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1、皮亚诺公理体系皮亚诺公理是意大利皮亚诺所构造的算术公理系统中的公理。1889年,在数学家戴德金工作的基础上,皮亚诺在用一种新方法陈述的算术原理一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以1而不是O作为基本概念。在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以O取代1作为基本概念，构造了沿用的皮亚诺算术公理系统。大家是否还记得自己人生中第一堂数学课学的是什么呢？对了！就是掰着手指头数数。我们先学习从1数到10,然后再数到100,聪明的孩子总是数得又快又准。再往后是IoOO,10000,，后来我们知道这串数
2、字可以无穷无尽地列下去，于是我们就有了直观中数学的第一个概念一一自然数。自然数是我们再熟悉不过的一个概念了，熟悉到我们以为它们的出现就是天经地义，但是如果问“1”到底是什么？1+1究竟为什么等于2,估计很多人就要低头沉吟一番，然后给出一个稀奇古怪的答案。数学中的任何一个概念都是需要有严格定义的，不允许有任何含糊不清的成分在里面。在古典数学时期，由于人们所探讨的问题比较原始和简单，因此对概念不加定义地使用，不会带来严重问题。但随着数学研究的深入，胡乱地使用概念便会带来灾难后果，最著名的例子就是微积分创立初期，由于“无穷小量”这一概念含糊不清，甚至引发了第二次数学危机。可见澄清概念是一件多么重要的
3、事情！皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)而对于自然数等基础概念的追问，则是要到19世纪末期与20世纪初期。那是一个风云激荡的年代，数学界、物理学界、哲学界都出现了惊天动地的转折。数学家们开始思考：数学的基础究竟是什么？数学证明的本质又是什么？并由此诞生出两大数学基础理论一一集合论与数理逻辑。而对自然数概念的严格定义也是在此时出现的。1889年，意大利数学家皮亚诺(GiUSePPePeanO,1858-1932),出版了他的代表著作算术原理新方法(Arithmeticesprincipia,novamethodoexposita),书中以另一位德国数学家戴德金(Dedekind,1831-1916)的
4、工作为基础，首次提出了一套算术公理系统。1901年他创立了数学杂志(RivistadiMatematica),并在该杂志上对之前的算术公理系统进行优化，最终形成了所谓的“皮亚诺公理(PeanOAxiom)0皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)皮亚诺2.皮亚诺公理的具体内容“皮亚诺公理”就是目前数学界所普遍采用的自然数的定义，它是由若干条公理组成的。简单来说，自然数集的本质是一个满足几条质的集合,我们并不关心包含的元素具体是什么，只关心这个集合满足的这几条质。如果一旦满足这几条质，这个集合就称为自然数集，集合中的每一个元素都称为一个自然数。那么究竟是哪几条质呢？我们来具体看一下。对于一个集合A,如果它满
5、足以下几条质：1.A里边包含某一个元素，我们记为“1”（或者“0”，这取决于你是否把0看成自然数）；2 .对于A中的每一个元素a,可以在A中找到另外一个唯一的元素与之相关联，称为a的“后继”，把它记作a+；3 .A中任何一个元素的后继都不是1；4 .A中任何两个不同的元素，后继也不相同；5 .对于A的一个子集B,如果它满足以下两条质：第一，1B;第二，若xB,则x+B0那么B就等于A则称A为一个自然数集写到这里，估计很多小伙伴就会忍不住点退出了，不要着急！且听我慢慢道来。上面的东西虽然看起来乱糟糟，但每一条都无非就是一个质。也就是说如果你找到一个集合，它能够满足上面几条质，这个集合就可以称为一
6、个自然数集。于是就会面临新的问题：真的有集合能够满足上面的所有质吗？如果有的话，只有一个集合吗？我要到哪里找这个种集合呢？其实这才是本文的重点，我就用我们日常生活中再熟悉不过的微信群做例子，来找这样一个集合出来。皮亚诺公理（皮亚诺公理体系）6 .用微信群来构造自然数腾讯爸爸把微信群的人数上限设定为500人，这里为了说明问题，我们假设人数没有上限。假如某一天我躺在床上无聊，想拉一些小伙伴们聊聊天，于是我决定自己建一个微信群。皮亚诺公理（皮亚诺公理体系）自然我就是群主啦。群里不能只有我一个人吧，于是我把我最要好的小伙伴拉了进来。但是两个人也不够呀，为了让群人数多起来，我立下一条群规：任何一个加群的
