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1、无穷级数,第十一章 习题课,无穷级数第十一章 习题课,常数项级数,函数项级数,一般项级数,正项级数,幂级数,三角级数,收敛半径R,泰勒展开式,函 数,数,任意项级数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,主要内容,数或函数,常数项级数函数项级数一正幂级数三角级数收泰勒展开式函 数,一 基本要求,1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基本性质,熟悉级数收敛的必要条件.2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌握正项级数收敛的比值判别法.3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理解绝对收敛和条件收敛的概念.,一 基本要求1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基,4.掌握幂级数的收敛半径,
2、收敛区间和收敛域的求法.了解幂级数的主要性质.5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.,6.理解傅里叶级数的收敛定理.,7.掌握函数展开成傅里叶级数的方法.,4.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛6.理解傅里叶级数,(一)常数项级数,二 要点提示,常用来判定级数是发散的.切不可用来判定,由此可得:若 则级数 必发散.,若 收敛,则,级数是收敛的,例如调和级数 就是发散的.,1.级数收敛的必要条件:,(一)常数项级数二 要点提示常用来判定级数是发散的.切不可用,2.正项级数的审敛法,p-级数,调和级数,等比级数,使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性,已知的正项级数作为“参照”级数,如,2.正
3、项级数的审敛法p-级数调和级数等比级数使用比较判别法时,判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序:,(4)级数收敛的定义:,(3)用比较判别法.,(2)用比值或根值判别法,若失效.,(1)则发散.,同时考虑到级数的基本性质.,部分和数列极限是否存在.,判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序:(4)级数收敛的,3.任意项级数,莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件.,当不满足条件时,不能判定级数必发散.,3.任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充,2.若用正项级数的比值判别法判定 发散,绝对收敛的级数必收敛.,注意,对于任意项级数,若 收敛,则称 绝对收敛.,1.可
4、先考查任意项级数是否绝对收敛；,若 发散而 收敛,则称 条件收敛.,则级数 也发散.,2.若用正项级数的比值判别法判定 发散,绝对收,1.收敛半径和收敛区间,(二)幂级数,1.收敛半径和收敛区间(二)幂级数,收敛域：,或,或,或,收敛区间为,收敛域：或或或收敛区间为,对于缺项的幂级数 可按下式,从而得收敛区间为,求出 的范围,从而得收敛区间为求出 的范围,2.幂级数的重要性质,(1)在收敛区间 内和函数 连续.(2)可逐项求导.(3)可逐项积分.,逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,但在收敛域可能改变.,2.幂级数的重要性质(1)在收敛区间,3.幂级数在其收敛区间内的和函数
5、的求法,在熟记几个常用的幂级数的和函数的基础上,对照已知级数的特点,可通过恒等变形,变量代换及逐项求导或积分的方法来求和函数.,3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法 在熟记几,4.函数展开成幂级数,这通常是较困难的.,(1)直接展开法:,展开,但必须证明余项的极限,4.函数展开成幂级数这通常是较困难的.(1)直接展开法:展开,(2)间接展开法：利用已知函数的展开式,通过恒等变形,变量代换,级数的代数运算及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数.,注意两点:1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式.2.根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间.逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变,但收敛域可能
6、会变.,(2)间接展开法：利用已知函数的展开式,注意,几个常用初等函数的马克劳林展开,几个常用初等函数的马克劳林展开,1.试判断下列命题是否正确?,三 思考与分析,则 同敛散.,(2)设 是正项级数,c为大于零的常数,(1)若 则 必定收敛.,1.试判断下列命题是否正确?三 思考与分析则,答：均不正确.,(2)反例,考虑,(1)则 发散.,答：均不正确.(2)反例,考虑(1),正项级数比较判别法的极限形式,则 同敛散.,设 为正项级数,若,正项级数比较判别法的极限形式,有 证明:也收敛.,若 均收敛,且对一切自然数,2.下列运算是否正确?,证明:,均收敛,由比较判别法知 收敛.,有 证明:,答
