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1、第二章 导 数 与 微 分,考试内容概要,（一）导数与微分的概念,1.导数的概念,定义1(导数),定义2(左导数),定义3(右导数),定理1,可导,左右导数都存在且相等,定义4(区间上可导及导函数),2.微分的概念,定义5（微分）如果,可以表示为,则称函数,在点,处可微,称,为微分,记为,定理2 函数,在点,处可微的充分必要条件是,在点,处可导,且有,3.导数与微分的几何意义,1）导数的几何意义：导数,在几何上表示曲线,在点,处切线的斜率。,切线方程,法线方程,2）微分的几何意义：微分,在几何上表示,的切线上的增量。,曲线,M,N,）,4.连续,可导,可微之间的关系,（二）导数公式及求导法则,
2、1.基本初等函数的导数公式,1）,2）,3）,4）,5）,6),7),8),9),10),11）,12）,13),14),15),16),2.求导法则,(1)有理运算法则,（2）复合函数求导法：,设,可导，则,可导，且,（3）隐函数求导法：,（4）反函数的导数；,若,可导,且,则其反函数,也可导，且,（5）参数方程求导法：,设,是由,确定的函数，则,（6）对数求导法：,1)若,和,都可导，且,，则,2）若,和,二阶可导，且,则,（三）高阶导数,1）定义6(高阶导数),注：如果函数,在点,处,阶可导,则在点,邻域内,必定具有一切低于,阶的导数.,的某,1),2),3）,4）,2）常用的高阶导数公
3、式：,常考题型与典型例题,1。导数定义；,2。复合函数、隐函数、参数方程求导；,3。高阶导数；,【例1】（1994年，数三，4分）已知,，则,【1】,【例 2】(2011年2,3）已知,在,处可导，且,则,（A）,（B）,（C）,（D）,【例3】（2013年，1）设函数,由方程,确定，则,【例4】设,在,的某个邻域内有定义，则,在,处可导的一个充分条件是,（A）,存在；,存在；,（C）,存在；,存在；,(B),(D),【例5】（2011年3）曲线,在点,处的切线方程为,【例6】(2013年2）曲线,上对应于,的点处的法线方程为,【例7】(1997年,1）对数螺线,在点,处的切线的直角坐标方程为
4、,【例8】(2012年,2）设,是由方程,所确定的隐函数,则,【例9】(2013年1）设,(,为参数),则,【例10】(2007年2,3）设函数,则,【例11】(2015年2）函数,在,处的,阶导数,第三章 微分中值定理与导数的应用,考试内容概要,定理2（罗尔定理）,设,在,上连续,在,内可导,且,那么至少,使,（一）微分中值定理,定理1（费马引理）,如果函数,在,处取得极值,且在,处可导,那么,设,在,连续,可导,那么,至少存在一个,使,设,在,连续,在,内可导，,且,那么至少存在一个,，使,定理3（拉格朗日中值定理）,定理4（柯西中值定理）,定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）,设,在,点,阶可
5、导,那么,其中,若,则得麦克劳林公式,定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）,设,在含,的区间,阶可导,那么对,至少存在一个,使,其中,在,与,之间.,内,（二）导数应用,1.洛必达法则,2）,和,在,的某去心邻域内可导,且,3）,存在（或);,若 1),则,注：1）适用类型：,2.函数的单调性,1）若在,内,则,在,上单调增；,2）若在,内,则,在,上单调减；,定理7 设,在,上连续,在,内可导。,3.函数的极值,定义（极值）若,，使得,恒有,，则称,在,取极小值.,恒有,，则称,在,取极大值.,定理8（极值的必要条件）,若,在,处取得极值，且在,处可导，则,定理9（极值的第一充分条件）,设,在,
6、内可导,且,（1）若,时，,时，,则,在,处取极大值.,（2）若,时，,时，,则,在,处取极小值.,（3）若,在,的两侧不变号，则,在,无极值.,（或,处连续）,在,定理10（极值的第二充分条件）设,（1）当,在,处取极大值.,（2）当,在,处取极小值.,4.函数的最大最小值,1)定义,2)方法,5.曲线的凹凸性,定义 3,定理 11 若在区间,上,，则曲线,在,上是凹（凸）的。,定义4（拐点）,判定（必要条件与充分条件）,6.曲线的渐近线,1)若,或,）那么,是曲线,的水平渐近线.,凹,凸,3)若,那么,是,的斜渐近线.,8.曲线的弧微分与曲率(数三不要求）,曲率,（直角）,（参数）,曲率半
7、径,2)若,那么,是,的垂直渐近线.,7.函数的作图,常考题型,常考题型与典型例题,1.求极限；,2.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点；,3.求渐近线；,4.方程的根；,5.不等式的证明；,6.中值定理证明题,一.求极限,【例1】试证当,时，,【例2】(2008年1,2）求极限,【例3】（1994年3）求极限,.,【例4】（2013年1）,已知极限,为常,数，且,则,（A）,（B）,（C）,（D）,其中,【例5】(2009年1,2,3）,时，,与,是等价无穷小,则,（B）,（C）,（D）,当,（A）,【例6】（2011年2,3）已知当,与,是等价无穷小，则,（A）,（B）,（C）,（D
8、）,函数,【例7】(2012年3）求极限,【例8】（1988年3）求极限,【例9】(2011年1)求极限,【例10】(2016年2,3)求极限,【例11】设,二阶可导,.求极限,.,二求函数的极值和最值及确定曲线的凹向和拐点,【例1】（2003年，1,2）设函数,在,内连续，,其导函数的图形右图所示，则,有,（A）一个极小值点和两个极大值点,（B）两个极小值点和一个极大值点,（C）两个极小值点和两个极大值点,（D）三个极小值点和一个极大值点,【例2】(1990年1,2)已知,在,的某个邻域内连续,且,则在点,处,（A）不可导.（B）可导,且,（C）取得极大值.（D）取得极小值.,【例3】在半径
9、为,的球中内接一直圆锥,试求圆锥的最大,体积.,【例4】（2010年,3）若曲线,有拐点,则,【例5】（2004年,2,3）设,，则,（A）,是,的极值点，但,不是曲线,的拐点,（B）,不是,的极值点，但,是曲线,的拐点,（C）,是,的极值点，且,是曲线,的拐点,（B）,不是,的极值点，,也不是曲线,的拐点,三求渐近线,【例1】（2014年1,2）下列曲线中有渐近线的是（）,（B）,（C）,（D）,（A）,【例2】(2007年,1,2）曲线,渐近线的条数为,（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.,【例3】（2016年2）曲线,的斜渐近线方程为,四方程的根,【例1】(1992年5）求证：方程,恰有一个,为常数，且,实根,其中,【例2】设,求证：方程,在,内至少有一个实根.,五不等式的证明,【例1】(1991年,3)利用导数证明：当,【例2】证明：,【例3】(2012年1,2,3）证明：,六中值定理证明题,【例1】设,在区间,上连续,在,上二阶可导,且,证明存在,使,【例2】（1990年1,2）设不恒为常数的函数,在闭区间,上连续，在开区间,内可导，且,证明在,内至少存在一点,，使得,.,【例3】设,在,上二阶可导，,且存在,使,试证：,【例4】（2013年3）设函数,在,上可导，且,且,证明：,（1）存在,使得,（2）对(1)中的,存在,使得,