7、人，都必须拉一个小伙伴进来，否则不允许加入。好了，立下这条群规之后，我的任务就能干完了，只需要躺在床上静静地等这个群自己发展壮大就可以了。其实，我们已经不知不觉地完成了自然数的构造，这个大微信群就是一个满足上面几条质的集合！为什么我敢如此断言呢？只需要逐一检查它是否满足上面的几条质就可以了。皮亚诺公理（皮亚诺公理体系）1. A里边包含某一个元素，我们记为“1”我是群主嘛，所以我肯定在这个群里，我就把自己叫成“1”2. 对于A中的每一个元素a,可以在A中找到另外一个唯一的元素与之相关联，称为a的“后继”，把它记作a+；这个是由群规保证的。对于群里的每一个成员，他进群时肯定会拉一个自己的小伙伴进来
8、，这个小伙伴就是他的后继。3. A中任何一个元素的后继都不是1；1就是我呀，因为群是我建的呀，所以我不是被任何人拉进来的。4. A中任何两个不同的元素，后继也不相同；这一条也是很显然的。群里每个人都拉了一个自己的小伙伴进来，当然有可能两个不同的人想拉同一个人进来。比如小张和小明都想拉小红进来，如果后来的小明发现小张已经把小红拉进来了，那么他只好再找另外一个人拉进来。所以肯定是不同的两个人拉的小伙伴们也不一样，这一条可以得到满足。5.对于A的一个子集B,如果它满足以下两条质：第一，1B;第二，若xB,则x+B0那么B就等于A。这一条比较复杂。假如某一天有个成员想偷偷建个小群，结果被我知道了。我很
9、不开心：明明是我建的群嘛，你却在底下拉帮结派。不过，仁慈的我不是不同意，但是有条件：你建小群可以，但是，第一得把我拉进去，第二你也得立一条群规，有谁想进你这个小群，就必须把自己在大群的小伙伴拉进来。第五条质虽然比较复杂，但它是我们在高中学过的数学归纳法的基础。经过这样一番操作，你会发现，这个小群和原来的大群明明就是一样的呀。对喽！这说明第5条质得到了满足。好了，到此为止5条质全部检验完毕！我真的找到了这样一个集合。那么它就可以看成是一个自然数集，包含的元素是：我，我的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴的小伙伴，妈耶，嘴皮子都不利索了。那干脆，因为我叫1,那我就把我的小伙伴叫为2,我
10、的小伙伴的小伙伴叫为3,.，这不就是我们熟悉的自然数吗。皮亚诺公理（皮亚诺公理体系）通过这个例子，相信大家已经能从直观上理解皮亚诺公理了。当然，这样的集合肯定不止这一个，我可以建微信群，你也可以建微信群，他也可以建微信群，每一个这样的微信群，其实都是一个自然数集合。甚至你还可以举出自己构造的一些其它的例子来，所以理论上自然数集是有无穷多个的。但是这些集合彼此之间又具有相同的结构，所以就不把它们做区分了，通通称为自然数集，一个自然数集中的每一个元素就称为一个自然数。在这无数多个自然数集中，有一个最简单的自然数集，就是我们在中学时学的那个自然数集：N=1,2,3,4,5,.,所以我们学的自然数，只
11、是自然数的一个特例。这种说法听起来非常奇怪，但其实在数学上这种处理方法非常常见。它的核心就是所谓的等价关系(equiva1.entre1.ation)和同构(isomorphism)。4.实无限和“潜无限”到这里故事就结束了吗？不，远远没有。敏锐的同学们估计已经想到了，既然每个成员都要拉一名新人进来，这样一来就没完没了了，微信群永远也灌不满，我们还能把这个微信群本身当成一个集合吗？这就涉及到了两个非常重要的概念：实无限和“潜无限”。实无限和“潜无限”是人们对于无限这个概念的两种观念。古希腊哲学家亚里土多德(Aristot1.e)在历史上第一次对二者进行了区分。皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)简单来
12、说，“潜无限”认为，无限是一个无穷无尽，永恒延续的过程,由于它永远无法完成，因此不能被当成一个整体来看待。而“实无限”与之相反，认为实现是一个完成了的实体，我们可以把它当成一个整体来看待。这其实就触及了我们刚才的问题，一个包含了无限多个成员的微信群,究竟是不是一个单独存在的微信群。很显然，在皮亚诺公理中，我们实际上是把包含无限元素的集合当成一个整体来看待的，因此现代数学实际上是建立在“实无限”的观念之上的。关于这一点更深的讨论，可以参考我的另一篇文章：圆周率n是否存在一一浅谈“实无限”与“潜无限”接受了“实无限”的观念，也就可以接受自然数这个概念了。当然这对整个数学大厦来讲,还仅仅只是个开始,我们定义完自然数，还要在此基础上定义整数，有理数，无理数，实数，复数等等一系列概念，这一过程也是无比艰辛的，凝聚了两千年来人类的智慧。但同时也反映出，数学是一个非常严谨的逻辑体系，任何想要学好数学的人，一丝一毫都马虎不得。
