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1、第七章 空间问题的基本理论,例题,第五节 轴对称问题的基本方程,第四节 几何方程及物理方程,第三节 主应力 最大与最小的应力,第二节 物体内任一点的应力状态,第一节 平衡微分方程,第七章 空间问题的基本理论,在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。,空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。,取出微小的平行六面体，,考虑其平衡条件:,(a),(b),平衡条件,7-1 平衡微分方程,由x 轴向投影的平衡微分方程,平衡微分方程,得,因为 x,y,z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为
2、L，所以 x,y,z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。,由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，,，,，,(x,y,z)。(d),空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量,平衡微分方程,思考题,在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点 A,B 的x向正应力分量。,在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量，来求出斜面(法线为）上的应力。,斜面应力,7-2 物体内任一点的应力状态,斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：,p沿坐标向分量:,p沿法向和切向分量:,斜面应力,取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z
3、面的面积分别为lds,mds,nds。,由四面体的平衡条件，得出坐标向的应力分量,1.求,2.求,将,向法向 投影，即得,得,由,从式(b)、(c)可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。,设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:,3.在 上的应力边界条件,应力边界条件,式(d)只用于 边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。,式(b),(c)用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；,注意:,1.假
4、设 面(l,m,n)为主面，则此斜面上,斜面上沿坐标向的应力分量为：,斜面应力,7-3 主应力 最大与最小的应力,代入,得到：,考虑方向余弦关系式，有,结论：式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。,(b),2.求主应力,将式(a)改写为：,求主应力,上式是求解 l,m,n 的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得,展开，即得求主应力的方程,求主应力,(c),3.应力主向,设主应力 的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得,应力主向,由上两式解出。然后由式(b)得出,应力主向,再求出 及。,4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力,（证明见书上）。,5.应力不
5、变量,若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，,因式(c)和(f)是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而得出：,应力不变量,(g),应力不变量,所以分别称 为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。,式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。,6.关于一点应力状态的结论：,6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。,(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。,一点应力状态,(3)3个主应力包含了此点的
6、最大和最小 正应力。,(4)一点存在3个应力不变量,(5)最大和最小切应力为，作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。,设,思考题,1.试考虑：对于平面问题若 则此点所有的正应力均为,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。,2.试考虑：对于空间问题若 则此点所有的正应力均为,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。,空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：,(a),几何方程,7-4 几何方程及物理方程,从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：,若位移确定，则形变完全确定。,几何方程,从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。,-沿x,y,z 向
7、的刚体平移；,若形变确定，则位移不完全确定。,由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量，为：,(b),几何方程,-绕x,y,z轴的刚体转动。,若在 边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：,(c),位移边界条件,(d),其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。,体积应变,体积应变定义为：,空间问题的物理方程,应变用应力表示，用于按应力求解方法：,(x,y,z).(e),物理方程,可表示为两种形式：,应力用应变表示，用于按位移求解方法：,(x,y,z).(f),由物理方程可以导出,（g）,是第一应力不变量，又称为体积应力。,-称为体积模量。,空间问题
8、的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。,结论：,结论,思考题,若形变分量为零，试导出对应的位移分量。,空间轴对称问题,采用柱坐标 表示。,轴对称问题,如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。,7-5 轴对称问题的基本方程,对于空间轴对称问题：,应力中只有,(a),形变中只有,位移中只有,轴对称问题,所有物理量仅为(,z)的函数。,而由,得出为。,平衡微分方程：,几何方程：,其中,几何方程为,物理方程：,应变用应
9、力表示：,(d),应力用应变表示：,其中,边界条件：一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。,在柱坐标中，坐标分量 的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。,思考题,试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。,第七章例题,例题1,例题2,例题3,例题,例题 1,设物体的边界面方程为,试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力 应力边界条件是什么形式？,（x,y,z)，,其中,解：当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦 为,当面力为法向分布拉力q时，,(x,y,z).,因此，应力边界条件为,代入应力边界
10、条件，得,(x,y,z).,例题2 试求图示空间弹性体中的应力分量。,(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。,(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。,解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。,对于(a)，有约束条件；,对于(b)，有对称条件。,则可解出：,而两者的，因此，由物理方程：,例题 图示的弹性体为一长柱形体，在顶面 z=0 上有一集中力 F 作用于角点，试写出z=0 表面上的边界条件。,x,y,o,b,b,a,a,z,图7-5,P,解：本题是空间问题，z=0 的表面是小边 界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。,由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；,而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。,对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括6个条件。对于图示问题这6个积分的边界条件是：,
