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1、,第三章复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念 3.2 柯西-古萨定理及其推广 3.3 柯西积分公式及其推论 3.4 解析函数与调和函数的关系,第三章 复变函数的积分,1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分性质 4. 积分存在的条件及其计算法,3.1 复变函数积分的概念,1. 有向曲线,逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.,2. 积分的定义,定义,3. 积分性质,由积分定义得：,证明,而C之长为2,根据估值不等式知,例,4. 积分存在的条件及其计算法,定理3.1,证明,由曲线积分的计算法得,用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.,例3.1,解,直线
2、方程为,这两个积分都与路线C 无关,解,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,(1) 积分路径的参数方程为,例3.1,解,(2) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,积分路径不同,积分结果也可能不同.,例3.2,解,积分路径的参数方程为,小结 求积分的方法,例3.3,解,积分路径的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,例如,例如,练习,例2,解,=,=,-,=,-,=,-,+,+,0,0,0,2,),(,),(,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,例题,证明：,例3,解,解
3、:,例4,作业,P692; 4;,3.2 Cauchy-Goursat定理,由此猜想：复积分的值与路径无关(或沿闭路的积分值0)的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。,复函积分与路径无关,被积函数的解析性,解析区域的单连通性,?,?,Cauchy 定理,Cauchy-Goursat定理（定理3.2）：,D,C,(2)定理中曲线C不必是简单的！如下图。,推论3.2 设f (z)在单连通区域D内解析，则对任意两点z0, z1D, 积分c f (z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C，即积分与路径无关。,典型例题,例1,解,根据柯西古萨定理, 有,思考题,应用柯西古萨定理应注
4、意什么?,思考题答案,(1) 注意定理的条件“单连通域”.,(2) 注意定理不能反过来用.,(1). 原函数与不定积分的概念 (2). 积分计算公式,2 原函数与不定积分,1. 原函数与不定积分的概念,由推论3.2知：设f (z)在单连通区域D内解析，则对D中任意曲线C, 积分c f(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。,当起点固定在z0, 终点z在D内变动,c f (z)dz在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理3.3 设f (z)在单连通区域D内解析，则F(z)在D内解析，且,上面定理表明 是f (z)的一个原函数。,设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，,2.
5、积分计算公式,定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f (z)的不定积分，记作,定理3.4 设f (z)在单连通区域D内解析， F(z)是f (z)的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强,思考题,解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?,思考题答案,两者的提法和结果是类似的.,两者对函数的要求差异很大.,例1 计算下列积分：,解1),解2),例3 计算下列积分：,小结 求积分的方法,例2,解,根据柯西古萨定理得,定理3.5（复合闭路定理）：,3 复合
6、闭路定理定理3.2的推广,证明,D,A,A,E,E,F,F,G,H,此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.,闭路变形原理,根据复合闭路定理即定理3.5可知,解,例3.7,解,练习,作业,P697(2)(3); 9;10(1)(3),3.3 Cauchy积分公式及其推论,1）通过两个二元实变函数的积分来计算；,1.复变函数积分的计算,预备知识,2）化为参变量的定积分来计算；,2.复变函数积分的性质,3.柯西积分定理,4.复合闭路定理柯西定理在多连域的推广,5.闭路变形原理复合闭路定理的特例,分析,猜想积分
7、：,定理(Cauchy 积分公式),证明,D,C,K,z,z0,R,根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R 积分值都为零时才能任意小。证毕。,(1) 函数在C内部任一点的值可以用它在边界上的 值表示, 从而得到解析函数的一个积分表达式。,关于公式的说明:,(2) 提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法。,c. 若被积函数在C内部有两个以上奇点，则需,先应用复合闭路定理，再用柯西积分公式。,推广及其应用,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。,平均值定理：,设 f (z)在多连通域 D内解析，在边界上连续，,(3) 柯西积分公式可以推广到多连域。,则,例1,
8、解,例2,解,课堂练习,答案,小结与思考,一公式-柯西积分公式,两用途(重点) -1.计算闭路复积分； 2.解析函数积分表达式。,推广及应用,思考： 今后遇到闭曲线上的复变函数积分, 应先想到什么？,2 解析函数的高阶导数公式,一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.,问题的提出,问题:,(1) 解析函数是否有高阶导数?,(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1) 解析函数有各高阶导数.
9、,(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明。,定理3.7,证明 用数学归纳法和导数定义。,依次类推，用数学归纳法可得,一个解析函数的导数仍为解析函数。,例1,解,例2,解,例3,解,根据复合闭路定理和高阶导数公式,3 刻划解析函数的第二个等价定理,证明,充分性为P28定理2.8,必要性,条件2的必要性已由P26定理2.7得出,由解析函数的无穷可微性,课堂练习,答案,例5,(Morera定理),证,依题意可知,参照本章第四节定理二, 可证明,因为解析函数的导数仍为解析函数,作业,
10、P7015；16(1)(2),调和函数在流体力学和电磁学，传热学理论等实际问题中都有重要应用。,3.4 解析函数与调和函数的关系,定义3.3,1.调和函数,定理3.10,证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则,注：逆定理显然不成立，即,对区域D内的任意两个调和函数 u, v,不一定是解析函数 .,例如：,是解析函数，,不是解析函数。,现在思考反过来的问题：,定义,2. 共轭调和函数,注,如,已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。,3. 解析函数的构造,上面定义说明：,解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。,曲线积分法(与路径无关),类似地，,然后两端积分得，,例1,解,曲线积分法,故,又解,偏积分法,又解,不定积分法,又解,凑全微分法,P71. 20,证明,由于,从而,例1,作业,P7118, 22(2)(4),
