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1、1,第三节 柯西积分公式及其推论,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,2,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,3,4,这就是柯西积分公式.,1、Cauchy积分公式,定义3.4 在定理3.11的条件下，,称为柯西积分。,5,柯西积分公式,定理,证,6,7,上不等式表明,只要 R 足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,柯西介绍,8,关于柯西积分公式的说明:,(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,
2、(这是解析函数的又一特征),(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),(3)定理的特殊情形，有如下的解析函数的平均值定理.,柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数各种局部性质的重要工具.,9,定理3.12 解析函数的平均值定理,10,三、典型例题,例1,解,11,由柯西积分公式,12,例2,解,由柯西积分公式,13,例3,解,由柯西积分公式,14,例3.10(P121）,15,例3.11,提示：用反证法及解析函数的平均值定理。,16,使用柯西
3、公式计算积分应注意：,（1）积分路径为周线；,（2）被积函数的分子为解析函数；,（3）在周线内仅有被积函数的一个不解析点。,注：如果给定的积分被积函数在C内部 有两个以上奇点，就不能直接应用柯西积分公式。,17,练习,答案,18,习题中的题,19,12,解,根据柯西积分公式知,20,11,解,根据柯西积分公式知,21,比较两式得,22,四、小结与思考,柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西积分定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.,柯西积分公式:,23,思考题,柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?,24,思考题答案,可以.,其中积分方向应是顺时针方向.,放映结束，按Esc退出.,25,Augustin-Louis Cauchy,Born:21 Aug 1789 in Paris,FranceDied:23 May 1857 in Sceaux(near Paris),France,柯西资料,26,10,解,27,10,解,28,由闭路复合定理,得,10,解,
