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1、24.1.4圆周角,探索圆周角和圆心角的关系理解圆周角和圆心角的概念及性质体会分类归纳等数学方法,教学目标:,一、旧知回放:,答：相等.,2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?,B,3、(05年茂名)下列命题是真命题的是()1)垂直弦的直径平分这条弦2)相等的圆心角所对的弧相等3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形A 1)2)B 1)3)C 2)3)D 1)2)3),课前热身,1 判断题：(1)相等的圆心角所对的弧相等。(2)等弦对等弧。(3)等弧对等弦。(4)长度相等的两条弧是等弧。(5)平分弦的直径垂直于弦。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，,相等的圆心角所对的弧相等
2、，,所对的弦相等,复习,所对的弦的弦心距相等,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，,如果两个圆心角、,两条弧、,两条弦,中有一组量相等，,中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,1.圆心角的定义?,答:顶点在圆心的角叫圆心角.,复习,特征：,角的顶点在圆上.,角的两边都与圆相交.,圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,辩一辩 图中的CDE是圆周角吗?,圆周角：_，并且的角_。圆心角:_ 的角.,顶点在圆上,两边都和圆相交,顶点在圆心,辨别是非,如图所示的角，哪些是圆周角,练习：,1、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。,不是,不是,是,
3、不是,不是,图,图,图,图,图,2、指出图中的圆周角。,ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着同一条弧,下列图形中，哪些图形中的圆心角BOC和圆周角A是同对一条弧。,问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有 什么关系？,(1)当圆心在圆周角的一边上时,探究一：,证明:(圆心在圆周角上),结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,C,O,B,A,2.当圆心在圆周角外部时,结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABC=AOC
4、.,ABD=AOD,CBD=COD,D,3.当圆心在圆周角内部时,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABC=AOC.,ABD=AOD,CBD=COD,结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,结论:,圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。,A,B,C,O,如图，已知在 O 中，BOC=150，求A,2、如图，A是圆O的圆周角，,A=40，求OBC的度数。,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,130,C,C,D,B,3、如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上
5、的两点，COD=500，则CAD=_,25,做做看，收获知多少？,一、判断1、顶点在圆上的角叫圆周角。2、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。,36或144,2、如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角ACB=_、ADB=_。,1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是。,二、计算,130,50,做一做，成功在向你招手！,O,A,C,B,已知：AOB=100，求ACB的度数,3.已知O中弦AB的等于半径,求弦AB所对 的圆心角和圆周角的度数.,圆心角为60,圆周角为30,或150.,1、已知AOB75，求：ACB=。,2、已知AOB120，求：ACB=,3
6、、已知ACD30，求：AOB=,4、已知AOB110，求：ACB=,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,3、如图，AB是O的直径，AOD是圆心角，BCD是圆周角，若BCD=25，则AOD=。,130,例1.如图：OA、OB、OC都是 O的半径 AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC,ACB=2BAC,证明：,规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理,ACB=AOB,BAC=BOC,圆周角:ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,圆周角,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC
7、分别形成三个张角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB 和ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB 和AEB）和同学乙的视角相同吗？,探 究,试找出下图中所有相等的圆周角。,同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周
8、角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。,4、如图，AB是O的直径=，A=30，则BOD=。,5、如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？,60,1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？,推论：半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90(直角).反过来也是成立的,即90的圆周角所对的弦是圆的直径,探究二：,O,A,B,C,2.90的圆周角所对的弦是否是直径？,画板3,半圆（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径。,如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？直