7、：不正确.,因为证明中使用了比较判别法,而比较判别法只适用于正项级数,题目中并未指出级数是正项级数.正确方法如下:,答：不正确.因为证明中使用了比较判别法,而比较判别法,由正项级数的比较判别法,由正项级数的比较判别法,3.若级数 和 都收敛,则,根据正项级数的比较判别法可知,由题意知,和 收敛,绝对收敛.,故 也收敛,3.若级数 和 都收敛,则,4.当下列条件()成立时,当(c)成立时,由莱布尼兹定理可得.,收敛.,当(d)成立时,绝对收敛,因此必定收敛.,4.当下列条件()成立时,判定下列级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,练习题,判定下列级数的敛散性,若收敛,是绝对练习题,解
8、级数为,由于一般项,所以发散.,解 级数为由于一般项所以发散.,所以级数收敛.,由正项级数的比值判别法,所以级数收敛.由正项级数的比值判别法,解 原级数为,由比值法,解 原级数为由比值法,所以原级数绝对收敛.,是收敛的等比级数,所以原级数绝对收敛.是收敛的等比级数,解 原级数可看作,由级数的基本性质,原级数发散.,解 原级数可看作由级数的基本性质,原级数发散.,由莱布尼兹定理知，,从而条件收敛.,交错级数收敛,由莱布尼兹定理知，从而条件收,(二)幂级数,解 由于,求 的收敛区间.,收敛区间为,故收敛半径为,1.下列运算是否正确?,(二)幂级数解 由于,上述运算是错误的.原级数是仅含奇次幂的级数
9、,即为缺项情形,应该用比值判别法来求收敛半径.,故原级数的收敛区间为,当 即 时,原级数收敛.,正确方法为:,上述运算是错误的.原级数是仅含奇次幂的级数,即为缺项情形,应,解,则原级数变为,(1)令,2.求,的收敛域.,解则原级数变为(1)令2.求的收敛域.,故原级数的收敛区间为 或,即,原级数化为,解 所给级数不是幂级数,原级数的收敛域为,因此,收敛域为,不难知收敛区间为,引入变换,故原级数的收敛区间为 或 即原级数化为,3.求 的和函数及 的和.,解 收敛区间为,法1.拆成两个级数之和,再分别求和.,3.求 的和函数及,法2.记,则级数在收敛区间内可逐项积分:,法2.记则级数在收敛区间内可
10、逐项积分:,由,求,令,则,由 求令则,解,4.求幂级数,的和函数.,的收敛域为,的收敛域为,的收敛域为,设,解4.求幂级数的和函数.的收敛域为的收敛域为的收敛域为设,无穷级数_习题课课件,故,故,5.求幂级数展开式,(1)将 展开成x的幂级数,(2)将 展开成x-1的幂级数.,(3)将 展开成x的幂级数.,5.求幂级数展开式(1)将,解(1),故收敛区间为,解(1)故收敛区间为,其中,故收敛区间为,其中故收敛区间为,由逐项积分的性质可得,由逐项积分的性质可得,6.,写出函数,的傅里叶级数的和函数.,作周期延拓，,由狄利克雷充分条件，,解,和函数,6.写出函数的傅里叶级数的和函数.作周期延拓，
11、由狄利克雷充分,四.自测题1.选择题(1)若 收敛,则,则该级数().(a)条件收敛(b)绝对收敛(c)发散(d)可能收敛可能发散,(a)1；(b)0；(c)不存在；(d)不能确定,(2)对任意级数 若 且,四.自测题则该级数().(a)1；(b)0；(c)不存,(3)若正项级数 及 都收敛,则()收敛.,部分和数列有界,(4)当下列条件()成立时,收敛.,(3)若正项级数 及 都收敛,则(,(5)若 在 处收敛,则在 处().,二.判定下列级数的敛散性,(a)发散(b)条件收敛(c)绝对收敛(d)不能确定,(5)若 在 处收,三.判定下列级数的敛散性,若收敛是绝对收敛,还是条件收敛?,四.求
12、下列幂级数的收敛区间,三.判定下列级数的敛散性,若收敛是绝对收敛,还是条件收敛?四,七.证明:若 和 绝对收敛,则,五.求 的和函数,并求 的和.,2.展开为 的幂级数.,1.展开为x的幂级数.,六.将函数展开为幂级数,也绝对收敛.,七.证明:若 和 绝对收敛,则,一.1.a;2.d;3.a,b,c;4.a,d;5.c.,自测题参考答案,由正项级数的比较判别法可得(b),(c).,由正项级数的比较判别法可得(a).,类似地,一.1.a;2.d;3.a,b,c;4.a,d;,就是在 内收敛,故在 处收敛.,二.1.发散,2.发散(比较),3.收敛,4.发散(必要条件),处绝对收敛,为什么?,考虑
13、:,5.由幂级数收敛域的特点,在 处收敛,就是在 内收敛,故在 处收敛.二,由莱布尼兹判别法,交错级数收敛,从而原级数条件收敛.,由比较判别法极限形式知原级数非绝对收敛.,三.1.条件收敛,2.绝对收敛,3.条件收敛,4.发散.,提示:,由莱布尼兹判别法,交错级数收敛,从而原级数条件收敛.由,4.由,均收敛,故收敛,因此原级数条件收敛.,故原级数非绝对收敛.而,3.也可由性质,因 发散,收敛,4.由均收敛,故收敛,因此原级数条件收敛.故原级数非绝对收敛,五.收敛区间为,四.,五.收敛区间为四.,六.,六.,七.,收敛,故 绝对收敛.,由正项级数的比较判别法,收敛,由正项级数的比较判别法知 收敛.,七.收敛,故 绝对收敛.,作 业,总习题11,自测题十一,作 业总习题11自测题十一,
