定理及其应用,若函数 f(x)满足:,几何解释:,分析:,化为罗尔定理的结论形式,在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.,证 作辅助函数,拉格朗日中值公式,即,或,推论1 设,证,不妨设,例1 证明当,证,而,故,例2 证明,证,令,故,证,命题得证.,例3 证明当,例4 设,证,拉格朗日中值定理,使得,即,例4 设,另证,证,令,罗尔定理,整理得,使得,故,即,推论2,单调递增;,单调递减.,3.3.2 函数的单调性,在(a
2、,b)内可导.,证(1),由拉格朗日定理,在a,b上,在a,b上,解,例4 讨论函数 的单调性.,定义域为,注1:推论2对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,注2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,函数的单调区间求法:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号.,的分界点,则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,解,定义域为,导数不存在.,例5 讨论函数 的单调性.,解,定义域为,例6 讨论函数 的单调性.,导数不存在;,由零点定理,例7 讨论方程 在 内的实根.,解,原方程在 内至少有一实根.,综上所述,原方程在 内有且仅有一个实根.,因此,原方程在 内至多有一实根.,作业,习题 3.3(123页),2.3.(1)(4)5.6.(1)8.,