9、角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,例题:如图，AB为O的直径，A=70，求ABC的度数。,A,B,C,O,解：AB为O的直径C=90，又A=70 B=20,AB是O的直径,BCD=300,则ABD=_,300,例 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，,ACB=ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,例题,练习,1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）和（5x30），求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。,2、如图，A是圆O的圆周角，
10、A=40，求OBC的度数。,1.如图,内接于O,BD是O的直径,BD交AC于点E,连接DC,则（）.A.B.C.D.,5.如图AB是O的直径,C,D是圆上的两点,若 ABD=40,则BCD=.,40,提示:连接AD,50,2.如图所示,O为 的外接圆,CE是O的直径,于D,求证：.,4.如图,内接于O,AB=AC,BD为O的直径,AD=6,则BC=.,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,C,C,D,B,3.半圆（或直径）所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_。,3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以
11、这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证：ABC 为直角三角形.,证明：,CO=AB,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB=180=90.,ABC 为直角三角形.,课本练 习,3.半径为1的圆中有一条弦,如果它的长为,那么这条弦所对的圆周角的度数等于_.,5.如图所示,是O的内接三角形,点C是优弧AB上的一点（点C不与A、B重合）,设猜想 之间的关系,并给予证明.,如图 AB是O的直径,C,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。,6.如图所示,BC
12、为O的直径,G是半圆上任意一点,点A为 的中点,求证：BE=AE=EF.,5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,练 习,2.如图所示,O为 的外接圆,CE是O的直径,于D,求证：.,4、AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=35，求BOC的度数。,解AB=ACABD=ADB=35BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140,圆的内接四边形,1、如图，ABC叫O的_三角形，O叫ABC的 _ 圆.2、如图1，若弧BC的度数为1000，则BOC=_，A=_ _.,复习回顾,
13、内接,外接,100,50,如图，四边形ABCD为圆内接四边形；O为四边形ABCD外接圆.,问题1,6、如图，A、B、C、D是O上的四个点，且BCD=100，求BOD（所对的圆心角）和BAD的大小。,如图,AB是直径,则ACB=,若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。,O,A,C,D,E,B,问题2,返回,C,O,D,B,A,如图：圆内接四边形ABCD中，,A的度数等于弧BCD的一半，BCD的度数等于弧BAD的一半，又弧BCD+弧BAD 度数为360，,AC,180.,同理BD180.,圆内接四边形的对角互补。,问题3,如果延长BC到E
14、，那么DCEBCD,180.,ADCE.,又 A BCD 180，,因为A是与DCE相邻的内角DCB的对角，我们把A叫做DCE的内对角。,圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。,ADCE,探索结论,先根据图形讨论，然后用语言归纳为:,圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。,几何表达式：四边形ABCD内接于O，A+C=180且B=1.,性质定理：,1、如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD=100，则BAD=BCD=,反馈练习：,A,B,C,D,O,2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,则A=B=C=D=,50,130,60,90,120,90,3、
15、如图，四边形ABCD内接于O，DCE=75，则BOD=,150,A,B,C,D,O,E,应用举例,例 如图O1与O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1 交于点C，与O2 交于点D。经过点B的直线EF与O1 交于点E，与O2 交于点F。求证：CEDF,CEDF,EF180,E1180、1F,连结AB,1,思路分析,证明：连结AB,例1：如图4，O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1相交于点C，与O2相交于点D，经过点B的直线EF与O1 相交于点E，与O2相交于点F。求证：CEDF,ABEC是O1的内接四边形 1+E=1800,又ADFB是O2的内接四边形 1=F.,E+F=
16、1800,CEDF,1,反思与拓展,证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？,1）延长EF,是否有E=BAD 1？,2)延长DF,能否证明E3？,变式1：如图，O1和O2都经过A、B两点，过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。,E,D,C,F,A,B,猜想：CEDF仍然成立吗？,O1,O2,变式2:如图,O1和O2有两个公共点AB，过AB两点的直线分别交O1于C、E,交O2于D、F，且CDEF。
17、,C,E,A,B,D,F,O1,O2,求证：CE=DF,思维拓展:,1、圆内接平行四边形一定是 形。,2、圆内接梯形一定是 形。,3、圆内接菱形一定是 形。,矩,等腰梯,正方,弧、弦与圆心角的关系定理：,1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。,3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等,弧、弦与圆周角的关系定理：,1、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等,2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，所对的弦也相等。,3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补！,圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,
